IX. — Deuxième lemme

Supposons que nous fassions varier notre polygone Ro d'une façon continue et de telle manière que les éléments de ce polygone soient des fonctions continues d'un certain paramètre t. Envisageons maintenant l'équation fuchsienne que l'on peut former à l'aide de Ro et le type T auquel appartient cette équation. Soit

(■) rf^. = '?(-^' ■>')'■'

(2) <if{x,y) = o (de genre/))

cette équation fuchsienne. Le type T sera défini quand on connaîtra les ?ip — 3 modules de la relation (2) et les points singuliers de l'équalion (i); ces quantités s'appelleront les paramètres du type.

J'ai fait voir au paragraphe I du •Mémoire sur les fonctions fuchsiennes que les fonctions 0 que l'on peut former à l'aide de Ro sont des fonctions continues de t et l'on peut en conclure que les paramètres du type T sont aussi des fonctions continues de /, ce qui est fort important au point de vue de l'application de la méthode de continuité.

Je vais pousser la chose plus loin. Je suppose que, lorsque t tend vers zéro, deux ou plusieurs côtés décroissent indéfiniment. (Il s'agit ici de leur longueur géométrique et non de leur L.) Je supposerai, ]>ar exemple, que deux côtés conjugués, ou que 2.q côtés conjugués deux à deux, deviennent infiniment petits, de telle façon que ceux des côtés de R„ c|ui restent finis soient encore conjugués deux à deux. Ro est alors un de ces polygones limites que nous étudierons en détail un peu plus loin.

Passons à la limite, et faisons < = o, de telle façon que les 2 y côtés infinitésimaux de Ro s'annulent absolument et que Ro se réduise par conséquent à un autre polygone R„ n'ayant que 2/; — 'iq côtés conjugués deux à deux. Considérons le groupe G engendré par Ro. A chaque paire de côtés conjugués de Ro correspond une substitution de (j, c'est celle qui cliaiige l'un de ces deux côtés en son conjugué, et le groupe G est précisément dérivé des n substitutions qui

SUR LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 3'i3

correspondent ainsi aux divers côtés de Rq. Parmi ces substitutions nous en distinguerons /( — q qui correspondront aux n — q paires de côtés de Ro qui restent finis. Le groupe dérivé de ces ii — q substitutions s'appellera G" et sera contenu dans G. Soit G' le groupe engendré par R'„ ; il sera isoiuorplie à G", puisque, à chacun des cùlés Jinis de R» correspond un côlé de R'^. Lorsque t tend vers zéro, le transformé de Ro, par une substitution quelconque de G", tend vers le transformé de R'„ par la substitution correspondante de G'.

Nous appellerons A la portion du cercle fondamental qui est occupée par les transformés de Ro par les substitutions de G", et B celle qui est occupée par les transformés de Ro par les substitutions de G qui n'appartiennent pas à G".

Le polygone Ro est par hypothèse de la première famille, ou du premier ordre de la deuxième ou de la sixième famille; à la limite, le polygone R„ appartiendra à la deuxième ou à la sixième famille; mais il pourra appartenir au |)remier ou au second ordre de ces familles, c'est-à-dire qu'il pourra ne pas admettre ou admettre des cycles hyperboliques (').

Dans le premier cas, Rq sera de la première catégoi'ie; dans le second, de la deuxième catégorie.

Dans le premier cas, les iransforiiK's de R^ par les substilul imis de G remplissent tout le cercle fondamental (cf. Tliéorie des groupes Juchsiens, § VI). Par conséquent, lorsque t tendra vers zéro, la superficie totale de B tendra vers zéro, et en même temps la plus petite dislance de B à l'origine tendra vers I, c'est-à-dire vers le rayon du cercle fondamental.

Dans le second cas, ce sera Tinverse et la superficie de B ne tendra pas vers zéro.

Supposons donc que Ro soit de la jjreinière catégorie. Dans ce cas, R'„ engendrera une équation fuchsienne

(■) rf^ = '?(''^)'''

qui appartiendra à un type T' moins compliqué que T. Supposons, pour fixer les idées, ^ = i. Dans ce cas, R'^ aura deux cotés de moins que Ro. Il arrivera alors, ou bien que l'équation (1') aura un point singulier de moins que l'ffquation (i), ou bien que la relation (2') sera de genre j9 — i au lieu d'être de

(') Voir la noie, p. ■J79. N. K. N.

genre jL» el que r-cquation (i') admeLUa deux ))oints singuliers de plus que l'equalion (i). (Vide int'ra, p. 'iST).)

Supposons par exemple, pour lixer les idées, que ce soil le preuuer cas qui se présente. Je dis que les modules de la relation (2) vont tendre vers ceux de la relation (2') el que les points singuliers de l'équation (i) vont tendre vers ceux lie l'équation (i') de telle façon que, parmi les points singuliers de l'équation ( 1), il y eu ail deux qui tendent vers un seul et même point singulier de l'équation (1').

Je vais montrer d'abord que les fonctions lliélafuchsiennes engendrées par Ro tendent vers celles qui sont engendrées par R|,.

Considérons les séries

BV ., H ) = S H (1^^) ( v;. .- + s; )-'-

où H est l'algorithme d'une fonction rationnelle quelconque el où ( z-.-^ i^

et (z.-j^ ^! ) désignent respectivement une substitution quelconque du

groupe G et du groupe G'. Je dis que

lime(i) = e'(3).

On peut trouver un contour C entourant le point z et assez petit pour qu'il soit intérieur à Ro et à R'„ et qu'il reste intérieur à Rq pour toutes les valeurs suffisamment petites de t. On appellera 5 la S de ce contour, A la L du plus grand arc de cercle orthogonal au cercle fondamental qui puisse être tracé à l'intérieur de G; onappellera ;- une quantité cjuelconque, A la L de la droite O^ et, l'on posera, comme dans le paragraphe I du Mémoire sur les fonctions fuchsiennes (Acta mathematica, t. I, p. 206),

Appelons S„ et S„ la somme des termes des séries & et 0' qui correspondent

à des points -î ^ el-Ç ^ situés à l'intérieur du cercle M dont le centre

est l'origine el demi le R est (n — 1 )/•. Soil

Soil /; la plus grande valeur que puisse prendre le module de II pour des transformés du point ;; nous aurons

niod R,, < — r-) mod K,, < — ; r--

Nous pourrons donc prendre /; assez grand pour que

modR„<-> modR;,<-,

e étant une quantité donnée.

Le nombre n est désormais fixe et, par conséquent, le cercle M.

Nous pourrons maintenant prendre -z assez petit pour que, t variant de ■: à o, aucun des transformés de c ne sorte du cercle M ou n'entre dans ce cercle et pour que les divers transformés de ; par les substitutions de G qui n'appartiennent pas à G" soient tous extérieurs à ce cercle.

Alors, t variant de -: à o, S„ sera une fonction continue de t, puisque c'est une somme d'un nombre fini de fonctions continues de t; pour i = o, S„ se réduira à S^, ; on pourra donc prendre t assez petit pour que

mod(S'„ — S„) < -.

'On aura alors

mod(e — e') <£,

quelque petit que soit e. c. q. f. d.

Les fonctions fuclisiennes x et j' qui entrent dans l'équation (2) peuvent être choisies arbitrairement; nous poserons

H(^, H) Hi ;, H,)

•^^ 0(;, Hi)' -^ ^ Hr;,ll,)'

H, 11 1 cl II2 étant trois fonctions rationnelles arijitrairemeiil clioisies. Faisons

de même

^'- ex.-, H,)' •^''- e'(.-,H,)' ,

il viendra

On voit donc qu'à la limite, la relation qui lie .r et y se réduira à celle qui lie Xi et }-, et que, par conséquent, les modules de la relation (2) se réduisent à ceux de la relation (2').

336 SUR LES onoiiPKs m:s équations linéaires.

De iiièine nous iiiirons

fi x'" x' 3 (ar")2 1 i x\x\ ''< { x\Y

x\ x" , ... désignant les déri\ces première, seconde, ... de x par r.ipporl h z.

11 résulte de là que

lim !p(,r, y) = tf'(.r|, j,),

et, par conséquent, les points singuliers de Téquation (i) tendront vers ceux

de (l'). C. Q. F. D.

Rien de tout cela ne reste vrai si le polygone Rq est de la deuxième catégorie.

Dans le cas où le polygone Rq est symétrique, la chose peut se démonli-er d'une manière toute différente.

Supposons, par exemple, un quadrilatère curviligne a^yo, dont les côtés soient des arcs de cercle orthogonaux au cercle fondamental, et dont les angles soient des parties aliquotes de tc; je les appelle a, |3, y, S. Si nous prenons le symétrique de ce quadrilatère par rapport au côté py, nous obtiendrons, en adjoignant ces deux quadrilatères l'un à l'autre, un hexagone qui engendrera nn système de fonctions fuchsiennes. Mais on peut aussi engendrer ces même| fonctions en cherchant à faire la représentation conforme du quadrilatère a^yo sur un cercle de centre o et de ravon i . Si z est un point intérieur au quadrilatère et x le point correspondant du cercle, x est une fonction fiichsienne de z..

Supposons maintenant que le (l'ité y5 devienne infuiiment petit, puis s'annule, le quadrilatère se réduira à un triangle a[iy, dont le sommet y sera sur le cercle fondamental el de telle façon que l'angle ay^ soit nul. Considérons donc le quadrilatère a|5yo; je suppose que le ccUé yo soit déjà très petit, mais ne soit pas encore nul. On peut mener une inliiiili' de rerclos [j( yi tangents en y, au cercle jîy et coupant en [3,- le cercle ajj sous un angle égal à ^. Menons un de ces cercles p,"',, de'telle façon que le triangle aj3|", soit tout entier intérieur au quadrilatère, mais soit d'ailleurs aussi grand que possible. Menons encore un autre de ces cercles paya, de telle façon que le quadrilatère soit tout entier intérieur au triangle aj^^y^, mais que ce triangle soit d'ailleurs aussi petit que possible.

Soit Zq un point intérieur à y.p,-.-,. Supposons qu'on fasse sur le cercle de

rayon i et de centre o, là représentatioa conforme de a^iV,, ^iiis de aSyS, puis de y.'^2'i2i de telle façon qu'an point z„ corresponde le centre o. Soient respectivement x,, X et Xo les points du cercle qui correspondent à un point : de a^iy,, ou de ajâyo, ou de a^jyj. On aura

moHx) > modr > modxj.

Lorsque le côté yo s'annulera tout à fait, les deux triangles œ,3iyi et a^^yo se confondront et il est aisé de montrer qu'on aura

lim inod:r| = lini niod^o; d'ofi

lim modj'i = lim muda?,

limj"i=: limT. c. Q. F. ii.

Cette démonstration, dont je nai d'ailleurs donné qu'un aperçu, ne s'appliquerait pas au cas où Ro ne serait pas symétrique.