C0SS

langy = j- ;

et, par les mêmes substitutions, on trouvera

•/Vcos2s+T

i+ - — h v 1 -f-/2sin2s

Or il est visible que la plus grande valeur de K a lieu lorsque 5 = 0, ce qui donne

d'où l'on peut conclure que K est toujours nécessairement moindre

que •-

/WP^0^I^±z\

c'est-à-dire, à cause de X2 + \j? + v! = i,

Celte quantité est nulle lorsque / = 1 ou — 1, qui sont les deux valeurs extrêmes de X, et son maximum a lieu lorsque X = II, auquel

cas f— • Donc, comme H = sin^F, W étant la parallaxe horizon -

laie du Soleil, on aura, pour la plus grande valeur de/, tangT; d'où

je conclus enfin que K est toujours <; — •

Comme l'on a *F = H"i, on voit que K est une fraction excessivement petite; de sorte que la série qui exprime la différence entre les angles 2' et cr est nécessairement très-convergente. Le premier terme de cette série, étant 2K sinffCOs(jT -f- 7), sera toujours <2Ksin<7, et par conséquent <8"|sin7.

Donc, tant que sin<7 ne sera pas > y^, ce terme donnera toujours un angle <i". Ainsi, lorsqu'on voudra négliger les tierces dans la valeur de 1' ', on pourra négliger le terme dont il s'agit et tous les suivants, et prendre simplement 2 = a, du moins tant que a ne sera guère > 5°.

20. Dans les éclipses de Soleil, la plus grande distance apparente des centres ne surpasse pas 34 minutes, somme des plus grands demi-dia- VII . 56

mètres du Soleil et de la Lune, et cette distance est encore plus petite dans les passages des planètes; donc 2' et a ne seront pas > 34'; donc sin 7 < ■—. Par conséquent le premier terme de la série qui exprime la différence entre 1' et a sera << o", i.

D'où il s'ensuit que dans les éclipses de Soleil, et a plus forte raison dans les passages de Vénus et de Mercure sur le disque du Soleil, on peut prendre 2' = a sans commettre une erreur d'un dixième de seconde. On aura donc simplement, pour la distance apparente 2' dans ces sortes de phénomènes, la formule

tang2'=v/(//-P')*4-(?'-Q' -'•

27. Cette expression de tang2', quoique déjà fort réduite, est néanmoins susceptible de l'être encore davantage.

Et d'abord, comme les quantités P' et Q' sont extrêmement petites, on pourrait les négliger tout à fait vis-à-vis de// et g'; mais il est bon d'apprécier l'erreur qui en résulterait.

Pour cela, je remarque, en général, que toute quantité de la forme V(« + a)2H- (6-h/3)2 est nécessairement comprise entre ces deux limites \la- -+- b'2 -h \/a2 -t- fi'2 et \[a? + b2 — \Jol2 + fi2 , de sorte qu'en négligeant les quantités a et fi on ne commet, sur la valeur de \/(a -+- a)2 + (b ■+■ fi f. qu'une erreur moindre que \/a2 -+- fi- .

En effet, on a

(a + a)2 -+- [b -+- 13)! = a- -4- b2 + a2 4- J32 -4- i[ax -h 6(3);

mais

[ax + b£>Y = («5-+- Z»2)(a2 + (3') — («[3 — bx}2;

donc au -+- bfi sera toujours nécessairement comprise entre ces limites

± \Ja- -t- b~ \Jcr -+- fi- ; donc les limites de [a + a)2+ (b -h fi)2 seront

donc les limites de \'{a -f- c/.f -h (b -h fi/2 sont \!a- -+- b- ± \/a* ■+■ fi'2. Il s'ensuit de là que la valeur de tang2' sera toujours comprise entre

ces limites \jp'2 -+-q"- ± \P "' -+- Q'2; de sorte qu'en prenant simplement

tang2'= v7/2-+-(y"'

l'erreur ne surpassera jamais y/P'2 + Q 2.

Or on a trouvé plus haut (25) que la plus grande valeur de \fW*~+ Q"

est tangxF; donc, si l'on fait \p'2 + q'2= tang?', on aura, dans les cas

extrêmes,

tang2' = tango-' ± tangM7,

tango-' dztangM7^ (fqp tango-' tangM7) tang(o-'± W) ;

de sorte que

tango '+ tangxF-<tang(o' -h W ), et tango-'— tang^F >■ tang(o-'— W); par conséquent on aura, dans les cas extrêmes,

lang2'<tang(o-'-+- VF), ou tang2'> tang(o-' — W);

donc

2'<o' + vF et >o-'-vF.

D'où il est aisé de conclure qu'en prenant 2' = <?', c'est-à-dire tang2'-— \:p"2 -4- «'2 , l'erreur qu'on pourra commettre sur l'angle 2' ne pourra jamais surpasser l'angle ¥, qui est égal à la parallaxe horizontale du Soleil. Mais aussi cette erreur ne sera pas tout à fait à négliger, lorsqu'on voudra porter la précision jusqu'aux secondes inclusivement.

28. En général, il est facile de déduire de l'analyse précédente que si, au lieu de la véritable équation

tang2'=^/(//-P7 4-(?'-Q », on prend celle-ci

lang2'= s/(//- 1"+ tt)» -t- [g'- Q + (3)',

a el p étant des quantités quelconques, l'erreur qui en résultera dans

kkk SUR LE CALCUL DES ÉCLIPSES

la valeur de l'angle T sera toujours moindre que l'angle qui aurait pour tangente yV -+- /52.

Comme // = -, f et? = -, -(19), si 1 on suppose « — P = -. ^>

j — Q = -. -, on aura

v, sj\m — (57 — n/Wp + r» — f57 — n/)v]'

tang2' = -^= s ^V ± ! —L,

et la valeur de 1' , déduite de cette équation, ne pourra jamais différer de la véritable, d'un angle plus grand que celui dont la tangente sera Va2H- j3*. Or

donc

s! a2 -+- [32 = n v/ ua H- v2 r „r = -fi vw — ^^777"'

v r v ' W — G7A i — H A / / — 57A ( i — Il A

à cause de p.2 -+- v2 = 1 — - X2.

La plus grande valeur de Xy'i — X2 a lieu lorsque X = ^-|, ce qui donne Xy 1 — X2 =\\ de plus

(/ — 57A)(i — nx) = /— (57 + n)A + 57n /.= >/ — i 57 + n)A>/ — 57-n,

à cause que X est toujours renfermé entre +1 et — 1. Donc on aura nécessairement

Donc, comme 11 = sin8"-|, l'angle dont la tangente est \ja2 -h |B2 sera

< 8"^ x —r-. ^-r- Mais pour la Lune on a environ rs = sin 1° = -^,

et cette quantité est encore beaucoup moindre pour Vénus et Mercure;

donc l'ancrle dont il s'agit sera < — ; =rr: et, comme /=cos£cos6

(20) = à peu près 1, à cause que t et b sont toujours des angles fort

SUJETTES AUX PARALLAXES. Uli

petits dans les éclipses et dans les passages, il s'ensuit que l'angle en question ne sera jamais que de quelques tierces, dans les cas extrêmes. Enfin, au lieu du terme 17/ qui entre dans la dernière expression de tan g 2', on pourra, pour plus de simplicité, mettre simplement 17, et la plus grande erreur qui en pourra résulter dans la valeur de 1' scia. par la théorie précédente, égale à l'angle dont la tangente serait

l — Tzk l — CîX

La plus grande valeur de .— — j a lieu lorsque À = -,■> et elle est par conséquent