ANALYSE PLI HE

SUR

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

Comptes rendus de l' Académie dei Sciences, l. di, p. 3Î3-335 ( ij février iSSi ).

Le but que je uie ju-opose, dans le travail que j'ai riKniiicur de |ir('seuler à l'Acadéuiie, est de recherelier s'il n'existe pas des fourlicuis analytiques aiialii<;ues aux fonctions elli|)liques et permettant d'intégrer diverses équations did'érenllelles linéaires à coef'ficicnls algébriques. Je suis arrivé à démontrer qu'il existe une riassc très étendue de fonctions ([ui satisfcuit à res conditions et auxipielb's |'ai doaui' le nom <\i: Jn/iclioiis J iic/isi/'/iiies, en l'honneur de M. Kuclis, dont les iraxanx m Hat scr\ i très utilement dans ces reclierclies.

Voici les notai ions dont je ferai usage. Soit ; une variable imaginaire représentée par un point dans un [ilan. Si j'appelle K| l'opération qui consiste à cliangcr ; en /', (;), Kj celle qui consiste à clianger z en /-,( z), j'écrirai habituellement

-!<,=/,(;), zK, = f,{z). zK,K,=f,[/,{z)].

(^uand ; restera intérieur à une certaine région Pi. ;K., rcstei.i intérieur à une certaine région S: j'écrirai

S = RK,.

J'appelle cercle Joiidaiitcnlal le cercle quia pour centre l'origine et pour rayon l'unité; groupe hyperbolique, le groupe des opérations qui consistent

à clianger ; en — ^ -^ {a, h, c. d étant des constantes), et qui n'altèrent jias le

cercle fondamental; groupe disconli/iu. tout groupe qui ne contient pas

d'opération infinitésimale, c'est-à-dire d'opération cliangeants en une quantité