TT

Donc, à cause de I7 = sin8"|, l'angle dont il s'agit sera <8"^x — -=•

v1/2 — recette quantité est, comme l'on voit, encore plus petite que celle que nous avons négligée ci-dessus; par conséquent la substitution de 17. à la place de 17/ n'augmentera pas l'erreur sur la distance apparente.

29. Nous venons donc de démontrer rigoureusement que, dans les éclipses de Soleil et dans les passages des planètes par son disque, la distance apparente 2' des centres peut être déterminée par la formule

iangr = v/ï"7~ ( CT ~ n ] !Jï +j> - i** - n )7F,

sans que la plus grande erreur puisse aller au delà de quelques tierces. Cette formule se réduit, par ce qu'on a démontré dans l'Article II, à celle-ci

pvi vLsil,/ cos/>— sin (ft»p — ull ]]2 -+-[ sinfr — sm v\> — v M ]'

cos* cos6 — sinX^

dans Laquelle b est la latitude de la Lune ou de la planète dont on observe le passage, t l'excès de la longitude de la Lune ou de la planète sur celle du Soleil, <i> la plus grande parallaxe de hauteur de la Lune ou

de la planète, et W la plus grande parallaxe de hauteur du Soleil. Les coefficients X, y., v sont des quantités dépendantes uniquement de la longitude A du Soleil, de la latitude réduite 9 du lieu de l'observateur, et de l'ascension droite 0 du milieu du ciel, et qu'on trouvera aisément par les Tables que nous avons proposées.

30. Comme tous les angles qui entrent dans celte formule sont toujours très-petits, n'y en ayant aucun qui puisse surpasser 1 degré dans les éclipses de Soleil et dans les passages des planètes sur son disque, on peut, sans erreur sensible, la réduire à

et celte formule sera suffisamment exacte lorsqu'on ne voudra pas pousser la précision jusqu'aux secondes de degré; mais, pour être sûr des secondes, il faudra toujours avoir recours à la précédente.

Au reste, si l'on néglige dans le dénominateur de cette formule le terme sin).^, on a, pour la distance apparente 2' , la même valeur qu'on trouve par la méthode ordinaire des projections; d'où l'on voit que, pour avoir une exactitude suffisante, il faut augmenter cette valeur dans la raison de 1 — sin X^1 '. 1; c'est ce que j'ai démontré ailleurs, d'après les principes mêmes de la projection, en donnant de plus un moyen de faire entrer cette correction dans la construction même de la projection.

31. On peut donc, par les formules précédentes, déterminer avec plus ou moins d'exactitude la distance apparente des centres dans un instant quelconque; par conséquent on peut juger des circonstances de l'éclipsé ou du passage, et il est clair que le commencement et la fin du phénomène auront lieu lorsque la distance apparente 2' sera égale à la somme des demi-diamètres apparents des deux astres.

Pour le Soleil et pour les planètes principales, le diamètre apparent est toujours le même, quelle que soit la hauteur de ces astres sur l'ho-

SUJETTES AUX PARALLAXES. hkl

rizon; du moins la variation est trop insensible pour qu'il soit nécessaire d'en tenir compte, a cause de l'excessive petitesse de la parallaxe de ces aslres. Ainsi il suffit de prendre leurs diamètres apparents, tels que les Tables astronomiques les donnent pour le temps dont il s'agit. Il n'en est pas de même pour la Lune; car, cette planète ayant une parallaxe considérable, son diamètre apparent augmente d'une manière sensible, à mesure que la hauteur sur l'horizon est plus grande : c'est ce qu'on appelle en Astronomie X augmentation du diamètre de la Lune, et l'on a des Tables qui donnent cette augmentation pour tous les degrés de hauteur de la Lune. Voici comment on pourra tenir compte de cette variation par nos formules.

32. Soit d le demi-diamètre horizontal de la Lune donné par les Tables, et d' son demi-diamètre apparent dans un instant quelconque; il est visible que, r étant la distance du centre de la Lune au centre de la Terre, et r' la distance du centre de la Lune au lieu de l'observateur, on aura également rs'ind et r'smd' pour le demi-diamètre réel de la Lune dans son orbite. Donc rs'md = r' s'md'; par conséquent

,, rsmd sina = ; — •

Or, par le n° 10, on a

^[t — uA)1 -+-(/» — &y-ï' -+- [n — &v r;

ainsi il n'y aura qu'à diviser la valeur de sïnd par cette quantité pour avoir celle de s'md'.

Par la formule du n° 29 on a

s/[m — (v — ll)ttja-t-|> — [m — H j v J1 = [l — wX)tang£';

si l'on néglige les termes T\ [A et Hv, et qu'on prenne (/— srX) tangl pour la valeur de \J{m — • v,[X)2 -+- (n — zsv)*, on ne commettra dans cette valeur qu'une erreur moindre que y//.2 -+- v" par le n° 27, c'està-dire (à cause de À2 -+- p.2 -+- v2 = i) moindre que II, ou sin8"-|, quantité presque inappréciable.

ïkS SUR LE CALCUL DES ÉCLIPSES

Qu'on substitue donc la valeur dont il s'agit dans l'expression de — > on aura

TTT / — ©À

- =. (/ -ml) v'n- tang2i' = — ,g7

Donc on aura enfin

„ sin<7ros.Z'

/ — ml.

33. Cela posé, soit D le demi-diamètre horizontal du Soleil donné par les Tables; il est clair que l'éclipsé commencera ou finira lorsque 1' = D -i- cl' \ de sorte qu'on aura pour le commencement ou pour la fin d' = I' — D, par conséquent

siiW=:sin.2'cosD — cos2' sinD;

substituant donc la valeur précédente de sine/', on aura

sinrfeos2' . .,, ^ „, . ,

— ; r — = sin2 cosD — cosz sinD;

/ — otâ

d'où l'on tire

, ., sinrf

tang- = tangU

/ — ctà) cosl)

Donc pour le commencement et pour la fin de l'éclipsé on aura, en substituant la valeur de tang-2' du n° 29,

[ïÊ5 +(/-^>.)tangI)J = [m-(OT-n)F]=+[«-(r;T-n)v]',

équation d'où l'on pourra conclure l'instant précis de ces phases; mais la solution directe de celte équation est impossible, à cause qu'elle renferme les sinus et les cosinus des angles t, b, A et ô, qui varient avec des vitesses différentes; c'est pourquoi il faut se contenter d'une solution approchée, qu'on peut d'ailleurs rendre aussi exacte qu'on voudra.

Au reste, comme l'usage de cette solution ne consisterait qu'à déterminer l'instant précis du commencement ou de la tin de l'éclipsé, ce

qui est de peu d'importance dans l'Astronomie, nous ne nous y arrêterons pas.

34. Le but principal des observations des éclipses de Soleil étant de déterminer les différences de longitude des différents lieux de la Terre, et de corriger en même temps les éléments de la théorie lunaire, et les meilleures observations pour cet objet étant celles du commencement et de la fin de l'éclipsé, nous allons voir comment on y peut employer la formule précédente. Je la mets d'abord sous la forme suivante

[sinûf , , . .. , , ^l2

-^û + (cos* cosb - sinty) tangDj

= [sinf cosè — sin(/jn|» — y-W )]* -+- [sin6 — sin(v| — v^F)]2,

et j'observe que, l'instant de l'observation étant connu, ainsi que la latitude du lieu de l'observateur, on aura facilement, par les Tables proposées dans le n° 22, les valeurs des angles Ity, p.(^ — W) et v($ — M ,, pourvu qu'on connaisse seulement a peu prés la longitude de ce lieu; car cette longitude n'entre dans les valeurs de X, [x, v qu'autant que la longitude du Soleil A en dépend (22); et l'on sait qu'une différence de 180 degrés dans la longitude des lieux ne peut produire qu'environ 3o minutes de différence dans le lieu du Soleil, en sorte qu'une erreur de i degi'é sur la longitude n'en produira qu'une de io secondes sur le lieu du Soleil, quantité de nulle considération, surtout dans l'évaluation des valeurs de X, jx, v.

Si donc on regarde aussi comme connus par les Tables les demi-diamètres cl et D de la Lune et du Soleil, on aura une équation entre les angles l et h, ou plutôt entre leurs sinus et cosinus, t étant = longit.© — longit. 0, et b = latit. CE à l'instant de l'observation; de sorte qu'en supposant connue par les Tables la latitude l>, on trouvera la différence de longitude i, et de là, par les mouvements horaires, on aura l'instant de la conjonction.

Lorsqu'on a observé dans un même lieu le commencement et la fin de l'éclipsé, on a pour ces deux instants deux équations semblables à la VIL 57

précédente, dans lesquelles les angles D et d sontles mêmes. De la, en admettant les mouvements horaires des Tables, on pourra déduire les valeurs de t et de b pour l'une des observations.

Car soient a la différence des mouvements horaires en longitude du Soleil et de la Lune, (3 le mouvement horaire en latitude de la Lune, ce mouvement étant supposé dirigé vers le pôle boréal, T la durée totale de l'éclipsé exprimée en heures et en décimales d'heure; il est visible que, si t et b sont les valeurs qui ont lieu pour le commencement de l'éclipsé, ces valeurs deviendront pour la fin t -+- aT et b ■+- |3T. On fera donc ces substitutions dans l'équation qui se rapporte à la fin de l'éclipsé, et l'on aura ainsi deux équations entre / et b, par lesquelles on déterminera ces angles. De là on conclura que la conjonction sera

arrivée heures après l'instant du commencement de l'éclipsé, et la

fit latitude de la Lune, a l'instant de la conjonction, aura été = b — — •

Comparant les temps de la conjonction pour différents lieux de la Terre, on aura leur différence en longitude, et les latitudes trouvées serviront à corriger les éléments de la théorie de la Lune.

35. Dénotons, pour plus de simplicité, par/, g, h les valeurs des angles X^, \i.{ty — W),v(ty — W) pour le commencement de l'éclipsé, et par F, G, H leurs valeurs pour l'instant de la fin de l'éclipsé; les équations par où il faudra déterminer t et b seront

sine/ , , ,.. ~

+ (cos/coso — sin/) tangD

LcosD et

sinf cos6 — sin#)5-i- (sinô — sin A)2,

[~Sï5 + [cos^ + aT) cos<[b + pt) ~ sinFJ tansDT

= [sin(/ -+- aT) cos(/> + (3T) - sinG]' + [sin (6 -4- (3T) — sinH]-\

Comme tous les angles qui entrent dans ces formules sont toujours très-petits, on peut, pour une première approximation, mettre ces for-

mules sous la forme suivante

[d + ( • - sin/) DJ = (# - g-)2 + (6 - A)",

[d+ (i — sinF) D]' = (/ + aT - G)2 + (6 + (3T - H)'.

Si l'on ôte la première de la seconde, on aura une équation où t et b ne se trouveront qu'à la première dimension; donc si, par son moyen, on élimine b de la première, on aura une équation en t du second degré, laquelle aura par conséquent deux racines; ainsi l'on aura des valeurs de t et des valeurs correspondantes de b, qui satisferont également à la question envisagée analytiquement, et l'on ne pourra pas déterminer a priori lesquelles de ces valeurs il faut choisir; mais on pourra toujours le déterminer a posteriori, puisque la latitude b est déjà à trèspeu près connue par les Tables, cette latitude ne variant que très-peu dans l'intervalle de la durée d'une éclipse.

Ces dernières équations donneront, dans la plupart des cas, une exactitude suffisante; mais, lorsqu'on voudra pousser cette exactitude plus loin et être assuré des secondes, il faudra employer les premières, du moins pour corriger les valeurs trouvées de t et de b.

36. Passons maintenant à considérer les occultations des astres par la Lune. La seule différence qu'il y ait entre le calcul de ces phénomènes et celui des éclipses de Soleil est qu'ici la latitude de l'astre occulté n'est pas nulle comme elle l'est pour le Soleil, ce qui doit rendre les formules un peu moins simples.

On prendra donc A pour la longitude de l'astre occulté, B pour sa latitude supposée boréale, W pour sa parallaxe horizontale, ou plus exactement pour sa plus grande parallaxe de hauteur (7), IT pour sin Y, D pour le demi-diamètre horizontal de l'astre? et les autres dénominations resteront les mêmes que ci-dessus. On trouvera ainsi la distance apparente I' des deux astres, par les formules générales du

Or nous avons fait voir ci-dessus (25 et suiv.) que, dans le cas de B = o, l'expression de tang2' peut être beaucoup simplifiée, en cou-

servant toujours un degré de précision plus que suffisant pour les usages astronomiques, et il est aisé de se convaincre que cette simplification dépend uniquement de ce que, dans le cas dont il s'agit, on a L = i, M = o, N = o, et que n est le sinus d'un angle de quelques secondes seulement. On aura donc le même avantage dans le cas présent, si l'on adopte les formules du n° 21, dans lesquelles on a aussi L — i, M = o, N = o; et, pour ce qui regarde la quantité IT, il est clair qu'elle est nulle pour les étoiles fixes; que, pour Jupiter et pour Saturne, elle est encore moindre que pour le Soleil; que, pour Mars, elle ne peut aller au delà du double, et qu'enfin pour Vénus et Mercure elle ne peut guère différer de celle qui a lieu pour le Soleil, puisque les occultations de ces planètes ne peuvent être observées que lorsqu'elles approchent de leurs plus grandes digressions.

37. De là et des nos 21 et 29 je conclus qu'on aura, aux tierces près,

v,= <J[m - {m - II) p-J + [n - (tu - n) ( v cosB - AsinB)]^ °~ l— cj(>.cosB -t- vsinB)

les quantités /, m, n étant

/ = cosm — 2sin2- cosô cosB,

m = sint cosb,

n = sinu -+- 2sin2 - cos6 sinB,

où h est la latitude de la Lune supposée boréale, u l'excès de sa latitude sur celle de l'astre occulté, c'est-à-dire b — B, et t l'excès de sa longitude sur celle de l'astre.

De sorte qu'on aura, par la remarque du n° 23,

t /[sinf cosi — sin(^ — pxK)]2n- sin«-i-2sin2-cos6sinB — cosBsin(v^ — vT)H-sinBsin(/| — /M)

tanç2'= — ± — rL

t cos« — 2sin2- cosicosB — cosBsin/!' — sinB sinvl/

formule qui a l'avantage d'être également exacte, quelle que soit la latitude de l'astre occulté.

38. Comme les angles / et u, ainsi que ^ et W, sont toujours assez petits, on pourra, par une première approximation, réduire l'équation précédente à celle-ci, dans laquelle s — /cosB et i = à l'arc égal au rayon = 57°i7'44".

» / s— — tangB — [y;!/ — f$T) + «-+- — tangB — (v.p — vT) cosB + (/•£ — X Y) sinB

i — cos B sin /} — sin B sinv^

Comme, pour la Lune, la latitude B ne va guère qu'à environ 5 de-