VIII. — Premier aperçu de la méthode de continuité

M. Klein et moi, nous avons été conduits indépendamment l'un de l'autre à une méthode qui permet de démontrer que t(uit tjpe fuchsien contient une équation fuchsienne et que l'on peut appeler mélhode de continuité. Nous avons fait de cette méthode ditïérentes applications (voir Comptes rendus, t. 92, p. 1200 et i4S6"'; Klein, Mathematische Annalen, Bd 19, p. 565; Bd 20, p. 49) et Bd 21, p. ai i; Poinc.4ré. Comptes rendus, t. 9i, p. io38("). Voici quels sont les principes fondamentaux île cette méthode.

Supposons d'abord une variable réelle x et une fonction réelle y de cette variable; je sup|>ose que, pour loutes les \'aleurs liiiies ou infinies de x, il y ait une valeur de y et une seule, et que cette valeur soit une fonction analytique de X (holomorphe ou méromorphe); que y ne puisse pas reprendre deux, fois la même valeur. On pourra évidemment en conclure que y prend une fois et une seule toutes les valeurs |)ossibies depuis — od jusqu'à +00.

Supposons, au contraire, que la variable x, p:ir sa natuie même, ne puisse varier qu'entre deu\ limites a et b; que pour toutes les valeurs comprises entre a et b, on sache (jue )• est une fonction analytique fie X, mais que pour ces limites elles-mêmes, on ne sache rien; que y ne puisse jamais reprendre deux fois la même valeur. Quand x tendra vers a. y tendra vers une certaine limite A, cl quand x tendra vers b, j' tendra vers B. On sait alors seulement que y est constamment croissante ou décroissante et peut prendre toutes les valeurs intermédiaires entre A et B.

Au lieu d'une seule variable indépendante, considérons-en n, r,, x^, ..., x„

(') Ce Tome, p. 33.

{-) Ce Tome, p. 291.

(') Ce Tome, p. i4 et 21.

(') Ce Tome, p. 4i.

33o SUR LES GROUPES DES liolATIONS LINÉAIRES.

et n fonctions réelles de ces n variables, )'|, )'2, . . ., )'«• Je suppose que, pour toutes les valeurs des x, les j' soient des fonctions analytiques et que ces fonctions ne puissent jamais reprendre deux fois le même système de valeurs. Gela suffit pour que l'on soit certain que les >' peuvent prendre tous les systèmes de valeurs possibles. Soit en particulier « = 2. Regardons x, et x^ comme définissant la position d'un point sur une sphère S ; j', et y^ comme définissant la position d "un point sur une spbère S'. A chaque point de la sphère S correspond un point et un seul de la sphère S' et à aucun point de S' ne peut correspondre plus d'un point de S. Gela suffit pour qu'à tout point de S' corresponde un point de S.

11 en est encore de même si S et S', au lieu d'être deux sphères, sont deux surfaces fermées quelconques. Mais supposons maintenant que S n'est pas une surface fermée, mais une surface ouverte, présentant une sorte de bord, de frontière. Supposons que les coordonnées de cbaque point m' de S' soient des fonctions analytiques des coordonnées du point correspondant m de S, lorsque ce point m n'est pas sur le bord de cette surface, mais que nous ne sachions rien lorsque le point m vient sur le bord de S. 11 ne sera pas possible alors de conclure des hypothèses faites plus haut qu'à tout point de S' correspond un point de S.

La même chose arrivera, lorsque S et S' seront regardées comme des surfaces situées dans l'espace à plus de trois dimensions, seront àes Mannigfaltigkeiten (multiplicités) à plus de deux dimensions, comme disent les Allemands.

Supposons toujours qu'à tout point m de S corresponde un point m' et un seul de S' de telle façon que les coordonnées de m' soient des fonctions analytiques de celles de 7*;, à moins que m ne vienne sur le bord de la multiplicité S, dans le cas où cette multiplicité en aurait un. Supposons qu'à aucun point de S' ne puisse correspondre plus d un point de S. Si S e>i une ntiiltiplicité fermée, nous serons certains qu'à tout point de S' correspondra un point de S. Si, au contraire, S est une multiplicité ouverte présentant un bord, une jrontière, nous ne pouvons rien affirmer.

Appliquons maintenant ce qui précède au problème qui nous occupe.

Nous dirons que deux types

(2) ij- (x, y) = o,

appartiennent à la même classe lorsque les deux relations (2) et (2') seront de même yenre, et lorsque les deux équations (i) et (1') auront le même nombre de points singuliers, de telle façon que ces points singuliers se correspondent chacun à chacun et que les équations déterminantes relatives à deux points singuliers correspondants soient les mêmes.

Cela posé, à chaque type d'une même classe C, nous ferons correspondre un point d'une certaine multiplicité S'.

De même, nous dirons que deux groupes fuchsiens (des première, deuxième ou sixième familles) appartiennent à une même classe lorsque le polygone générateur aura le même nomhre de côtés, et lorsque les sommets se répartiront en un même nomhre de cycles, de telle façon que ces cycles se correspondent chacun à chacun et que la somme des angles de deux cycles correspondanls soit la même.

A chaque classe C de ty|)es correspond une classe C de groupes, de telle hiçon que si une équiilliui iMchsli'iiiic appailient à la classe C, son groupe appartienne à la classe C.

A chaque groupe de la classe C, faisons correspondre un |)oint d'une multiplicité S.

A chaque point de S •correspondra un point et un seul de S'; il suffit pour le voir de se reporter à la théorie des fonctions fuchsiennes qui montre qu'à chaque groupe fuchsien correspond une équation fuchsienne.

De plus, en vertu du leinme fondamental, à aucun point de S' ne peut correspondre plus d'un point de S.

Il resterait à faire voir qu'à tout point de S' correspond un point de S.

Pour cela, d'après ce qui précède, il suffit que S soit une multiplicité fermée, qu'elle n'ait pas de bord. Cela n'est nullement évident a priori.

En effet, parmi les groupes d'une classe, il y en a une infinité qui pourraient être des groupes limites, correspondant à des points du bord de la multiplicité S. Ce sont les groupes dont le polygone générateur présente un ou plusieurs côtés infinitésimaux. On voit, en effet, qu'on peut toujours construire un polygone générateur dont un des côtés soit aussi petit que l'on veut. Cela ne suffit" pas d'ailleurs pour que S soit une multiplicité ouverte; car, en vertu du paragraphe IX de la Théorie des groupes fuchsiens, un même groupe peut être engendré par une infinité de polygones équivalents et il est possible que parmi ces polygones, on puisse toujours en choisir un dont tous les côtés soient supérieurs à une limite donnée.

332 SUR LES ghoupes des équations linéaires.

Ainsi, il n'est p;is évident que S est une n)iiltiplicité fermée et il est nécessaire de le démontrer, par une discussion spéciale à cliaque cas particulier, avant d'affirmer qu'à tout point de S' correspond un point de S. C'est ce que M. Klein a négligé de faire. Il y a là une difjiculté dont on ne peut triompher en quelques lignes.