XVI. — Théorie des sous-groupes

Nous venons de démontrer que tout type fuchsien contient une équation fuchsienne; il faut maintenant trouver l'équation fuchsienne contenue dans un type fuchsien donné, ou bien encore trouver le groupe fuchsien correspondant.

Mais, avant d'aborder ce problème, il faut dire quelques mots des sousgroupes contenus dans un groupe fuchsien donné.

Ces sous-groupes sont de deux sortes :

1" Les sous-groupes d'indice lini, c'esl-à-diro ceux qui sont tels qu'on peut obtenir toutes les substitutions du groupe principal en multipliant toutes les substitutions du sous-groupe par un nomjjre fini de substitutions.

2° Les sous-groupes d'indice infini.

378 Sun LES GIIOUPES DES É(,>UATIONS LINÉAinES.

A lin iuiliT pi)liit (le vue, les sous-groupes sont encore de deux sortes :

1° Les sous-groupcs dislingués [ausgzeirhnet), comme disent les Allemands, c'cst-ii-dlre ceux qui sont [lermulables à toutes les substitutions du groupe principal.

2" Les sous-groupes non distingués.

[(]('. Ki.Kirv, ]falheiiialisclie Amialen, Bd 17; \\ altiier Dyck, Leber vegulàre Riemanii' srlie F lâche , Griippentheoielisrlie Studien (Mathematiscfie Aiinale/i, Bd 17, 20).]

Les sous-groupes d'indice fini ne sontautre cliose que des groupes fuchsiens. Soient G le groupe principal et^- le sous-groupe qui v est contenu. Soient Ro le polygone générateur de G ; R, , R^, . . . ses divers transformés par les diverses substitutions de ce groupe. Soit Po le polygone générateur de g-. Il est aisé de voir que Po est formé j)ar la réunion d'un certain nombre de polygones R„, R,, R2, . . . , R„.

Choisissons d'une manière quelconque 11 ^ i polygones parmi les polvgones

Ro, Ri, R2, ....

Soient, par exemple, R,,, R,, Ro, . . . , R„ ces /* -f- i polygones et supposons que leur ensemble forme un seul tout simplement connexe. Soit Pq cet ensemble. Un certain nombre de côtés des polygones R resteront libres ; ce seront les côtés de P„. 11 reste à voir comment ces côtés doixent être distribués en paires de côtés conjugués. Soient a„ l'o un côté de R,,, a'^ b'^ son conjugué; soient a,b,, c-'t^'t 'es côtés homologues de R, ; «o/'o, a.',//., ceux de Ro. etc. Parmi les n + i côtés a,^,, il y en aura un certain nombre p qui resteront libres; de même parmi les n 4- i côtés a',-èî-, il y en aura p, c'est-à-dire un nombre précisément égal, qui resteront libres. Nous pourrons alors conjuguer chacun des côtés a,/;, restés libres à l'un des côtés a'^b) restés libres et cela d'une manière arbitraiie. Tous les côtés de Pq se trouveront ainsi répartis en paires de côtés conjugués.

Il y a encore une condition pour que Pj puisse engendrer un groupe discontinu : c'est que, si l'on ri'partit ses soniiucts en cycles, la somme des angles de chaque cycle soit une partie aliquote de :>.—. Si celte condition est remplie, Pfl engendrera un groupe l'uchsien qui sera un sous-groupe de G. On (ditiendra d'ailleurs de la sorte tous les sous-groupes d'indice lini de < ?.

SUR I-ICS OROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. Ï79

Soient maintenant

(i) \ = F,{z), Y=Fo(3), ¥3(2),

les fonctions t'iiclisiennes engendrées par G et

les fonctions fuclisiennes engendrées par g. La classe des fonctions fuchsiennes (2) contiendra la classe des fonctions (i) tout entière comme cas particulier.

Supposons d'abord que G et ^ soient tous deux de genre o. Alors, toutes les fonctions (i) s'expriment rationnellement en X, toutes les fonctions (2) rationnellement en x. On en conclut que X est une fonction rationnelle de X. Il est d'ailleurs facile de trouver les coefficients de cette fonction rationnelle, quand on connaît les valeurs de X pour les diirérents sommets deR„.

Si maintenant G est de genre o et g de genre p, toutes les fonctions (i) sont rationnelles en X, et X est rationnel en x et en y.

Il peut arriver enfin que ni G, ni g ne soient de genre o. Dans ce cas, X et Y sont rationnels en x et i^, et la réciproque n'est pas vraie.

Il est à remarquer que cette théorie est tout à fait analogue à celle de la transformation des fonctions elliptiques. Qu'est-ce en effet que cette transformation? Elle consiste à étudier la relation qui a lieu entre les fonctions elliptiques engendrées par le groupe

(3) (z, m (li i -i~ itM 2) ((•),, tu, périodes données; m, n entiers quelconques) et les fonctions elliptiques engendrées par le grou])e

(4) {z, mQ^-i- nQ.J,

en choisissant ces nouvelles périodes Q, , Qo de telle sorte que ce second groupe soit un sous-groupe du premier. Remarquons également que si l'on applique ces principes aux fonctions fuchsiennes engendrées par l'équation de la série liypergéométrique, on retrouvera sans peine les résultats obtenus par M. Goursat dans sa remarquable Thèse (Annales scientifiques de l'Ecole Normale, 1881).

Dans le cas particulier où g est un sous-grou[)e distingué, la subdivision de Pq en « + I polygones R est régulière, même après qu'on a plié et déformé Po de façon à recoller ensemble les côtés conjugués et à faire de ce polygone

38o SUR LES GROIPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

une surface fermée. De plus, les relations entre X, ^ , .r e y sont d'une nature particulière. Ainsi, si par exemple G et ^- sont tous deux de genre o, le groupe de l'équation algébrique qui lie X et a? est une seule fois transitif.

Considérons en particulier un exemple qui nous sera utile dans la suite. Supposons que Ro soit un polygone

aiajaa . . . a„a„n 13„[3„i . . . Pspj

symétrique par rapport à sa diagonale ol, a„^., de telle sorte que p, soit symétrique de a,-. Je suppose de plus que les côtés symétriques sont conjugués et que tous les sommets sont sur le cercle fondamental et tous les angles nuls. Soit X = F(3) une des fonctions fuclisiennes engendi-ées par R,, et à l'aide de laquelle toutes les autres s'expiiment rationnellement. On aura pu choisir F(;) de telle façon que cette fonction reste réelle sur tout le périmètre de Ro et sur la diagonale a,a„^,. [Cf. Mémoire sur les fonctions fuclisiennes [Acta mat/ieniatica, t. 1, p. 232 et 372)] (').

Cette fonction donnera alors la représentation conforme du polygone

ro= «laoaj. . . a„a„+iai

sur un demi-plan. Soit maintenant R, le transforzné de R;, par la substitution qui change pipi+{ en oLioLi^,. Ce polygone sera symétrique de Rq par rapport à a,a,-^,. Considérons maintenant le polygone Po = Ro + R| et regardons comme conjugués deux côtés de ce polygone s'ils sont symétriques par rapport à a,a,^,. Tous les cycles de ce polygone étant paraboli(jues, il engendrera un système de fonctions fuchsiennes. Je choisirai parmi elles une de celles à l'aide desquelles toutes les autres s'expriment rationnellement et qui de plus restent réelles sur tout le périmètre de Ro cl de R,.

Je l'appellerai x=^f{z). Cette fonction donnera la représentation conforme sur un demi-plan, non plus de /'o comme dans le cas |)récédent, mais du polygone Ro tout entier.

Pour achever de délînir x je supposerai

/(ï|) = o, /(, a„+i ) = 3= et j'aurai

y \-F(oc„+i)'

Nous pourrons prendre indifféremment le signe ~|- ou le signe — . (') Ce Tome, p. 204 et 'j38.

Poussons la chose plus loin. Soil P4 le polygone symétrique de Pq ])ar rapport ù un de ses côtés que j'appelle G. Soil Q,, =; P,, + P, et regardons comme conjugués deux côtés de Qo symétriques par ra|)|)ôrt il G. Soit y une fonction luchsienne engendrée par Qo et à l'aide de laquelle toutes les autres s'expriment rationnellement. Je suppose que >' soit réel le long du périmètre de Qo et par conséquent le long de G.

Je pose d'ailleurs

7 = tp(3), t5(a,-) = o, cp(x,-+, ) = Qc;

d'où

, //X-F(..) /fT^

V ^—/(^i+i) \/ / \-F(a, ) . /"Fô

)- F(ot„H, 1

1)— l*(ai)

Cet exemple montre quelle est la nature des relations qui existent ejitre les fonctions fuchsiennes dérivées d'un groupe fiichsien G et celles qui dérivent d'un sous-groupe de G.

Nous allons maintenant dire quelques mots des groupes distingués d'indice fini ou infini. \ oici comment on peut être conduit à envisager de tels groupes.

di' IV di'-i «•

une équation linéaire où les coefficients (a soient rationnels en x. Supposons que les points singuliers de celte équation soient

et de telle façon que les racines de l'équation déterminante relative à rt/ soient toutes des multiples de tt-, K, étant un entier positif. SI l'on ne peut trouver aucun nombre entier tel que ces racines soient multiples de -jt-j on fera K,^^ oc. Nous pourrons, en vertu des paragraphes VIII à \l\ , trouver une équation fuchsienne

admettant pour points singuliers

«1, ajj • . . 1 "n et de telle façon que la différence des racines de l'équation déterminante rela-

382 SUR LES r.nOUPES DES ÉQUATIONS MNÉAIRES.

live à ai soit -jt-- Celle étjualioii fiiclisienne apparlienilra à un type fiiclisien que j'appelle T.

Soit c le rapport des intégrales; X sera une fonction fuchsienne de ; el j'appelle G le groupe de cette fonction. Les intégrales

<le l'équation (.")) sont des fonctions uniformes de z. Soit S une substitution de G. Quanil nous appliquerons à z cette substitution, les intégrales w deviendront

w\, ii'i, w\, ..., »•;„

et il est clair que les w) sont des fonctions linéaires des (v,-; j'appellerai S la substitution linéaire qui fait passer des ce,- aux w) et j'écrirai pour abréger

Cette équation exprimera que quand c subit la substiluiion S, les «• subissent la substitution S.

Les substitutions S formeront un groupe F qui sera isomorpbe à G; mais cet isomorpbisme pourra être holoédrique ou mériédrique. S'il est mériédrique, il y aura une infinité de substitutions

(8) S„ So, ..., S

du groupe G auxquelles correspondra la substitution unité dans le groupe T. Ces substitutions (8) formeront un sous-groupe g du groupe G. Je dis que ce sous-groupe est distingué. En ell'et, soient ,« une substitution de G ne faisant pas partie de g^ et 7 la substitution C(U'respondante du grou])e F. Soit S, une sulistilution de g; je dis que .$~'S|5 fera aussi partie de ,;'. En ellet, nous

aurons

11^(25-' Sj ) = n'( Si-' )i

w(zs) = [n-{ z)]t,

ir(;i-'S,i) = [(p(x;i-iS,)]7= [iv(;i-i)]ff,

iv(s) = w{zs-^ s) = [w(;.s- -' )]3'

ou enliu

w{zs-'^ S| s) = w{z). c. 0- F- •)•

Nous sommes ainsi conduits à envisager des groupes g distingués el à indice Uni ou infini el des foiictinns tr tic ; qui ne sont pas altérées par les substilu-

lions de ces sous-groupes. Supposons que Téqualion (5) s'intègre algébriquement, alors le groupe des substilulions S est d'ordre fini; donc g est un sousgroupe d'indice fini. Ainsi, la question de l'intégration algébrique des équations linéaires se ramène à celle des sous-groupes distingués d'indice Uni et de la transformation des fonctions fucbsiennes. Nous nous occuperons de tout cela plus tard.

Lorsque g est d'indice infini, on peut trouver néanmoins quelque cliose d'analogue au polygone générateur d'un groupe fuchsien. Soient, en effet,

une infinité de substitutions de G, choisies de telle sorte que si

(10) I, (T,, ï.,, Us, ..., <S,„ ...

sont les sidjstilutions correspondantes de F, le tableau (lo) contienne chacune des substitutions de T et ne la coutlenne qu'une fois. Soient maintenant

Ro. R), Rji R3, ..., R/M ...

les polygones analogues à Rq et correspondant aux diverses substitutions du tableau (9). L'ensemble de ces polygones formera une région Qq qui sera une sorte de polygone générateur du groupe g.

Si, en particulier, l'équation (5) estdu second ordre et que nous appelions I le rapport des intégrales, t sera une fonction uniforme de r, inaltérée par les substitutions de g. Supposons iiiaiiili'uaut que (5) appartienne au type T et que X soit une fonction kleinéenne de l n'existant que dans un de ces domaines D dont la limite n'est (las une courbe analytique et dont il a été question dans le Mihnoire sur les groupés kleincens. Alors le groupe g se réduira à la substitution unité et t ne pourra prendre qu'une fois et une seule chacune des valeurs intérieures à D. La relation entre ^ et : nous donne alors la représentation conforme de D sur un cercle.

.l'arrivé au point le plus important. .le suppose que (5) soit une équation fuchsienne appartenant à un type T' et que le type T soit subordonné à T'. Alors X est fonction fuchsienne de t. Il arrive alors que t. est fonction uniforme de ; inaltérée par g. Elle peut prendre toutes les valeurs intérieures au cercle fondamental et n'en peut prendre d'autres. Elle ne peut prendre d'ailleurs chacune d'elles qu'une seule fois ii l'intérieur de Q„, mais elle peut prendre chacune d'elles une infinité de fois à l'intérieur du cercle fondamental.

384 Sl'R LES GROUPES DES ÉQUATIONS MNÉAIIIES.

11 reste ii examiner ce qui se passe quainl les coefficients » de l'équation (5), au lieu d'être rationnels en ;r, sont rationnels en ,r et j', ces deux variables étant liées par la relation

Je vais considérer une équation (6)

où ']/ est rationnel en x et qui admet pour points singuliers non seulement ceux de l'équation (5), mais encore ceux de l'équation (i i), c'est-à-dire les valeurs

de X pour lesquelles -r- ^= o. Si b est vin point singulier de cette espèce et si,

dans le voisinage de ce point singulier, À valeurs de y se j)ermulent entre elles de la nrmière bien connue, la différence des racines de l'équation déterminante

de (6) devra être rr» k étant un multiple de /. Remarquons bien ce qui suit

pour éviter toute confusion; à cl)a(|ue valeur de x correspondent plusieurs points de la surface de Riemann(i i). Si l'un de ces points est un point singulier de (5), en général il n'en sera pas de même des autres, et cependant tous ces points analytiques sont alors des points singuliers de (()); cartp(x) est rationnel en x et indépendant de y; et, par conséquent, il n'y a pas lieu de s'inquiéter de savoir à quel feuillet de la surface de Riemann appartient le point analytique correspondant.

Cela posé, soient (j le groupe de l'équation (6), ; le rapport des intégrales; X sera une fonction fuclisienne de :; ; y sera une fonction uniforme de 5, mais elle ne restera pas inaltérée par toutes les substitutions de G. Si j'appelle g' le groupe formé par toutes les substitutions de G qui n'allèrent pas )•, ce groupe sera un sous-groupe d'indice fini de G; mais il ne sera pas distingué en général [à moins que le groupe de l'équation algébrique (ii) ne soit une seule fois transitif].

Si, au contraire, je considère à la fois les //; valeurs de )' qu'on peut tirer de l'c'quation (i i) en la su|)posant de degré m en y, et si j'appelle g" le groupe formé par les substitutions de G qui n'altèrent aucune de ces m valeurs, g" sera un sous-groupe distingué.

Appelons enfin g le groupe formé par les substitulions de G qui n'altèrent pas les intégrales de l'équation (5); ce sera un sous-groiqie d'ordre fini de G et

de ^'. Considéré comme soiis-i,'roupe de G, il ne sera pas distingué; comme sous-groupe de g' , il sera distingué.

Nous pourrons regarder le groupe g' comme engendré par un polygone P'„ formé par la réimiim de m polygones transformés de Rq; le groupe g sera engendré par une région Qq formée par la réunion d'une infinité de polygones transformés de Pj,. Quant à g" , il sera engendré par un polygone P^ formé par la réunion de w polygones transformés de R„, w étant l'ordre du groupe de l'équation algébrique (i i). Si ce dernier groupe est une seule fois transitif, 10 = m, et g' et g" ne diffèrent pas l'un de l'autre.