XIV. — Méthode de continuité

Tous les lemnies que nous avons élajjlis \ont nous permettre d'appliquer avec toute rigueur la méthode de continuité.

Considérons une inhnilé de tvjies ï appartenant aune inèinc cinsse et définis |)ar un certain noinhre de paramètres qui seront, si l'équation générale du type s'écrit

\f> nioilulf' <h' la rchilion (■2) et les pouit> singuliri> Ai' requalimi ( 1 ). .Soi! 1] le noiniire de ces paramètres, (les paraiiièlres \onl (li'liiiii- un pniiii d'une cerlaiiic nnill iplicilé jM à rj dimensions. ,fe ilis (jiie celle iiiuh ipluilé es! fermée et ne présente pas de fronlièrc. En elle!, llieinann a démontré que si une

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multiplicité à q dimensions étiit limitée par une autre jaultiplicité, cette autre multiplicité devrait être à ^ — i dimensions. C'est ainsi qu'une surface, par exemple, ne peut être découpée (zerschnitten) que par une ligne et non par un point.

Or^ en faisant varier les paramètres du type, on ne pourrait arriver à la frontière de M qu'en atteignant certains points singuliers de cette multiplicité, correspondant au cas où le tvpe T se réduit à un type T' plus simple (cf. §IX, p. .{.îf). Or cela ne peut aniver que de (leu\ manières :

i" <Ju bien, si deux poinis singuliers de (i) venaient à se confondre; mais il huit pour cela une condition complexe, c'est-à-dire deux conditions 7'('elles;

2" Ou bien, si le genre de la relation (2) s'abaisse d'une unité, c'est-à-dire si la courbe représentée par cette relation acquiert un nouveau point double. Mais ici encore il faut pour cela deux conditions réelles.

Ainsi, dans l'un comme dans l'autre cas, il faut s'imposer deux conditions, et les points singuliers qui satisfont à ces conditions forment une multiplicité à </ — 2 dimensions qui ne peut servir de frontière à M qui en a q. J'appellerai (7,, To • • • ces multiplicités x\ q — i dimensions que je viens de définir.

Considérons maintenant le domaine Dq défini au paragraphe XIII. A cluicuii des points de ce domaine correspond un polygone Ro et par conséquent une équation fuclisienne. Considérons les paramètres du type aiujuel elle appartient : ils définiront un certain point de la multiplicité M. Ainsi, à tout point de Dg correspondra un point de M et un seul. D'autre part, à tout point jJideM correspondant à un type fuchsien qui contient une équation fuchsienne, correspondra un point 0 de Dj et un seul. Il v a exception toutefois si le point 0 se trouve sur l'une des multiplicités W(, 1)1-2, ■■■ qui séparent D„ du reste de la multiplicité M,. Dans ce cas, en ellet, il y a deux ou plusieurs polygones équivalents réduits, de sorte qu'au point [ji correspondent deux ou plusieurs points 0. Au domaine Do tout entier correspondra ou bien une portion de M, ou bien cette multiplicité tout entière.

,1e dis que le premier cas ne se présentera pas. En effet, s'il se présentait, la multiplicité i\I seniit partagée en deii\ parties : celle qui correspond à D,, et celle qui ne correspond pas à l)„, et ces deux parties devraient être séparées l'une de l'autre par une multiplicité frontière, qui devrait avoir, d'après le théorème de Riemann, q — 1 dimensions.

Or, coinnieut pourrait-il arriver que, le poiiiL o de D„ se mouvant dans ce domaine, le point correspondant pi de M atteignît cette multiplicité frontière hypothétique ?

Est-ce parce que le déterminant fonctionnel des coordonnées de u. par rapport à celles de o s'annulerait? Mais cela n'arrivera jamais, puisque le lenime du paraf;raplic VII montre qu'à tout point ia ne peut correspondre qu'un seul point 5.

Est-ce parce que le point 5 atteindrait l'une de ces multiplicilés w,, //lo- ■•• qui séparent le domaine Do des aulres parties de la multiplicité -M| ? Mais supposons, par exemple, que le point o franchisse une multiplicité //(, qui sépare le domaine Dq d'un autre domaine D,. Le point ^ franchira alors une certaine multiplicité a, (pii correspondra à //(,; mais le point o étant entré dans le domaine D, qui fait encore partie de la multiplicité M,, à ce point o correspondra encore uu polyyonc R,, et par conséquent une équation fuchsienne et un point de la multiplicité M. La multiplicité uli ne sépare donc pas les types fuchsiens qui contiennent des équations fuchsiennes, de ceux qui n'en contiennent pas.

Est-ce enfin parce que le point 2 atteindrait la limite même de la multiplicité M, ? Il arriverait alors que le polygone Ro correspondant deviendrait un polygone limite. Mais comme 5 est intérieur à D„, le polygone Rq est réduit et ]3ar conséquent de la première catégorie ou équivalent à un polygone de la première catégorie .VLais le second lemine nous a fait voir que, lorsque Rq tendait à se réduire à \\i\ polygone limite de la première catégorie, le type correspondant T tendait à se réduire à un type plus simple T', c'est-à-dire que deux des points singuliers de (i) tendaient à se confondre, ou bien que le genre de (a) tendait à sahaisser d'une unité. Donc, lorscpie le |)oint 5, en restant intérieur à D„, tend vers une des frontières de M,, le point correspondant u tend vers l'une des multiplicités a-,, 02, .... Mais ces mulliplicités n'ont que q — 2 dimensions. Elles ne peuvent donc partager M en deux parties.

Donc M ne se partage pas en deux parties, l'une correspondant à D„, l'autre ne corres|)ondant pas à Dj.

iJiinc tout type fuchsien contient une équation fuchsienne.

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