X. — Types symétriques

Je vais appliquer d aijord à un cas simple la inétiiode de continuité. Soit

une équation telle que o soit rationnel en x, que les points singuliers soient tous réels et que l'équation déterminante relative à chacun d'eux ait une racine double. Le type T dont fait partie cette équation sera dit symétrique, parce que si ce type contient une équatiDU fuchsienne, le polygone générateur correspondant est symétrique. * •

Je dis que tout type symétrique contient une équation fuchsienne.

Si le nombre des points singuliers est égal à 3, on peut toujours, par un changement linéaire de variable, supposer que ces points sont précisément o, 1 et 00 ; alors on sait qu'il existe une équation fuchsienne dans le type ï, car cette équation est précisément celle qui définit le carré du module d'une tr.mscendante rlliptiquc en iiMulniu (bi rapport des périodes.

Supposons mainlenaiii que le type T admette ([uatrc points singuliers; on jieiil t<mjniir>, par un iliangemenl linéaire de \uiriable, supposer que ces quatre 11. V. — 11. 4j

338 SIH LES enOUPES des ÉQUATrONS LINÉAIRES.

points sont

o, I, a et 00,

a étant une quantité réelle positive plus grande que i.

Soient maintenant a, P, y, S quatre points situés sur le cercle t'ondamenlal, et je suppose qu'en parcourant ce cercle, on les rencontre précisément dans l'ordre a, [3, v, o. Décrivons (pialrc cercles, orthogonaux au cercle fondamental, et passant respectivement par les points a el [3, [5 et y, y et o, o et a. Nous aurons ainsi un certain quadrilatère. Construisons le quadrilatère symétrique du premier par rapport au cercle Sa par exemple; l'ensemble de ces deux quadrilatères formera un polygone Ro qui engendrera un groupe fuch^ien symétrique de genre o et de la deuxième famille que j'appelle G.

Formons les fonctions fuchsiennes correspondantes et en particulier la

fonction

à l'aide de laquelle toutes les autres s'expriment rationnellement. Pour achever de définir cette dernière fonction nous écrirons

et nous poserons

c sera réel positif et plus grand que i. Alors z sera défini en fonction de x comme le rapport de deux intégrales de l'équation fuchsienne

^ = Tf-)''.

où » est rationnel v.n ,r, où les points singuliers seront o, i, c et x, et de telle sorte que chaque équation déterminante ait une racine double.

Pour faire Miir que T contient une équation fuchsienne, 11 suftlt donc de montrer qu'on peut choisir a, [3, y, 8 de telle sorte que

Supposons que les points a, p, S restent fixes et qu'on fasse décrire au point y

l'arc pS du cerclp fondamental, depuis le point j5 jusqu'au point o. Voici ce qui se passera :

i" Les séries I lii'li\liirlisiciiups définies au paragraphe I du .Mémoire sur /es fondions J iichsiennes seront des fcjnctions continues de y, car elles sont uuitoruu-ment conxcrgentes, comme je l'ai fait voir dans ce paragraphe.

SIR LRS GROIPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 339

2" Il en sera donc de même des fonctions fuclisiennes elles-mêmes et par conséquent de c.

3" En vertu du lemme fondamental, c ne pourra prendre deux fois la même valeur.

4" Lorsque le point y se rapprochera indéfiniment du point p, le quadrilatère ajïyo se réduira au triangle a^O, et le polygone Ro se réduira au quadrilatère R'd formé de ce triangle et du triangle symétrique par rapport au cercle aS. Le second lemine nous apprend donc cjue c tendra vers Fiinité.

5° Pour la même raison, quand ■- tendra vers S, c tendra vers l'infini.

En résumé, quand v variera en sui\ant le cercle fondamental depuis ^ jusqu'à 0, c croîtra d'une façon continue depuis i jvisqu'à l'infini: c prendra donc la valeur a qui est comprise entre i et l'infini. c. ij. f. d.

Supposons maintenant un type T admettant non [dus quatn', mais cinq points singuliers. On pourra toujours supposer par un changement linéaire de variables que ces cinq points singuliers sont

o, I, a, b, x> avec les inégalités

a el b étant des quantités réelles.

Si nous regardons a et b comme les coordonnées d'un point dans le plan, nous verrons qu'à chaque type T correspond un point d'une région plane limitée par les deux droites a =: i , a =: ft et par la droite 6 = oo. Cette région n'est autre chose que la multiplicité S' définie dans le paragraphe VIIL On voit qu'avec notre manière de considérer les choses, celte multiplicité est ouverte.

Prenons maintenant sur le cercle fondamental cinq points a, p, y^S, £se succédant sur ce ceicle, précisément dans cet ordre. Il en résulte que l'on a

aiga > argP > argY> argo > arge.

Construisons le pentagone ajîlyoE, puis le pentagone symétrique par rapport au côté as et nous aurons un polygone R,, qui engendrera un groupe fuchsien G. Parmi les fonctions fuclisiennes correspondant à ce groupe, appelons x =zf(z) celle à l'aide de laquelle les autres s'expriment rationnellement et qui, de

plus, est telle que

34o SUR LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

Les quaiilités

/(■;) = a, fa) = b

soûl réelles positives et telles que

Lorsque y — [5 leudra vers zéro, a leudra vers i ; lorsque Y — o tendra vers zéro, a — b tendra vers zéro; enfin, lorsque 5 — s tendra vers zéro, i croîtra indéfiniment. De plus, lorsque a, jj et s restant fixes, ou fera varier y el o, a et h seront des fonctions continues de y et de 5. . .

Si l'on considère les arguments de y et de o comme les coordonnées d'un

point dans un |)laii, ces arguments étant soumis aux inégalités

argp < argY < argS < args,

le point correspondant sera situé à l'intérieur d'un triangle limité par les trois

droites

ai-gjî = argY, argy = argo, ai-gS = aig£.

Ce triangle ne sera autre chose que la multiplicité S qui sera ouverte comme la multiplicité S'.

Cela posé, à chaque point de S correspond un point et un seul de S'; à chaque point de S' ne peut correspondre plus d'un point de S. A chaque point de la périphérie de S correspond un point de la périphérie de S'. Il résulte de là nécessairement qu'à tout point de S' correspond un point de S.

En d'autres termes, on peut toujours choisir le jientagonc a^ySs de telle façon que a el b aient des valeurs données, c'est-à-dire que tout tvpe fuchsien symétrique n'admettant (pie cinq points singuliers contient une équation fuchsienne.

La démonstration est ahsoluinent la même pour un plus grand nomhre de points singuliers; d'où cette conclusion :

Tout type fucltsien symétrique co?itient une équation fuchsienne.

On voit que, dans le cas particulier des types symétriques, l'application de la méthode de continuité ne présente aucune difficulté.

On peut tirer de ce qui précède une conclusion importante.

Considérons une fonction jk de a", qui ne peut cesser d'être holomorphe en o; que si x prend une des n valeurs Oi, aj, . . ., a,,; supposons, de plus, que ces n valeurs sont réelles.

SUB LES GROUPES DES KOIIATIOT\'S LINEAIRES. Sfl

Considérons le lype fiichsien symétrique qui admet les n points singuliers «i , rto, ..., a„. Il contient une ('quation f'uclisienne el, dans celle ('qualion, la variable est une l'onction fuclisienne du raj)|)ort z des intéj^rales

Celte fond ion n'existe pas à l'extérieur du cercle fondamental; si nous supposons an^=x, elle est liolomorphe à l'intérieur de ce cercle cl elle ne peut |)rendre aucune des valeurs </,, a,, ..., «„.

Il résulte de là. (pi'à l'intérieur du cercle tiiudauieulai, y est lioloiuorpiie

en ;.

Donc, si yest une fonction de x admetlanl seulement un /lotiifn-e fini de

points singuliers qui soient tous réels, on peut trouver une variable z telle

que y et x, exprimées en Jonctions de z, n'existent pas à Vextérieur du

cercle fondamental et soient holomorplies à l'intérieur de ce cercle.

Ou peut supposer en particulier que j' est une fonction algébrique, ou l'inlé-

g;rale d'une équation linéaire à coefficients algébriques, telle que tous les points

singuliers soient réels.