II I
On peut partager le plan des X en six régions :
Po+Pi, Pl+P'l, ?2-+-p2' P3-+-?3. Pi-l-PÎ- PSH-P'5.
La figure i5 indique cette subdivision; les deux cercles et les droites qui y sont représentées ont [lour équations
modX=i, mod(i — X) = i, partie réelle de X = -, partie imag. de X = o.
On voit aisément que. si X est intérieur à o,, et si Xo est la quantité imaginaire con)uguee de A, les quantités i — a, ^, :r^ , i — V' y ' ' — "'
X,,, :r^. I — ^) -^-^-^î — > ^ font respectivement partie de p,, poj ?3i ?ii pu
PO' P'i' P2' p!.' P'i' P5-
ÎNIaintenant il s'agit de subdiviser le paraboloïde (i') en une infinité de domaines D,,, D,, ... comme il a été dit au paragraphe XIII, c'est-à-dire de telle façon que Do contienne les points de ce paraboloïde qui correspondent à
Fig. i5.
des polygones Ro réduits et qu'à chaque point de M corresponde un point et un seul de chacun de ces domaines. Ce ne sera pas tout. De même que M se partage en douze régions p et p', de même Do se partagera en douze régions partielles qui correspondront respectivement aux douze régions de M; et il en sera de même de chacun des domaines D,, Do, etc.
La figure i6 représente le paraboloïde (i') projeté sur le plan des xy; la
Fig. iG.
droite BCF a pour équation y = i et I;i droite BAE, x = <>. La droite x = o, )- = I se projette tout entière au point B. La partie non hachée représente la projection de D„. Celle projection est limili'e ])ar les droites CG cl AG cl par
les paraboles AB et BC. Elle esl subdivisée en douze régions par les droites AC, CE, AF, BG et par deux courbes.
Ces droites ont pour équations
CG, .T-+-y = o; BG, x + y = j ; AG, x-hjy = 2;
AC, a- — y = —\; AF, 7 = a; CE, a: = -i.
Les deux par.iijoles AB et BC sont tangentes aux droites AC et BG. Enlin les deux autres courbes tracées sur cette figure sont des arcs de coniques. On viiil que le domaine Do est divisé en douze régions «,■ et u'^ correspondant respectivement aux douze régions p,- et p', .
Voici comment il faut s'y ])rendre pour démontrer que, quand le point o parcourt sur la multiplicité M, le domaine «/ ou u] , le point correspondant j;i de la multiplicité M parcourt la région p, on pj .
Soit l\'^ le [)()!jgone svmétri(jue de Rq par rapport à sa diagonale 6t'. J'appellerai a', 6', c', d' , e', f les sommets de R^; mais alin qu'ils se présenleni dans le même ordre circulaire que ceux de Wq, a' sera le symétrique de c, c' celui de a; d' sera le symétrique dej\f' celui de d; quant à b' el e', ils ne dillereront pas de b et e. Grâce à ces conventions, on voit aisément que les nouvelles valeurs de x, y, z sont respectivement
Soit maintenant X' la valeur de X qui correspond au polygone RJ, ; on voit
aisément que l'on a
X' = i-Xo-
Si en particulier le polygone Ro est symétrique par rapport à be, il ne diffère
pas de R'j, ; on a
pr-hr = 1, - = -)
Si donc le point S décrit la droite BG, le point [/ décrira la droite
