XIII. — Polygones réduits

Nous avons vu qu'aux différents polygones d'une même classe correspondaient un par un les différents points d'une multiplicité M,. Mais à un même groupe fuchsien correspondent une infinité de polygones générateurs et par conséquent une infinité de points de M,. En effet, le procédé du paragraphe IX (h; la Tliéorie des groupes J'uchsiens permet de transformer le polygone Ro en un autre R„ équivalent à P»,, et engendrant le même groupe fuchsien. De là une infinité de transformations qui changent un polygone en un autre équivalent,

et par conséquent un point de M, en un autre point de cette multiplicité. Ces substitutions forment un groupe que j'appelle F et qui est évidemment discontinu. La multiplicité M, va se trouver partagée en une infinité de domaines Do, D|, .... D,, ..., de telle façon qu'à chaque substitution de F corresponde un de ces domaines et que ce domaine soit précisément le transformé de Dq par cette subdivision. Cette substitution de M, à l'aide du groupe F est tout à fait analogue à la subdivision du cercle fondamental en une infinité de polygones Ro. Ri. ... à l'aide d"un groupe fuchsien quelconque. Nous allons d'ailleurs éclaircir ce qui précède par une comparaison simple.

Supposons que, dans le plan des xy, le point x, y représente la quantité imaginaire z = x -i- ij' et considérons un parallélogramme rectiligne Ro ayant pour sommets o. ;,, ;^, et z,^:-2- On pourra subdiviser le plan en une infinité de parallélogrammes égaux à Ro cl l'on engendrera ainsi le groupe (z, z -+- as, -f- p^a) où a et |3 sont des entiers quelconques; de ce groupe dériveront les fonctions douljlcmcnt périnJiquo qui ont pour p('rii)de z, et ;o. Mais ce parallélogramme pcul cire rpiu|)lac('' par un autie doiil lc> Miminels

soient

o. xz^^^Zi, -izi^oz-,, (a-h-j')5iH- ([1 + 3)52,

où a, p, y, o sont des entiers tels que ao — ,3y = i . Ce second parallélogramme est équivalent au premier; je l'appellerai R,,. Pour définir Ro. nous nous donnerons le rapport ^ == (o. Aux différents parallélogranimes possibles correspondront différents points du [ilaii des o) on plutôt de la parlie de ce plan qui est au-dessus de l'axe des quantités réelles, parlie que j'appellerai partie posi-

iii'e du plan. A R'^ correspondra le point ^ -, de sorte que la partie positive du plan des w va se trouver partagée en une infinité de domaines qui se transformeront les uns dans les autres quand on appliquera à m la substitution 1(0, ^ — 37~)' ^^^ toute fonction doublement périodicpie correspondra un

point de chacun de ces domaines et un seul. Mais, parmi tous les parallélogrammes équivalents à Ro, il y en a un qui est plus simple que tous les autres, c'est celui qui est tel que la forme quadratique positive

mod-(;;i-t- r, sj), où ç et Yi sont des indéterminées entières, soit une forme réduite. On peut dire

3')8 Sin I,ES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

alors ijiii' ce [i.iialli'ldyi-.uniuc esl lul-iiiênie nkliill. (h\ pouira dd'llnir ce paivillélogramiiic rédiill de la faetm suixaiilc :

i" Il devia èlic lel (jne la [lailic iiiiai;inaire de lo soil aussi grande que possible;

a" 1m parmi ccu^ cpii eoircspondeul à ce inaxiuiuiM de la pailie imaginaire de 10 et cpii >ont <'ii noinhre infini, il devra èlre tel que la valeur absolue de la jiartie rebelle de to soit aussi |)elilc que possdile.

On voit aisément alors cjue w doit ■-atistair(^ au\ iiK'galités < partie réelle de w < -. modu) > i.

I^es points (i) qui coire>poiideiil à des paralb'logrammes réduits son! alors compris dans un domaine Dj défini par ces inégalités et limité par deux droites el un cercle. Ce domaine Dq et ses transformés par les di\erses substitutions

du groupe ((o. — ^ 1 remplissent alors toute la partie positive Au plan des to.

Nous pouvons opérer tout à lait de même tians le jirobième qui nous occupe, car il est tout à fait analogue, si ce n'est que les parallélogrammes sont remplacés par des polygones générateurs d'iiij groupe fuclisien, les fonctions doublcmi'iil périodiques par des fonctions fuchsiennes, et la partie positive du plan des to par la multiplicité M,.

Parmi les polygones équivalents à Rd, il \ en aura un que nous regarderons comme plus simple que tous les autres et que nous appellerons polygOJie rr'duit. Voici comment nous pourrons définir ce polygone réduit. Soit » une fonction des coordoniK'es d'un point de la multiplicité M,. Je supposerai que cette fonction est constamment comprise enlie o et i,et qu'elle n'atteint la valeur zéro que sur les frontières de la multiplicité M,, c'est-à-dire aux points qui correspondent aux polygones limites. Elle pourra, d'ailleurs, être cboisic arbitrairement. Cela posé, aux différents polygones équivalents à Rq, correspondront différents points de M, et par conséquent différentes valeurs de to. Le polygone que nous appellerons réduit sera celui qui correspondra à la plus grande valeur de es.

Cela posé, les points de M) qui correspondront aux polygones réduits rempliront un certain domaine que j'appelle Do. Ce domaine et ses transformés par les diverses substitutions de F rempliront toute la multiplicité INI,. Le domaine D, sera limité par un certain nombre de multiplicités m,, m-i, ..., in^

SUR LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. SSg

qui auront, p — i dimensions, si je suppose que Mi en a p. Voyons quelle sera la forme des équations de ces multiplicités frontières. Soient a un point de M|, a S le transformé de a par une substitution S convenablement choisie' dans le groupe V; les équations cherchées seront de la forme suivante :

(0 f(a) = 9(aS),

C6 désignant la fonction délinie plus huul. Si nous considérons un point a appartenant à l'une des multiplicités frontières z/i,. iii^. ■ ■ -, "ly, par exemple à celle qui est définie par Ti'quation (i ), ce point correspondra à un polygone réduit, et il en sera de inèuie du poiiii a S (pji correspondra à un polygone réduit équivalent au premier et qui appartiendra aussi à une multiplicité frontière. C'est ainsi que certaines classes de formes quadratiques contiennent deux formes réduites et qu'à un point d'un côté du polygone générateur d'un groupe fuchsien, correspond un point équivalent du côté conjugué. Les multiplicités »(,, 7/(2, ..., rrig se répartissent donc en paires de multiplicités conjuguées à la façon des côtés du polygone Rq. Ces multiplicités m sont limitées par des multiplicités m' de /; — 2 dimensions; celles-ci le sont elles-mêmes par des multiplicités m" de p — 3 dimensions et ainsi de suite. Ces multiplicités m', m", etc. se répartissent en cycles à la façon des sommets du polygone Rq. Ces cycles peuvent d'ailleurs contenir une, deux, ou plusieurs d'entre elles; si un de ces cycles en contient plus de deux, il y aura plus de deux polygones réduits équivalents à un polygone donne.

Ainsi, en général, il n'y a cju'un polygone réduit équivalent à un polygone donné ; mais dans certains cas exceptionnels il peut y en avoir deux ou plusieurs. C'est tout à fait ce qui arrive pour les formes quadratiques définies. On peut présenter la chose d'une autre manière. En général, paiini les valeurs de es ijui correspondent ii une infinité de polygones équivalents, il y en a une qui est plus grande que toutes les autres; mais il peut arriver exceptionnellement qu'il y en ait deux ou plusieurs qui soient égales entre elles et plus grandes que toutes les autres.

Nous allons maintenant nous occuper d'une question fort importante : quand un polygone limite est-il réduit ? et nous examinerons successivement les trois exemples du paragraphe précédent.

Reprenons d'abord le polygone Ro du premier exemple, en supjiosaiit que les deux côtés conjugués a^na, et 7.1 a, sont infiniment petits. Nous avons vu qu'en laissant de côté le cas exceptionnel des polygones limites de la troisième

36o SUn LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

espèce, tous les polygones limites pouvaient être ramenés à ce cas. Nous nég;ligerons donc, devant les quantités finies, les quantités de l'ordre de aia^et • de a, %2ii-

.Te joins a.2,)-\^-i- [^^ liiut entendre par là, ici comme dans tout le qui \a suivre, que je trace un arc de cercle passant par ces deux points et orthogonal au cercle fondamental.^ .le divise ainsi le polygone Ro en deux autres : '■o= a2„i aj„ai a^ cl ;■'„ = R„— /■„.

Transformons Vq par la substitution linéaire qui change y-2u^-ir,~\ eu '■'■■in-'i'-'--iii-\ ; nous obtiendrons pour transformé un quadrilatère

/•„ = aj„jo:,„, X[^, a,^,.

Posons maintenant

Le polygone R,,^, qui sera équivaleni à Ro aura pour sommets a2„,, y.^ni ^■2-1 7.3, ..., ao„3, c/.2n^i^ *i il s'.î.i- On voitque Rq , a un sommet infiniment voisin de chacun des points

a.,, CCj, ..., X2H-2

et trois sommets infiniment voisins de a2H 2. Quant à la longueur des côtés infiniment petits, elle sera donnée par la relation

(î) ïl,l — î<.!.l = f»l— «2)-

(^iii-l— «2/1 )-

.Joignons inaintenaiil 7,2,1 aa/i-s? nous partagerons le polygone Rq,, en deux

autres : /'o,, = «1.1 'j.i o'iH-î^an-a <?' ''o.i = f^o,i — ''«,i- ^'^'' maintenant r'I, I =z a, ,25'-2,2*2«^i ^-i;/;-;! le transformé de /•(,,, parla substitution linéaire qui change a2«3 7.2,,. 2 en a2«^:)7.2« ;■ Suit enfin Rn.2 = 'n.i +" ''û.i • ^^ 6** '^i**^ "^^ voir que Ro,2- qt'i est équivaleni à R,,,,. a un sommet infiniment voisin de chacun des points

et trois sommets y-2u~;' *2,ii '-2.2 infiniment voisins de v.2,i-;- On aura d ailleurs

, ,, , , r(ï2«-2— «2-1-1) (ï2n-. — .ïa-i-a)!'- (2) «1,2 — «2,2= («1 — «2) r-, r

Nous allons opérer sur Ro,2 comme nous avons opéré sur Rq etsur R„ ,. C'est-à-dire que nous joindrons ai^jc.o,,., cl que nous poserons, en appelant /'j, , le transformé de 7-0,2 par la substitution linéaire qui change y-in-i^m-ri en

SUR LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 36l

'^■ïn-i^■^in-i^

'■(.,2= 22n-4 22/l-.5Ïl,2Ï2,2, '"'o , 2 = ^O,? — ''O,»,

Ro,3=''o,î + ''o,2-

On opérera ensuite sur R„ .3 cdiiiine sur Ro,2 et ainsi de suile. 11 est aisé de voir que R;,^, a un sommet infiniment viiisin de cliacnn des points

et trois infiniment voisins de o-^n-ii-

Considérons en particulier le polygone Ro,n-i- H aura trois sommets infiniment voisins de %■, et par eonséquent de a^n- Ce seront les sommets a^, 7.|^„, et a2,/,i (qu'il ne faut pas conloiidre avee a.2,i{)- Il résulte de là que Ro,«-i difFérera infiniment peu de Rq. Ces deux polygones sont d'ailleurs équivalents, d'où il résulte que la transformation T qui change Rq en Ro.h. i appartient au groupe r.

Posons

U («2— «3) («;— «■;)...(g2«-2— «2« -1)^ ~ («3— Ï4)(aô— Otc).. •(«2/.-1 — «2-1)

Nous aurons la relation suivante, qui est au polygone Ro,h i ce que les relations (2) et (3') sont aux polygones Rn,i et Ro,2 •

^l.n-l — Sl2,„-i = («1— Ct,)H'-

et, de même,

«2— Xl,«-1= i^în— Ï|)H2.

Cela posé, reprenons notre fonction cp et supposons qu'elle se comporte régulièrement, ce qui ne prt'sente pas de difficulté, puisque cette fonction est presque entièrement arbitraire. Pour un polygone qui a des côtés infiniment petits, la fonction es est infiniment petite par hypothèse. Nous supposerons qu'elle est du premier ordre ainsi que ol, — a2. En négligeant les infiniment petits du second ordre, on peut tlire que les trois quantités o, a, — ao et ^1 — °'-2« sont proportionnelles. On a donc, pour le polygone Ro,

!p = (a, — o(2)F, F ne dépendant que de la position des points

et non de la longueur des côtés infiniment petits a, ao et a, y.^n-

Appelons cp' et F' les valeurs de ^ et de F qui correspondent à Ro,»-) ; nous H. P. — II. 46

362 SUR LES GROUPES DES ÉQIATIONS LINÉAIBES.

aurons :

F' = F à des infiniment petits près du premier ordre,

tp' = t»II2 à des infiniment petits près du second ordre.

Si donc H^> 1, la substitiUion T Iranslorme Ro en un jiolygone équivalent qui correspond à une valeur de o plus grande. Le polygone Rq n'est donc pas réduit.

Si au contraire II- ■< i, la sulistilution inverse de T transformera Rq en un polygone équivalent correspondant à une valeur de y plus grande, de sorte que Ro ne sera pas non plus réduit.

Reste le cas où H-=i. Mais H est essentiellement négatif. Ou aura dune H = — I. Mais cette relation, qui n'est autre que la relation (i") du paragraphe précédent, exprime que le ])olygone R(, est de la première catégorie.

Ainsi, un polygone limite ne peut être réduit que s'il est de la première catégorie.

Nous allons obtenir le même résultat dans les deuxième et troisième exemples. Nous allons traiter d'abord le deuxième exemple, en supposant, pour fixer les idées.

Je définirai, dans le deuxième comme dans le troisième exemple, le polygone réduit de la iiiani(' le siii\ante. Parmi les polygones équivalents à un polygone donné, j'appellerai ainsi celui qui sera tel que le plus grand de ses côtés soit aussi petit que possible. S'ily en a plusieurs qui satisfassent à cette condition, je choisirai parmi eux celui qui sera tel que le deuxième côté, (par ordre de grandeur décroissante) soit aussi petit que possible, et ainsi de suite. (Ici comme dans le paragraphe précédent, en ce qui concerne le deuxième et le triusièine exemple, quaml je dis (ju"un côté est grand ou petit, il sagit de sa L et non de sa longueur géométrique.)

Voici une proposition que je me borne à énoncer, et que je vais appliquer à mon dessein.

Soit un triangle ABC qui se déforme de telle façon que ses trois sommets tendent respectivement vers Irois points A', B' et C situés le premier sur le cercle fondamcnlal, les dcu\ autres à riuii'rieur de ce cercle. Les deux côtés AB et AC croissent indéfiuinicnl. pendant (jue BC reste fini; mais la dilTérence des deux côtés AB et AC tend vers une limite lune ), ;

linw Atî — AC) = )..

SUR LES GROUPES DES ÉQi;ATIONS I-INÉAIRES. 36Î

Cette limite ne dépeiid que île la position des (rois jioinls A', B', C et non de la iiiaiiit rc donl V, H, C lendeni vers A', B', (7. l'ai- lc> [loinls B' et C on peut faire passer deux cercles tangents intérieurement au cercle londamenlal. Soient M et N les points de contact. Joignons MJN par un arc de cercle orthogonal au cercle fondamental. Cet arc de cercle coupera B'C en un point P tel que la L de PB' soit égale à celle de PC; je supposerai que B' est à gauche de MN et C à droite. La limite A sera positive si A' est à droite de MN, négative si A' est k gauche ; elle sera nulle si A' est en M ou bien en N.

Considérons donc le polygone Rq dont nous allons faire croître indéfiniment les côtés a2„a, , x,y..2, v.., 9.3, a, a,, comme on Ta vu au paragraphe [)récédcnt. Il arrivera alors que les deux sommets a^,, et a., tendront vers deux points B' et C mU'-rieurs au cercle fondamental, pendant que a, tendra vers un point A' situé sur ce cercle lui-m('me. En même lenq)s, les points a., et a;| tendent aussi vers A', caries côtés a, a^ et v.^o.-j, qui oui leur L inliniment grande, ont leur longueur géométrique inliniment petite.

Nous pourrons trouver sur le cercle fondamcnlal les points IM et IN définis plus haut; nous joindrons MN ; je suppose dahord que A' soit comme B' à gauche de MN. On aur,\, en vertu du lemme que je viens d'énoncer,

liinotî/i = 1^'. linio!4=C', lim 2, = liiiiï-i = limc(3 = A', Dans les deux triangles anCt-jy.;, aja, »..>„, on a

angle «2»! oto,, = angle a-.ct-.i'X', et

d'où

Le C(Ué asa.) = a^aa est donc le plus grand C('ité de Rq puisque tous les autres que aiao, a^a.,, a-^Vj, v.tV.-y,, sont linis.

Je dis qu'on peut trouver un polygone éqiiivalcnl à Ro dimt le plus grand côté soit [)lus petit que a^a,.

Joignons a^a.,,!, nous aurons partagé le polygone Ro en deux autres :

/■u= 22„(z,a2a3, r;,= 23240(3 ... c<2„. Transformons /'l, par la substitution qui change a^a, en ci^y-i. Nous obtien-

drons

''« = î'jaiO's

avec

Le polygone R'„= /'n + ''ô est équivalent à Ro- Il a 9.n — 4 côtés égaux aux 271 — 4 côtés finis de Rp. Il admet aussi les deux c('ités infinis

a,a2= «la^,,, qui appartiennent à Rq et les deux cotés infinis

qui n'uppartiennenl pas à Rq. Si y.^i.2ii'> «i ^-27 c'est asao,, qui est le plus grand côté de R'„ et l'on a

'^i^in<'^3'^i- c. 0- F. D.

Si a^a^H <C ai aj, c'est a, ao qui est le plus grand côté de R'^ et l'on a

Ainsi, si le point A' est à gauche de MN, le polygone Rq n'est pas réduit; mais, comme rien ne distingue la gauche de la di'oite, il n'est pas réduit non plus si A' est à droite de MN. Il faut donc que A' soit en M ou en N. Mais alors le cercle A'B'C est tangent au cercle fondamental, ce qui veut dire que le polygone limite est de la première catégorie.

Ainsi, tout polygone limite réduit est de la première catégorie.

Passons au troisième exemple, c'est-à-dire à un polygone Ro de ip côtés dont les côtés opposés sont conjugués. Joignons les sommets opposés; nous obtiendrons ainsi ^p diagonales. Je dis que si Ro est réduit, le plus grand des 4/3 côtés du polygone est plus petit que la plus petite de ces 4p diagonales. J'appelle o cette plus petite diagonale; si ce C(Ué était plus grand que 0, on partagerait le polygone Rq en deux autres /'o et /•,, en traçant la diagonale 0. On appellerait ensuite r"^ le transformé de /'o par la substitution qui change le [ilus grand des côtés de Ro en son conjugué. Le polygone R', ^ '"0+ ''a serait équivalent à Ro j il aurait ses C()tés opposés conjugués; de plus, il admettrait tous les côtés de Pio saut le plus gnind qui ser<iit remplacé par la diagonale o, qui par hypothèse est plus petite. Le plus graïul côté de R'„ serait tluac plus petit que celui de Ro et Rj, ne serait pas réduit.

Cela posé, supposons, comme dans le jiaragraphe précédent, que les deux

si;r les groupes des équations linéaires. 365

côtés a^^a, et y-2p''-'--2/>+i croissent indéfiniment; il en sera de inème des diagonales a..,,pC/..2p et a,a2/,+ i ; tous les autres cùtés resteront finis. Supposons que les sommets a,^, et a.,/,^, tendent vers deux points B' et C intérieurs au cercle fondamental. Les sommets a,, a^, . . ., y.^p tendront vers un même point A' situé sur la circonférence de ce cercle et ce point A' est également celui avec lequel tendent à se confondre les sommets p, et ^a du polygone R'^. De ce fait résulte l'identité suivante :

Mais si le polygone Rp est réduit, on a d'autre part, puisque les côtés sont plus petits que les diagonales,

Donc on a

\im{'Xi^ip— aia.2,,H-i) = o.

On en conclut, comme dans l'exemple précédent, que le cercle A'B'C est tangent au cercle fondamental et que le polygone Ro est de la première catégorie.

Ainsi, tout polygone liiuile réduit est de la première catégorie.

Tout ce qui précède ne s'applique qu'aux [)olygones de la première espèce.

Passons d'abord aux polygones de la deuxième espèce qui peuvent, comun^ nous l'avons vu, être ramenés à un polygone limite de la première espèce. Supposons donc que Pq soit un polygone de la deuxième espèce; ce polygone sera équivalent à un autre Rq de la première espèce; si Rq n'est pas de la première catégorie, je dis que 1',, n'est pas rétiuil.

En ellel, envisageons la tonction o définie [iliis liant; cette fonction, dans le cas du deuxième et du troisième exemple, sera, pour fixer les idées, l'inverse du plus grand côté de 1\„.

La fonction es correspondant soit au polygone Pj, soit au polygone Rq sera infiniment petite. Soient a el b les points de M| qui correspondent à Rq et à Pq ; chacun de ces deux points sera infiiiimenl près d'une des frontières de la multiplicité M, ; soient c et cl les points de ces frontières qui sont respectivement le plus rapprochés l'un de a et l'autre de l>. Les coordonnées du |)oint a sont fonctions de celles du point b, puisque les deux polygones correspondants Rq et Pq dérivent l'un de l'autre d'après une loi déterminée. Si a et b sont très voisins des frontières, comme nous le supposons ici, la position du point c dépend de celle du point </, de telle façon que les coordonnées d'un de ces

points soient t'onctioas continues de celles de rautre. Maintenant si les points c et (/ restiiiit fixes, à des in /iiiiincul pelils piùs, le point a se rapproche du point c de telle l:u;oii que la tlistance inliiiiment petite ac diminue de moitié pai" exemple, la distance inlininiciit petite bd diminuera aussi de moitié.

Si nous appelons tp, et o.^ les valeurs de ts qui répondent aux points a et b, nous aurons, à des infiniment petits près du second ordre,

<Pi = «c/i(c), cp,= 6(^/2(6?),

les fonctions/, et /'o étant des l'onctions finies, en général, et ne dépendant que de c et de d.

Si donc, les points c et d restant fixes ou ne variant qu'infiniment peu, la distance ac diminue dans un certain rapport, les deux fonctions infiniment petites es, et So diminueront dans le même rapport.

Gela posé, nous avons vu que si R^ n'est pas de la première catégorie, ce polygone n'est pas réduit et qu'on peut trouver un polygone équivalent R'„ correspondant à une plus grande valeur de o. Soit P'„ le polygone de la deuxième espèce qui dérive de R'„ comme Po de Rq ; soient a', b', c', d' les points qui sont à R'„ et P'„ ce que les points a, b, c, d sont à R„ et à P(, ; soient o', et ©!, les valeurs de cb qui correspondent à Pi',, et à P',,. Les points c' et d', il est aisé de le constater, difVéreroiU inliniment peu de c et de d; on aura donc

ac hd a' c' b' d'

«Pi = a'':' fi{c') = a'c' /t(c), <f'., = b'd'fi(d'} = b'd'/,(d)

à des infiniment petits près et par conséquent

Mais on a on aura donc

et par consc'quent le polygone Pq ne sera pas réduit.

Ainsi, un polygone limite de la deuxième espèce ne peut être réduit que s'il est cqui^'alent à un polygone de hi première espèce et de la première catégorie.

Le cas des polygones de la troisième espèce, qui sont un cas particulier de

SUR LES GBOtPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 867

ceux de la première et de la deuxième, se traiterait d'après les mêmes principes. Nous n'allons étudier ici qu'un seul exemple. Nous fixerons ainsi les idées, et le lecteur se rendra mieux compte de la façon dont nous surmontons les différentes difficultés que si nous étudiions directement le cas général.

Nous choisirons le polygone Ro du second exemple en supposant que les six côtés Kjnai, œ,a2, a^aj, a^a.,, ajaj et 3.57.0, croissent indéfiniment.

Nous supposerons que ce polygone est réduit, et nous allons Caire voir qu'il est de la première catégorie, c'est-à-dire que les cinq sommets a,, ao, aj, a,, aj tendent à se confondre en un seul point situé sur la circonférence du cercle fondamental, et cela de telle sorte que le cercle ao» a, 7.0 soit tangent au cercle fondamental.

Pour cela, nous nous appuierons sur les deux priiK.ipes suivants :

1° Si le polygone Ro est i-éduit, les côtés issus d'un soinmel de rang impair sont plus petits que la diagonale qui joint ce sommet à un sommet quelconque de rang pair. En effet, soient C le cijlé 7,7.2, P'H' exemple, et D une diagonale joignant a, à un sommet quelconque de rang pair. Il est aisé de construire un polygone R'i, équivalent à Ro et admettant mêmes côtés (en grandeur) que Ro, sauf que le côté G est remplacé par D. Si l'on avait C>D, le plus grand côté de Ro serait plus grand que le plus gr.md côté de R'o et Ro ne serait pas réduit.

2° Supposons que les trois sommets d'un triangle ABC tendent respectivement vers trois points A', B', C, situés, le premier à l'intérieur du cercle fondamental, et les deux autres sur la circonférence de ce cercle. Si les deux points B' et C sont distincts l'un de l'autre, les trois côtés croîtront indéfiniment, l'angle BAC tendra vers une limite finie, ainsi que la différence

AB-hAC — BC,

et, par conséquent, le côté BC sera plus grand que chacun des deux autres.

Cela posé, supposons que, dans le polygone réduit Ro, les deux sommets y.n,, et 7o tendent vers deux points fixes B' et C du plan. Les cinq sommets y.,, 72, 7.3, 7.1, 75, dont la distance à 7.0 est infinie, tendront vers certains points du cercle fondamental.

Si l'on avait

368 srn i.es groupes des équations linéaires.

on amwil . cil vcilii ilil dcuxuriir |>iiiicipe,

ce qui est conirairc :iii i>rciiiier priiici|)e. De même, si IDn avait

lim ïi:- limaj, lim ïj-ï limai ou liiii 22< 'im *ii on aiirail

ce qui serait contraire au jireinier niiiicipe.

Donc les cinq sommets 7.,, 7.0, .... 5.5 tendent vers un seul et même point A' du cercle fondamental.

Joignons les deux points M et N définis plus haut. Si A' était à gauclie de MIN (c'est-à-dire du même côté que B'), on aurait

et s'il était à droite

ce qui serait contraire an premier principe.

Ainsi A' est en M ou en IN, c'est-à-dire que le cercle A'B'C est tangent au cercle fondamental, c'est-à-dire que Rq est de la première catégorie.