I) ( III — 2 ) 1 -P

points doidjles. Lorsque Rj, se réduira à R"j, le genre de cette courbe devra diminuer d'une unité, puisque le polygone R^ est de genre p — i, c'est-à-dire que la courbe dei'ra acquérir un nouveau point double. A ce point double correspondront en réalité deux points analytiques dillérents (selon que le point double sera regardé comme appartenant à l'une ou à l'autre des branches de courbe qui y passent) et par conséquent deux points réellement distincts du polygone R^. Ces deux points seront [ii, et [i', qui sont, comme on le sait, sur la circonférence du cercle fondamental. Il résulte de là que les deux fonctions fuchsiennes limx et limj- ne peuvent prendre à l'intérieur du cercle fondamental les deux valeurs qui correspondent au nouveau point double.

Il ne peut pas arriver que l'un des multiplicateurs de 51 et de V soit égal à i et l'autre différent de i, de telle laçon que l'une de ces substitutions soit parabolique et l'autre hyperbolique. En effet, on a

niultS2^j= inuilSp'Si/jS,,,

d'où

lira mult S2,, = lim imilt S^' S^pS,,

356 Sl'R LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

et

mult S = miiltS'.

Il peut arriver, au contraire, que les deux multiplicateurs soient différents de I et les deux substitutions hyperboliques. Dans ce cas, R^ est dit de la deuxième catégorie. Le deuxième lemme n'est plus applicable et les fonctions fuchsiennes engendrées par Rj, ne tendent pas vers celles qui sont engendrées parR;.

On traiterait de même le cas où plus de deux côtés de Rq deviendraient infinis.

Les exemples qui précèdent sutïiront, je pense, pour montrer comment doit être traitée, dans chaque cas, la question des polygones limites.

Dans le cas du second exemple, nous dirons que le polygone limite Ro est :

i" De la première espèce, s'il n'a que quatre côtés infinis et qu'ils soient consécutifs;

2° De la deuxième espèce, s'il n'a que quatre côtés infinis et qu'ils ne soient pas consécutifs (nous avons vu qu'un polygone de la deuxième espèce peul toujours être ramené ù un polygone de la première);

3" De la troisième espèce, s'il a plus de quatre côtés infinis; on démontrerait aisément qu'on peut toujours ramener au cas où tous les côtés infinis sont consécutifs.

Dans le cas du troisième exemple, nous dii-ons que le polygone limite Ro est :

1° De la première espèce, s'il n'a que deux côtés infinis; 2° De la troisième espèce, s'il a plus de deux côtés infinis.