II .1 . -V

ncliit que, si R„ esl symétrique par rapport îi cf, c'esl-à-dire si le point o

rapport à la diagciiiale cf, J , ) <'l ; se cliangeiil en — > - et - et X en ^' On en

' ï' - V Art

374 srn i.es oroiipes riES équations linéaires.

décrit la droile CE. le point u décrit le cercle

modX = I .

Le polygone Rq est cquivalcnl à un polygone Pi,, qu'on obtient en joignant /;/, et en transformant le triangle baj par la substitution qui change ba en br. On obtient ainsi un polygone b/edcf , /' étant le transformé de / par la subslilution en question. Prenons le symétrique de R'^ par rapport à la diagonale bd . Ce symétrique pourra être regardé comme dérivé d'un certain polygone R^ de la même façon que R'^ de R^o- On voit aisément ipTcn changeant R^o et Pi|p on

change x, )' et ; en —, i (- ^^^— et ;, et \ en X,,.

Si donc le point 5 décrit la droite AC, le point ^ décrira l.i droite

X = Xo, [lartie imaginaire de X = o.

Le problème suivant : Etant donné un type fuchsicn, trouver le groupe Juclisie/i qui engendre une équation Juv/isicnne contenue dans ce type, est un problème très compliqué dont nous dirons quelques mots plus loin.

Mais, d'après ce qui précède, dans les cas particuliers suivants :

il se résout jiar de simples considérations de symétrie, et l'on trouve l'espectivemenl pour les paramètres cjui définissent le polygone générateur du groupe fuchsien correspondant :

.l'appelle IS,, Sj et .S;i les opi'railon> dont il a été question plus haut et dont iici la dérmition d'après les cliaugcinçiils qu'elles font sidiir à ,z', )', ;

SUR LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. SjS

et X:

So,

X z yj

Envisageons :

1° Le groupe F, (l('i'ivc de ces trois siibslitutions. Si l'on transforme le triangle «o par toutes les suljstitutions de ce groupe, on obtiendra une infinité de triangles analogues qui rempliront toute la multiplicité jM,.

■j." Le groupe F, formé de toutes les combinaisons en nombre pair des substitutions S(, Sa et S3. Ce que ce groupe a de remarquable, c'est qu'il est isomorphe au groupe

où a, p, y, 0 sont des entiers tels que aô — fjy = 1 .

3° Le groupe F formé de toutes celles des substitutions du groupe F, qui n'altèrent pas X. Si l'on applique à Do toutes les transformations de F, on iihlienl une série de domaines D,, D^, etc. (jui remplissent toute la multiplicité M,. Le groupe F est isomorpiie au groupe des sul)stilulions

où y., [3, Yi ^ sont entiers et où

a5 — ^Y = i, a^OE=i, fi ^ Y ^ o (moda),

c'est-à-dire au groupe cjue l'on rencontre dans l'étude de la fonction modulaire.

Cliacun (le.-> domaines JJ,, Dj, etc. est divise en douze régions de la même façon que Dq est divisé en douze réglons h,- et a,. Mais Do peut être regardé aussi comme ilivisé en deux triangles

To = «0-1- "0 -î- "2 -H "2 "T- «3+ "3 et

TJi = ;(, 4- u[ -+- ii;+ u\ -t- 11^-+- «'-.

De même, chacun des domaines D,, Dj, etc. sera regardé comme partagé en deux triangles T] et T,. To et T.', etc. C'est ce mode de subdivision que

nous avons adopté dans les figures ^~, 18 et iç) qui représentenl en pers|)eclive des portions du paraboloïdc (1').

Dans la figure 17, la droite BKL représente la génératrice a; = o, ^'= î qui, dans la ligure i(), n'était représentée que par le point B. On remarquera aussi,

Fig. 17.

dans cette figure, les cinq triangles Tq, T'g, T,, T', , T'^ non hachés, et les portions Pq à Pc du paraboloïde où la subdivision n'est pas représentée et. qui sont couvertes de liacluues. On \ erra aussi que chacun des deux triangles T' cl T^ a deux de ses sommets conlondus en B.

La figure 18 représente, à plus grande échelle, la subdivision de la région

Fis. iS.

T', + P2 + P3. l/i |)ortion Po a t'l(' divisée en un triangle T;. et deux régions hachées P, ri P, . i^cs régions hachées sont, dans les (piaire ligures i(>. 17. 1 H et 19, celles où la subdivision n'est pas représentée.

Enfin la figure k) représente le détail de la région ['3 qui est dixisée eu un triangle T., et de ileux régions luieliéi's 1',, ri l',,,. On voit que le triangle T^ a ses trois sommets confondus en B.

Ces figures suffisent pour qu'on se rende compte de toutes les particularités

de la subdivision. En ellet, la région Pg ou CKL se traite comme la région AKB; les régions P,, et, P, se traitent comme la région ABLC, sauf qu'une partie de la ligure est rejetée à l'infini. Les régions P5 et P7 se traitent comme Pj ; enfin P,, Pg, Po et Pm se traitent comme P3.

Fis. 10.

Les points des droites BE et FL correspoudent ii des polygones de la première espèce et, sur ces droites, les points A et C sont les seuls qui correspondent à des polygones de la première catégorie ; cejsont les seuls aussi qui fassent partie de D„. Sur la droite BL (jui correspond à des polygones de la deuxième espèce, le point Iv est le seul qui fusse partie de D„. Et, en elTet, la substitution S3 le change dans le point

qui correspond à un polygone de la première catégorie.