XVII. — Troisième problème. Types symétriques

On a vu au paragraphe X avec quelle facilit('- on démontre que tout type fuclisien symétrique contient une équation fuchsienne; nous allons faire voir maintenant comment on peut calculer, avec une approximation iiuliliiiie, les coefficients de celte é(pia[ion.

Considérons un type svinélrique T :

•i(a7) étant rationnel en .r, tous les points singuliers de cette équation sont réels et toutes les équations déterminantes ont une racine double. Soient

les points singuliers réels en question. Au lieu de supposer que ces points singuliers sont réels, nous supposerons qu'ils sont tous situés sur le cercle de centre O et de rayon i. Il est aisé, en effet, de passer d'un cas à l'autre par un cliangemenl linéaire de la variable a;. Il s'agit de déterminer les coefficients restés arbitraires dans l'équation (i) de telle façon que cette équation soit fuchsienne. Supposons le problème résolu. Soit :; le rapport des intégrales. La variable x sera une fonction fuchsienne de :; et le polygone générateur R„ de cette fonction sera symétrique et aura tous ses sommets sur le cercle fondamental. Il sera partagé par une de ses diagonales en deux polygones symétriques To et ;■',,. Je suppose que le centre du cercle fondamental soit intérieur à /■„ et j'appelle b un certain point que je suppose réel et intérieur également à r„. La fonction

sera une des fonctions fuchsiennes à l'aide desquelles toutes les autres s'expriment rallonnelleineut. .l'aclirvcrai de la définir par les conditions suivantes :

inodx = I, quand z est situé sur le périmc'lre de /-q, 3- = o, pour z = o, arg.r = o, pour z = b.

La fonction x :=/(:■) nous donne alors la représentation conforme du polygone l'a sur le cercle de centre O et de rayon i. Cela posé, soient RijRo, ... les divers transformés de Ro par le groupe engendré parce polygone. Ces polygones rempliront tout le cercle fondamental et chacun d'eux sera subdivisé en deux parties symétriques r, et /■', , /■■, et i\i etc. Considérons un certain nombre de polygones ;■,■ et r]. dont l'ensemble forme un seul lout simplement connexe. Soit Pg le polygone formé par cet ensemble. Considérons la fonction

qui donne la représentation conforme de Pq sur le cercle de centre O et de rayon i . Pour achever de définir v, je suppose

e(o) = o, jrge(6) = o.

Cette fonction 8(5) sera une fonction fuchsienne dont le groupe §■ sera un sousgroupe du groupe G de la fonction f{z). Il résulte de là que x est une fonction œ(.T') rationnelle en y. Il est d'ailleurs facile (et nous reviendrons sur ce point un ))eu plus loin) de trouver les coefficients de la fonction »(.)■), quand on connaît les points singuliers a et la situation relative des différents jiolygones /',■ et r'/. dont l'ensemble constitue P„. Or les quantités a nous sont données et nous pouvons disposer arbitrairement de la situation relative des polygones ri et r'^. Les coefficients de la fonction rationnelle »(j') peuvent donc être regardés comme connus.

Nous pourrons toujours, à la condition de prendre un assez grand nombre de polygones r,- et r\., choisir ces polygones de telle sorte que le cercle de centre O et de rayon p soit tout entier intérieur à P„, et cela quelque grand que soit p, pourvu, bien entendu, que ce rayon reste inférieur à 1. On aura

alors l'inégalité suivante :

modz mod^ < inodK < ■•

On pourra donc clioisii- un rayon o suffisamment voisin tle 1 et par consé-

StR LES GROUI'ES DKS ÉQUATIONS LINÉAIRES. 387

quent Mil polygone 1^,, sut'Msainiiienl gnuul jjoiir (jiie la dillerence entre inod s

et inocl)'- soil aussi petite que l'on \eut. En d'autres termes, quand p tend vers

l'unité, on a

lim mody = niod z.

Mais ce n'est pas tout. Soient

^ = ^ + jr,, H = logniocl— , (' = arg^«

Supposons que : soit un certain point tel que

mod; < pi < p < I,

Pi étant une quantité positive convenahlcinenl clioisie. INous aurons, il l'intérieur du cercle de rayon o,

o < M < log--

On en conclut qu'à l'intérieur du cercle de rayon g, on a

Mai

Vp/ ^

ÏÏ^

du d^ ''

du dr, =

On en conclut que -j-, et -y- tendent niiiJoiin<hneiit vers zéro quand p tend vers I . Or, pour z =z b, on a r = o ; on peut <lonc écrire

d'où l'on conclut

r''\dv dv \

lime = o pour limp = i

lim(f< 4- if) = o,

Y lim — = I, limj' = 3.

Je vais maintenant démontrer que, pour une valeur quelconque de r, la limite de la foncti(ui rationnelle '■^{z) [qui n'est autre que o{y)^ où y est remplacé par z\ est précisément la fonction fuchslenne y (s). Nous avons

y = 0(oj.

388 SUR i,f;s ghoupes ues équations linéaires.

Posons, de inOinc,

Je tlis que

En effet, lorsque ; est à l'intérieur du cercle tie centre O et de rayon o,, nous avons

log(l)/3^

niod -p- > 1 az

Mï

J'appelle, pour aijréger, K le second inciubre de celle inégalité. Or, nous

avons

niod; < mod^

et, par conséquent,

modii < iDodi < p,.

Il vient donc

l^.-^-KIr-^l-^-

Or,

lini \y — ; I = o, donc liiii | ; — -i | = o.

Nous avons d'ailleurs

Maisy(s) est une fonction continue el, comme la différence z — z, lend vers

zéro, nous aurons

l'n'/(=i) =/(3) ou

hm tf(z) = /(z). C.Q.F.D.

On démonlrerail de même C|ue la limite de la dérivée /('""" de a(;) est la dérivée n"'"' de/(z).

Il s'agit de profiter de ce qui précède pour calculer les coefficients restés arbitraires dans l'équation (i). $oit/J le nombre de ces coefficients que nous appellerons pour abréger les coefficients c. Soient r, et v-, deux intégrales de l'équation (i) définie comme il suit :

• rfci pour .r = o, l'i = o, -7— = i,

fiv, pour a- = o, l'j = I , -— = o.

Le rapport — est alors une fond imi de ;r parla ilcmenl dcliiiic Calculons dans ' ' t'a

SUR I.ES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. 38f)

le cléveloppemenl de cette fonction les coefficients de

.r-, jr', jc^, . . . , xi'+'.

Ces p + 2 coefficients s'exprimeront rationnelleinent en fonctions des coefficients c et des points singuliers «. ^lais nous aurons

V, HZ

a et y étant deux constantes que nous ne connaissons pas encore. Nous avons dans l'identité (2) une relation entre x:=f(z) et s. On peut en tirer les ^+2 premiers coefficients du développement de f {z) suivant les puissances de r en fonctions rationnelles de a, de y, des c et des a. On peut donc avoir réciproquemt'iil les c, a et y en fondions lal lunnclles des a et des p -{- 2 premiers coefficients du développement de /(;)• Or les a nous sont donnés, les coefficients du développement de J (:■) peuvent aussi être regardés comme connus, puisque ce sont les limites des coefficients du développement de '-5(3); les coefficients c peuvent donc aussi être calculés avec une approximation indéfinie.

On peut se [)roposer, au lieu de calculer les coefficieuls de l'équation (i), de trouver directement le groupe de cette équation. Voici comment on peut opérer.

Supposons que x décrive, dans le sens positif, un contour fermé aulmir du

poini singulier a,; c se cliangera en -^-^ ^) la subsliuilion

élanl [>araI)oliqiir ; en même lcin|)s )■ se changera en )/• Si la valeur initiale

de z est o, sa Viilcur finale sera ^ = A, ; si la valeur initiale de )• est o,

sa valeur finale s'appellera [i.,. La connaissance de )., suffit pour di'terminer la substitution S,- ; mais, quand on connaît la fonction rationnelle a(j-), la détermination de |i.,- n'est qu'une question d'algèbre. On a d'ailleurs

X, = lim (ji,-.

On déterminera ainsi toutes les substitutions S, et par conséquent le groupe G.

11 y a, d'autre part, entre les X/ une relation algébrique qui facilitera le calcul.

Il reste maintenant à entrer plus profondément dans la question et à voir

390 SIR LES GROUPES DKS ÉQUATIONS LINÉAIBES.

coiniiical (111 |Miil (■iriH'tiNcniciit calculer les coefficients de la fonclion rationnelle »(,.)■)• Le calcul dépend nalurellemenldu choix des polygones /■, el /',,, dont l'ensemble constitue Po- Mais ce choix est lui-même à peu près arbitraire et nous sommes forcés, pour fixer les idées, de choisir certains exemples particuliers. Il est bien entendu que ce ne sont là que des exemples, et nous ne voulons pas dire que le choix que nous allons faire soit le meilleur et le plus simple. Il est même probable que l'expérience et la pratique contluiront à faire un choix difTérent.

Soient a,, aj, ..., a„ les sommets de /'o correspondant respectivement aux points singuliers «,,«2,. •••) cin- Considérons le polygone P^ formé de ;'o et du polygone symétrique de ;•(, par rapport à l'un de ses c<)tés, à a,a„ par exemple. Appelons j'i la fonction )• qui est engendrée par ce polygone P^, el z-i une fonction liée à j'i par une relation linéaire convenablement choisie el dont nous déterminerons plus lard les coefficients. Nous aurons alors

Considérons maintenant un polygone P^ formé de P,' et du polygone symétrique de PJ par rapport à l'un de ses côtés que j'appelle C. .J'appelle y^ et z-^ des fonctions qui sont à PJ ce que y^ et Zi sont à P^ el j'a|)pelle i> et c les valeurs de ^1 aux extrémités du côté C. Nous aurons alors

^Vs^'

Ai) -«2 -H B2

Lj9 J')

On opérera sur PJ comme on a opéré sur P^ et ainsi de suite ad iiijiniiuin. On calculera ainsi successivement les valeurs de

Pour passer de ;/ à >',, il faut connaître les coefficients de la relation linéaire

KjZi-Jr- B,-

CiZi-^Di

On déterminera ces coefficients de telle façon que )/ s'annule avec x, ait son module égal à 1 en même temps que x, et soit réel pour une certaine valeur réelle de x.

Il reste encore (luelquc ciiose tlarltilrairi' dans le mode de génération des polygones P,',, Pj-j, .... Pour former P'„ à l'aide de Pj,', on annexe à ce polygone

SW» LES GROUPES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. Sgi

son symétrique par rapport à l'un de ses côtés C; comment choisir ce côté G ? Il conviendra de choisir cehii des côtés de PJ, ' dont on suppose que la longueur géométrique doit être la plus grande.

Je répète que je n'ai voulu donner ici qu'un exemple et que mon intention n'est pas de recommander ce mode de génération des polygones P„ de préférence à tout autre. Je crois au contraire qu'il serait plus avantageux de s'arranger de façon que le groupe de la fonction fuclisienne fi(^) soit toujours un sous-groupe distingué de G.

Dirigé de la sorte, le calcul des coelficients c tie 1 équation (i) ne laisserait pas d'être assez long si l'on voulait pousser l'approximation très loin. Mais on peut, pour la plupart des applications, se contenter d'une apju-oximation grossière. En effet, si les coefficients c, au lieu d'avoir exactement les valeurs qui conviendraient à l'équation fuchsienne, sont seulement suffisamment voisins de ces valeurs, la variable x n'est plus fonction fuchsienne du rapport ;; des intégrales, mais elle en est encore fonction kleinéenne, ce qui suffit dans presque tous les cas.

Voici comment ce que l'tm vient de voir peut s'appliquer au cas des types non symétriques. Soit

une équatKui appartenant à uu ty[>(' fuchsien T. Ce type contient une équation fuchsienne et, si j'appelle l le l'apport des intégrales de cette équation fuclisienne, les variables x et )■ seront des fVjuctions fuclisiennes de t. Mais nous ne nous proposons pas pour le moment de trouver les coefficients de cette équation fuchsienne elle-même; nous voulons seulement trouver une équation fuchsienne dans un type T' subordonné à T. l'our cela, soit

le tableau des points singuliers de l'équation (3) et de ceux de la relation (4 ). Nous avons \ii, au paragraphe XI, qu'il existe toujours une équation fuchsienne

où F(a;) est rati(Uinel et qui admet pour points singuliers, non seulement les )i quantités données (5), mais encoi-e /■ autres quantités non ilunuécs //,,

ù^i SUR LES GIIOIIPKS DES EQUATIONS LINEAIRES.

l>-2 l^/i- iic [lins, toutes les équations déterminantes ont une racine

(L.uble.

Or, si l'on se reporte à ce qui a été dit dans ce paragraphe XI, on verra que nous avons formé cette équation (6) à l'aide d'une autre équation fuchsienne dont tous les points singuliers étaient réels et qui, par conséquent, appartenait à un type symétrique. D'ailleurs, nous venons de voir que les coefficients d'une équation fuclisienne contenue dans un type symétrique donné peuvent être regardés comme connus. 11 en sera donc de même de ceux de l'équation (6).

Cela posé, soit ; le rapport des intégrales de (fi); x sera une fonction fuchsienne de :•, ayant pour groupe G. D'ailleurs, y sera une fonction uniforme de z. Si ^' est le groupe des substitutions de G qui n'altèrent pas )• (cf. paragraphe précédent), y sera une fonction fuclisienne de z ayant jiour groupe g'; le groupe °' engendrera alors une équation fuclisienne qui ne sera autre que

avec la relation

Celte nouvelle équation fuclisienne [que je regarde comme différente de l'équation (6) non accompagnée de la relation (4)] fera partie d'un type T' subordonné à T et nous avons vu que ses coefficients sont connus. Le |)roblèiiie que nous nous proposions est donc résolu.