XI. — Généralisation du théorème précédent

Nous n'avons encore appliqué la méthode de continuité qu'aux types symé- Iritpies; mais, avant d'aborder l'c'tude de types plus compliqués, nous allons tirer du résultat obtenu tout le parti possible. Soit

une équation telle que o(x) soit rationnel en x, que les points singuliers soient a,, (/o- •••i "n- niais ne soient pas tous réels, et que chaque équation d<'leriiunante ait une racine double.

Appelons T le type dont fait partie cette équation.

Je démontrerai plus loin que ce type contient une écjuation fuclisienne, mais ce n'est pas cela que j'ai en vue pour le moment; je veux faire voir qu'il y a un type subordonné à T qui contient une équation fuchsienne; en d'autres termes, qu'il existe une fonction fuchsienne qui ne peut prendre à l'intérieur du cercle fondamental aucune des valeurs a^, «,) •■•i ('n et qui, de plus, ne peut prendre non plus certaines autres valeurs h,, />2 l'fi-

34^ sun LES CROUPES des équations linéaires-

^îous nous regardons donc coinine libres d'adjoindre, au tableau des quantités a, telles quantités qu'il nous conviendra d'y ajouter. Nous pouvons toujours supposer que si le tableau des nombres a contient une quantité imaginaire, il contient aussi sa conjuguée; car si cette conjuguée n'y était pas contenue, on l'y adjoindrait.

.Te suppose <jue le ibc'orînip soit \rai quand le tableau des quantités a ne contient que q — i couples de valeurs imaginaires et je vais faire voir qu'il est vrai quand ce tableau contient q semblables couples. Gela suffira, car, dans le paragraphe précédent, j'ai démontré le théorème pour le cas où toutes les quantités a sont réelles.

Supposons (li)nc(|iie le tableau des (juantil<''s fii^d.^. ■■■.(i,i conlienl /( — 2q riuaiit liés réelles

et 2 Y (juaalités imaginaires conjuguées deux à deux

Posons

3(j?) sera un polynôme entier à coefficients réels. L'équation

aura au moins une racine réelle, et par conséquent au plus q — 1 couples de racines imaginaires. Soient

les racines de cette éqiiation. Posons

n — ■) (/ = p, xq — 1 = m.

Parmi les quantités suivantes :

f4) o, o(fl|), (p(«2), •••, »("/<); t?(ci), «pfci), ..., '^{Cii,^,

il y aura au plus q — i couples de \aleurs imaginaires.

On peut donc construire une fonction fuchsienne F (3) qui ne peut prendre aucune de ces valeurs, puisque le théorème est siqiposé vrai pour un système de valeurs ne contenant que q — ■ 1 couples de quantités imaginaires conjuguées.

Posons

On voit d'abord que x est fonclioii uniforme de =; en effet, cela ne pourrait cesser d'avoir lieu que si l'on avait

cp'(j-) = o:

d'où

ce (|ui est impossible,

\)ç ]>lus, X ne peut prendre aucune des valeurs

rt,, ai, ..., (7,,, sans quoi Ion aurait

ce qui est impossible, ni aucune des valeurs

rt j , ^ 2 ' • • • ! ^ 2 '/

sans quoi l'on aurait

ce qui est impossible.

La dérivée de x par rapport à z ne peut jamais s'annuler, sans quoi celle de F par rapport à z s'annulerait également, ce qui n'a jamais lieu.

D'ailleurs, x est une fonction fuchsienne de ;. En effet, soit

on aura, puisque F est une fonction luclisiennc,

'\(y) étant une fonction rali(Hiuellc eu )'.

Si nous posons ensuite

/di

d'où

il viendra

où le coefficient de ir est une fonction rationnelle en x.

Ainsi, X est une lonction uniforme de ;, c'esl-à-dire du rapport des deux intégrales de l'équation (5). C'est donc une fonction fuchsienne.

344 Sin LES GROUI'ICS DES ÉOUATIONS LINF.AinES.

Ainsi, a:^ est une fonetidii tiiclisieiine qui ne |)enl prendre aiicnuc des valeurs ( I I et (2), mais qui, de plus, ne |)eut prendre non plus aucune des valeurs telles que «(a") ^ tp(((,) ou 3 (.r ) ^ »( c/).

Appelons

hi, bi, .... bi;

ces valeurs.

L'équation (.">), qui est une équation liiclisienne, admet comme points singuliers

«1, a>, • -, «/<, fl), «2. ■•■, a'i'i- ^1' ''2' ^1-

ol (le telle sorte que toutes les équations tiéterminantes aient une racine double. Elle appartient donc à un tvpe subordonné à T.

Ainsi, il est toujours possible de lrou\er une fonction fuchsienne x =f(z) qui ne peut prendre n valeurs données

«1, «2, ..., an

et qui ne peut prendre non plus A autres valeurs non données

f>t, b-i, ..., hk.

A cette toncliou fuchsienne correspond une équation lucltsienne dont les points singuliers sont les a et les h et dont toutes les équations déterminantes ont une racine double. Cette équation fait partie d'un type subordonné à T.

Soit maintenant r une fonction de .t qui n'admet d'autre point singulier que les a. Si l'on pose x =zf(^z)., y sera fonction uniforme de ;.

C'est ce qui arrivera en particulier lorsque y sera l'intégrale (l'une écpialion linéaire à coefficients algébriques.

Ainsi, on jieitl loujour.s trouver une variable :, dont la variable x et les intégrales d'une pareille équation sont des fonctions uniformes.

XII — Polygones limites.

.le dirai que deux polygones générateurs 11(, el R|, de iieii\ groupes luclisiens (1 el ( i' appartiennent à une même classe lorsipi ils satisferonl an\ conditions sui\anles :

1" Le nombie des C()tés des din\ ])olygoiies esi je même.

a" Si dcuv côtés de Vlq sont con|iigués, les deux C('ités de iiièuie rang de il,.

sont égalemeiU coiijii£;ui',s. Il en résulte que les sommets des deux polygones se répartissent en un même nombre de cjcles de telle façon qu'à chaque cycle de Ro corresponde un cycle de Rj, et réciproquement.

3° La somme des angles de deux cycles correspondants est la même.

Les polygones d'une même classe dépendent d'un certain nombre de paramètres. Supposons par exemple, pour fixer les idées, qu'ils soient complètement définis (') lorsqu'on se donne trois paramètres x, y, z, mais que ces trois |)aramètres ne soient pas indépendants et soient liés entre eux par une relation

Si nous regardons .r, )' et ; comme les coordonnées il'un point dans l'espace, à chaque polygone de la classe correspond un point d'une surface Si définie par l'égalité (i), de sorte qu'à la classe tout entière correspond cette surface ou une portion de cette surface.

Mais, en général, pour que le polygone R„ puisse être le polygone générateur d'un groupe fuchsicn, x, y et z doivent satisfaire non seulement à l'égalité (i), mais encore à certaines inégalités (2). Aussi à la classe considérée correspond seulement une partie de la surface S| et cette partie est limitée par certaines courbes frontières dont on obtient l'équation en remplaçant dans une des inégalités (2) le signe de l'inégalité par celui de l'égalité.

Prenons un exemple. Soit un polygone Rq de la seconde famille et du genre, zéro; ce sera, par exemple, un hexagone abcdef. Les côtés ab et c6, cd et edi ej et af sont conjugués de telle sorte qu'il y a quatre cycles è, d, J et ace- Les six sommets devront satisfaire à la relation suivante :

Soit tpi^JJ-,) le rapport aaliariiioiiiqiic de [j. par rapport aux trois points h,del f de telle sorte que

tp(6) = », <s{d)=:0, CD (/■) = I.

Posons

Le polygone Ro sera entièrement défini quaiîd on connaîtra .r, )' et 3; mais

(') Il reste bien entendu que deux polygones ne sont pas distincts lorsqu'on peut passer de i'un à l'autre par une substitution linéaire qui n'altère pas le cercle fondamental.

346 Sun LES groupes des équations linéaires.

entre ces trois paramètres nous avons la relation suivante :

C'est l'équation d'un paraboloïde.

Mais X, v et z doivent satisfaire en outre aux inégalités

de sorte qu'on ne doit conserver qu'une portion du paraijoloïde (i'^. Cette portion doit être regardée comme limitée par les six droites suivantes :

(7) a:=y = oo,

Ce seront les courbes frontières de la portion utile du paraboloïde; à chaque point de cette portion utile correspondra u/i polygone de la classe envisagée et réciproquement.

Supposons maintenant que, dans la classe considérée, il faille p paramètres X,, X2, ■ ■ -, Xp pour définir complètement le polygone Ro et que ces p paramètres satisfassent d'une part à une égalité (i), d'autre part à certaines inégalités (2). Si l'on regarde x,, x^, ..., j;^ comme les coordonnées d'un point dans l'espace à p dimensions, cette égalité et ces inégalités définiront une portion de surface, une multiplicité (Mannigfaltigkeit), comme disent les Allemands. J'appellerai M| cette multiplicité qui aura p — i dimensions. Elle sera en général ouverte et sera limitée pardes multiplicités frontières àe p — 2 dimensions, puisque les x satisfont non seulement à une égalité, mais encore à des inégalités. Ces multiplicités frontières sont analogues aux courbes frontières dont il a été parlé plus haut et l'on obtient leurs équations en remplaçant dans l'une des inégalités (2') le signe de l'inégalité par celui de l'égalité.

Considérons un point de la multiplicité M, qui soit infiniment voisin de l'une des multiplicités frontières. A ce point correspondra un polygone dont certains éléments seront infinitésimaux et que j'appellerai pour cette raison polygone limite.

Nous allons envisager d'aburd une classe de polygones R„, du genre zéro, de la deuxième famille; le nombre des côtés sera 211] chaque côté de rang impair

sera le conjugué du côLé dont le rang est plus élevé d'une unité (le côté de rang 2p — i sera le conjugué du côté de rang ap). De cette façon, si je désigne par la notation Xp le sommet qui sépare les cotés de rang p et de rang p — i , chaque sommet d'indice impair formera un cycle à lui tout seul, pendant que tous les sommets d'indice pair formeront un seul cycle. Il y aura donc en toiii n + I cycles et tous les sommets seront d'ailleurs sur le cercle fondamental. Pour définir un pareil polygone, il suffit de se donner 2/1 — 3 de ces sommets, les trois autres étant supposés fixes. Dailleurs, entre ces 2« — 3 paramètres nous avons la relation

(l") — («1 — aaXïs— a4)...(aj„-, — as„) = (otan— «i)(ïi— ^i)- ■ ■(^iu-2— «s/i-i ),

outre les inégalités

(■1") aiga, <arga2< arga3<...< argX2„<.argai -^ 27T.

Je considère, d'autre part, les fonctions fuchsiennes engendrées par Ry et, parmi elles, une de celles à l'aide desquelles toutes les autres s'expriment rationnellement. Je l'appelle f{z). Les points singuliers de l'équation fuclisienne correspondante sont alors au nombre de h -f- i ; ce sont :

./(ai), /(«3), ..-, /(ï2«-i)

et

Je vais chercher quels sont les polygones limites de la classe en question. Pour les trouver, il faut dans l'une des inégalités (2") remplacer le signe de l'inégalité par celui de l'égalité; d'où

arga:,= ai-ga,-M, a,= a,-+.,,

c'est-à-dire qu'un des côtés du polygone Rq doit devenir infiniment petit. Mais, en vertu de l'équation (i"), si un côté de rang pair devient infiniment petit, il faut qu'un côté de rang impair le devienne également, et réciproquement. Il y aura donc toujours au moins deux côtés qui s'annuleront. De là trois espèces de polygones limites :

1° Ceux dont deux côtés conjugués s'annulent;

3" Ceux dont deux côtés non conjugués s'annulent:

3° Ceux dont plus de deux côtés s'annulent à la fois.

Ainsi, dans le cas du paraboloïde (l'j, les droites frontières (3), (5) et (7)

348 SUR LES GROUPES DES ÉOUATIONS LINEAIRES.

correspondent à des polygones limites de la première espèce; les droites (/\), ((3) et (8) à des polygones de la deuxième espèce et les points

qui appartiennent à la lois à deux de ces droites frontières, correspondent à des polygones de la troisième espèce.

Les polygones limites de la Iroisième espèce sont évidemment des cas particuliers de ceux des deux premières. Laissons-les pour un instant de côlé et cherchons à montrer que ceux de la deuxième espèce se ramènent à ceux de la première.

En eflet, si nous envisageons un polygone de la deuxième espèce, l'un de ses côtés infinitésimaux sera de rang pair. Je puis supposer que l'on ait numéroté les côtés de telle façon que ce soit précisément le côté de rang a, aia^. L'autre côté infinitésimal sera, par exemple,. a2ji,a2/)+i .Ces deux côtés seront séparés par /> — i paires de côtés conjugués ajaa et aja, ; aja^ et Xsao; etc.; *2/;-2 0'2/)-( et a2,,i a,/). Joignons, par un arc de cercle orthogonal au cercle fondamental, a2p-\ à a, ; nous partagerons ainsi le polygone Rq en deux autres To et r'i^ ; /■(, contiendra par exemple le sommet a^p et r'^ le sommet aj. Soit r^ le transformé de r^ par la substitution qui change a2p 2 '^2p-i en (x.,p 'Xop( , et posons

Le polygone R'„ sera équivalent à Rq, il admettra deux côtés infinitésimaux, à savoir o-2p<^ip+i et le transformé de a, a2. Ces deux côtés ne seront plus séparés que par j9 — 2 paires de côtés conjugués. En opérant sur R|, comme on a opéré sur Ru, on obtiendra un polygone R'J, où les deux côtés infinitésimaux ne seront plus séparés que par p — 3 paires de côtés conjugués et, en continuant de la sorte, on finira par arriver à un polygone Sj, équivalent à Rq et dont les deux côtés infinitésimaux seront consécutifs. Tous les polygones Rp, R„, R'^, ..., Sq auront une partie commune qui sera ;'o. Le côté infinitésimal oL^p ci.2p+i et son conjugué 0L2p+i ''■2p+i appartiendront donc à Sj. Le second côté infinitésimal sera par exemple ^aj^. Joignons maintenant Pa2^+| par un arc de cercle orthogonal au cercle fondamental. Le polygone S^ se trouvera divisé en deux parlies, le triangle y-nppy-îp+t = .v,, et So=^ S„ — s'^. Soit y le transformé de ,3 par la substitution qui change cl.npa.2p^., en <y.2p+2''-->p+t e' ^oh ao^^2 Y^-2/'+4 = ■*ô ^^ triangle transformé de i|, par cette substitution. Le polygone S(|:= ■!>o+ -'<"o sera

équivalent ù So et il est aisé de voir qu'il n'a que deux côtés infinitésimaux, k savoir paj^.^, et ya^/i+i qui sont conjugués.

Il est vrai que le polygone S'^, quoique équivalent à Rq, n'appartient pas à la même classe, parce que les paires de côtés conjugués sont distribuées d'une autre manière; mais il est aisé, par des transformations convenables, de ramener le polygone Sj, à un polygone équivalent S'ô admettant comme S„ les côtés infinitésimaux conjugués pa2/)+i et fciip+t et dont chaque côté de rang impair est conjugué du côté pair qui le suit.

Nous sommes ainsi amenés à nous occuper principalement des polygones limites de la première espèce.

Considérons un pareil polygone dont les deux côtés conjugués soient a, a.., et CL2„7.,. Nous distinguerons deux catégories de polygones de la première espèce :

1° Ceux de la première catégorie seront tels que

2" Et ceux de la deuxième catégorie seront tels que

Dans le premier cas, on a, entre les sommets du polygone, les relations suivantes :

Le polygone R(, se réduit ilonc (lorsque passant à la limite on annule ses côtés infinitésimaux) à un polygone R,, tout à t'ait analogue, mais dont le nombre des côtés n'est plus que 211 — 2 au lieu de 2«.

Disons quelques mots des groupes G et G' engendrés par ces deux polygones Rq et RJ,. Appelons Sj la substitution parabolique qui change a,, a,- en a,^.| a,- (i étant essentiellement impair). Le groupe G sera dérivé des n substitutions

Si, S31 • . • , S.2,,-1.

La résultante

Si S3S5. . .».),;[

sera parabolique et admettra le point double a2„.

350 SUR LES GROrPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

Lorsque Rg se réduii ù R^j, les subslitutions S,, .... So,,., deviennent S.,.

Sî„ , et restent paraboliques, mais la substitution S, devient illusoire et n'a plus aucun sens. Le groupe G' est donc dérivé des « — i substitutions

En \erlu de la relation (i"), la résultante

est parabolique.

Donc les sommets d'ordre pair de R^ forment un cycle parabolique (troisième sous-catégorie), et par conséquent R'„ et ses transformés parles diverses substitutions de G' rempliront tout le cercle fondamental (cf. Théorie des groupes fuchsiens, paragraphe VI).

Alors, en appliquant le second leinine, on \errait que la difl'érence

tend vers zéro et que le Ijpe T, dont fait partie l'équation iuclisienne engendrt'-e |)ar Ro, se réduit à un tvpe T' |jlus simple n'admettant pins que n points singuliers.

Supposons maintenant que deux côtés 01,0-^ et CmOL, tendent vers zéro de telle façon que

Iim § I.

a2«— ïi

La relation d") cessera d'avoir lieu. La résultante

sera hyperbolique et non parabolique; les sommets d'ordre pair de R., formeront un cycle hyperbolique (quatrième sous-catégorie) et par conséquent les transformés de R„ par les substitutions de G' ne rempliront pas tout le cercle fondamental, mais seulement une portion de cercle limitée par une infinité de circonférences ( cf. Théorie des groupes fuchsiens, paragraphe \l).

Le second lemme n'est donc pas applicable, ce qui montre quelle dilférence profonde sépare les polygones limites de la première et de la deuxième catégorie.

On pourrait faire une théorie tout à fait analogue des polygones limites de la troisième espèce, qui ne sont que des cas particuliers de ceux de la première et de la deuxième.

Comme deuxième exemple, nous considérerons un polygone Ro du genre zéro dont les côtés seront disposés comme dans l'exemple précédent, mais qui appartiendra à la première famille, et dont par conséquent tous les sommets seront à l'intérieur du cercle fondamental et tous les cycles seront elliptiques (première catégorie).

Nous appellerons

les angles de ce polygone qui ont leurs sommets en

Cl b la somme des autres angles du polygone. Ces divers angles doivent être des parties aliquotes de au; je les regarderai comme donnés; la classe à laquelle appartient Ro est alors parfaitement définie. Dans ce qui va suivre, nous envisagerons la L des côtés de ce polygone et non leur longueur géométrique. Dans l'exemple précédent, ([uand nous disions qu'un côté était infiniment petit, cela s'entendait de sa longueur; ici, au contraire, cela s'entendra de sa L [qui n'est autre chose que la longueur au point de vue de la géométrie non euclidienne (cf. Théorie des groupes fuchsien s, paragrapiie I; Mémoire sur les Jonctions fuc/isicnncs, paragraphe I)].

Cela posé, comment peut-on concevoir que le polygone R„ devienne un polyi;iinr liiiiilc? Cela pourrait se concevoir de trois manières :

1° Si un côté devenail inliuimenl petit ;

2" Si un angle s'annulait;

'^° Si un côté devenait riiiiiiiiuful grand.

Il est aisé de voir que les deux premiers cas ne se présenteront jamais, sans que le troisième se présente également; examinons donc le troisième.

Supposons qu'un côté de Ro, aj^a,, par exemple, devienne infini; il en sera de même du conjugué (/.,ct.2- Mais l'angle de ces deux côtés, qui estai, est donné et fini. Donc la diagonale aan^o est infinie. Mais cette diagowile est plus petite que la somme des 2n — a autres côtés. Donc l'un de ces côtés est infini. Ce sera par exemple c>.2p 2^-2p^\j et il en sera de même par conséquent de son conjugué oi2p\a.2p. Joignons, par un arc de cercle orthogonal au cercle fondamental, les deux sommets a,, a^^.j. Nous aurons ainsi divisé Rj en deux polygones partiels : r„. qui comprendra le sommet aj, et /'„. qui comprendra le sommet aj,,. Soit maintenant r'^ le transformé de r„ par la sidjstitution qui

352 Sun LKS GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

rhanfie x, ao en a, a^,,. L(> polygone R'p = r'o + rjj, qui est équivalent à Rq, a comme lui quatre côtés iuliiiis, mais ces quatre côtés sont consécutifs. Il résulte (le là que nous pouvons toujours supposer que les quatre côtés infinis de Ro sont ao„a|, a, a.,, 7.2^.3, aaa,. C'est ce que nous ferons.

Ou peut Mippci^cr aussi ipic Rd a plus de quatre côtés infinis; mais ce n est qu un cas particulier que nous laisserons de côté pour le moment; nous supposerons donc que les 211 — 4 autres côtés sont finis. Dans ce cas, on peut démontrer sans trop de difficultés que la diagonale a, a, est finie. Appelons l'o le triangle «la^aj et j-'^ le reste de Rn- xVppeloiis r'^ le triangle a3pa4 transformé de /„ par la substitution qui change ctjao en aaa^.Le polygone R'^ =r ;•'„ + l'I sera équivalent à \\„ et il n'aura plus que deux côtés infinis a,a2„ et Sa., qui seront conjugués, pendant que les deux côtés conjugués a, «3 et «3 ^ seront finis. Ces deux derniers côtés ont leur L finie, mais leur longueur géométrique est infiniment petite. Supposons que nous passions à la limite el que ces deux côtés s'annulent. Le polygone R„ se réduira alors à un polygone R^ qui n'aura plus que a/t — 2 côtés par suite de la confusion des trois sommets a,, a;) et |j. Parmi ces côtés, il v en a 2/( — '\ qui ne dilTèrent pas de ceux de Ro ; les deux autres sont les côtés y.<„oi, et a,a)qui sont conjugués; le sommet ai, qui est situé sur le cercle fondamental, forme à lui tout seul un cycle qui peut être parabolique ou hyperbolique.

S'il est parabolique, ce qui arrive lorsque le cercle qui passe par a, a^^ et y.^ est langent au cercle Iciudaïuiutal, le polygone limite est de la première catégorie.

S il est, au (•<iulr<iire. hyperbolique, le polygone limite est de la di'uxième catégorie.

Les propriétés des deux catégories sont les mêmes quedans l'exemple précédent. Ainsi, si G est le groupe engendré par Rq, ce groupe sera dérivé de n sulisiiiiitions cIliplKjues

Si, S;), . . . , 52,1-1,

de telle façon que S,- ail pour point double a,-. Le groupe dérivé de .S5, St, ..., S2„-i el de S1S3

s'appellera G". Lorsque R» se réduira à R^, les substitutions S5, S,, ..., S,/,.! tendront vers des siibst itutious elliptiques S'^, S'., ..., S'in^i et SjSj tendra vers une certaine substitution i]. .S, et S3 deviendront illusoires. Le groupe G'

engendré p;ir Rj', sera dérivé de

S5, S7, . . . , J^ii-i et S

et sera isomorphe à G".

Si le polygone est de la première catégorie, S sera parabolique; les transformés de Rg par le groupe G' rempliront tout le cercle fondamental. Lorsque R,, tendra vers R^, le transformé de R'^ par une substitution de G" tendra vers le transformé de R^ par la substitution correspondante de G', et la surface recouverte parles transformés de R'„ par les substitutions de G qui n'appartiennent ]3as à G" tendra vers zéro. En appliquant le deuxième lemme et en conservant les mêmes notations que plus haut, on verrait que la différence /(a,) — /(^a) . tend en même temps vers zéro.

Si au contraire le polygone est de la deuxième catégorie, S est hyperbolique et les transformés de R,^ ne remplissent pas tout le cercle fondamental. Les déductions précédentes ne sont donc plus possibles et l'on ne peut affirmer que /(a,) — /(^s) tende vers zéro.

On traiterait de même le cas où il y a plus de quatre côtés infinis.

Comme troisième exemple, nous choisirons un polygone Rq de genre p, de la première famille, de ip côtés, dont les côtés opposés sont conjugués et dont Ions les sommets fonnenl un seul cycle, jjendant que la somme des angles est égale à 2-.

Ici encore on pourrait concevoir trois cas où le polygone deviendrait polygone limilc :

1" .Si l'un des côtés s'annulait (cela s'entend toujours di' la L de ce côté); 2° Si un angle s'annula il ; 'S" Si un côté devenait infini.

Comme dans l'exemple précédent, les deux premiers cas ne se présentex-ont jamais sans que le troisième se présente en même temps et c'est ce troisième cas qu'il nous reste à examiner.

J'appelle, comme plus haut, a, le sommet de rang i et je suppose que le côté 'X-ipy., et son conjugué ao^a^^^.! deviennent infinis. Soient p, le milieu de o-ipO; (j'entends par là que la L de a,p8, est égale h celle de |3|a,) et [Sj le milieu de as^aay^+i. Joignons S>,p2 par un arc de cercle orthogonal au cercle fondamental. Ce sera une sécante de notre polygone R„ et cette sécante sera /inie. Cette sécante partagera le polygone Ro en deux autres : /■„ qui contiendra H. P. — II 45

Î54 Sl'R LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

le sommet a,, et r'„ qui contiendra le sommet o-ip. Soit maintenant S^ la substitution qui clirtugc a^,ay,^i en son conjusjué aj^aj^^,. Cette substitution changera

en

oii

Le polvgone Rj, = r^ + 7-^' sera équivalent ;i R,, ; il aura \p-\-i sommets qui se succéderont dans l'ordre suivant :

Pi ''l ''2 • ■ • 5t^ «3/1+2 0'3/)+:i- ■ ■ =<l/Jpl p2Kop+ia2;)+2- • • "S/t'^'p + if^'p + i ■ ■ ■ '^'îp'^'î-

Ces 4/^ + 2 sommets forment deux cycles qui sont d'ailleurs lels que la somme des angles de chacun d'eux est égale à 2Tr. Quatre côtés sont infinis, à savoir : p', a', , a/,j,j3,, paa^^^,, oi-ip^j'.;,. La J^ des côtés |3,p2 et [3', P'^ est finie el leur longueur géométrique est infiniment petite.

Si nous passons k la limite, cette longueur s'annulera absolument et les sommets p, et ^o, p', et p.*, se confondront. Le polygone R'„ se réduira alors à un autre polygone R'^ qui n'aura plus que 4/> sommets, deux sur le cercle fondamental j3, et P', et 4/* — 2 en dehors de ce cercle. Chacun des sommets j3| et p', forme à lui tout seul un cycle qui peut être parabolique ou hyperbolique.

Etudions maintenant le groupe G engendré par le polygone Rq ou, ce qui revient au même, par R'„. Si nous appelons .S/ la substitution qui change le côté a,7.,^i de Rq en son conjugué v.2p+i'3--2.p+i+\^ le groupe G sera dérivé des

2p substitutions

Si, So, . . . , Sj,,,

entre lesquelles nous avons la relation

&lS2'-'^2/)= S2;jS2/^-l..-S2Si.

Quelles sont les substitutions de G qui changent chaque côté de R^ en son conjugué ? Ce seront

Sp qui change p.pj en p', p'j,

Sjp » «ii/j+i ?2 en a^pPi,

S7,'S2,,S,, ), p2 5<2,, en [^', a',

et

S,,' S, » «i^i+i en Ï2p+,a«;, n+i.

Sun LKS GROUPES DES FÎQUATIONS LINÉAIRES. 355

Lorsque le polygone R„ se réduil à R|J, la substitution S^ devient illusoiio et les substitutions S^p, S^'Sa^S^ el S~'S/se réduisent à certaines substitutions 2, ï'el S,' . De ces substitutions dérive un groupe G' qui est précisément engendré par K'^ et de telle façon que S el S* sont les deux substitutions qui changent la première ao^+i ^i en ct^pp,, la seconde a'jpP', en cl\P\.

Si les multiplicateurs de S et de S' sont égaux à i , ces deux substitutions sont paraboliques; le polygone R|î sera dit alors de la première catégorie et ses transformés recouvriront tout le cercle fondamental. On en conclut, comme dans les deux exemples qui précèdent, que le deuxième leiiime est appliiabic et que, par cimséquent, les fonctions fuclisiennes engendrées par R'„ tendent vers les fonctions fuclisiennes engendrées par Jx^. quand R[, tend vers R^.

Entrons dans plus de détails. Soient x et y deux fonctions fuclisiennes engendrées par n,,: il y aura entre ces deux fonctions une relation algébrique

(pii sera de genre />, puisque R,, est de genre p. Si cette relation est regardée comme r('(Miatiiiii d'une courbe de degré m, cette courbe aura