VII
Cette hypothèse revient à supposer le plan de projection langent à la sphère dans le lieu du premier astre.
22. Considérons maintenant les valeurs des quantités /, u., v, d'où dépend tout l'effet des parallaxes des astres; il est clair que, par les théorèmes connus, on peut réduire ces valeurs à de simples sinus et cosinus, et l'on trouvera, en changeant a en A et ordonnant les termes par rapport à sinw et cosw,
, sin&)r . ,n i + cos&)r ,. . . ,„ . ,n
A — ■ [cos(A — ?) — cos(A-j-cp)J+- [cos(0 — A-(-©) + cos^ — A — 9)]
-t- -— -y— - [cos (0 + A — 9) -4- cos [9 -+- A + 9)],
[j.= [sin(A — 9) — sin(A-+-œ)]+ ■ ^-[sin [9 — A h- 9) -+- sin(6 — A — 9)]
[sin (9 + A — 9) -f- sin (0 -+- A -t- 9)],
v ■= [sin (9 + 9) -+- sin(0 — 9)] + cos&jsin9.
Comme l'obliquité de l'écliptiquc &> est à très-peu près constante, on voit qu'il est facile de réduire les valeurs précédentes en Tables, et pour cela il n'y aura qu'à construire quatre Tables, dont la première
donne les valeurs de — - sinV, pour tous les degrés et les minutes
de V, depuis zéro jusqu'à 90 degrés; la seconde donne de même les
, , I + COS&i . ,r , . .. , ,, . I — cosoo . ,T
valeurs de -, sinV; la troisième donne celles de ; sinv,
et enfin la quatrième donne les valeurs de cos w sin V; et il est visible que, pour avoir cette quatrième Table, il n'y aura qu'à soustraire les nombres de la troisième de ceux de la seconde, et doubler ensuite les différences.
Ces Tables, une fois construites, serviront pour trouver les valeurs de X, (x, v pour un temps quelconque et pour un lieu quelconque de la Terre.
Pour cet effet, on prendra dans la première Table, pour fx, les arguments (p — A et 1800 — f — A; pour 1, leurs compléments à 90 degrés, et pour v, les arguments <p — 6 et 1 8o° -+- o -+- 6 ; dans la seconde Table, on prendra pour p. les arguments ô — A -+- 9 et 5 — A — y; pour X, leurs compléments à 90 degrés; dans la troisième Table, on prendra pour [x les arguments <p — A — 0 et 36o° — <p — A — 0; pour X, leurs compléments à 90 degrés; enfin, dans la quatrième Table, on prendra pour v l'argument 9.
Ajoutant ensemble les différents nombres qui répondent à ces arguments, on aura sur-le-champ les valeurs des quantités X, p., v.
Pour rendre ces Tables d'un usage aussi général qu'il est possible, il sera bon de les calculer pour l'obliquité moyenne 2^°28', et d'y. ajouter ensuite les différences pour la variation d'une minute dans l'obliquité w. Ces différences sont très-faciles à trouver, d'après les Tables mêmes; car, à cause de ds'm w = eosw du et c?cosw = — sin w du, il esl visible que, pour avoir les différences de la première Table, il n'y aura qu'à prendre la moitié des nombres de la quatrième, et à les multiplier par sini'; pour avoir celles de la seconde Table, on prendra la moitié des nombres de la première et on les multipliera par sin 1'; pour avoir celles de la troisième Table, on prendra les différences de la seconde avec des signes contraires; enfin, pour avoir les différences de la quatrième Table, il n'y aura qu'à prendre le double des nombres de la première, et à les multiplier aussi par sin 1'.
23. Je remarque, de plus, que, comme les quantités À, p., v doivent être multipliées par v, ou II, si l'on fait rr> = sin ^ et II = sinH", en sorte que <| et VF soient les angles des plus grandes parallaxes des deux astres, on aura à calculer les quantités
Xsin^f \J- sin 4, v sin 4s et ). sinxF, fxsinT, vsin^F;
or la plus grande de toutes les parallaxes des astres élanl celle de la Lune, qui ne va qu'à environ 1 degré, et la plus grande valeur de ).. jx, v étant 1, à cause de À2 -+- \)'r -+- v2 = 1, je dis qu'on pourra, sans
erreur sensible, changer les quantités précédentes en
sinXiJ;, sinf/.^, sinvj1, sinXvF, sinp-^f, sinvY.
Eo effet, la différence entre ). sin <l> et sinX-i est nulle lorsque X — o et X = i; donc cette différence sera la plus grande pour une valeur de X moindre que 1. Or, lorsque <j> est i degré, on a à très-peu près
X sin 4> = ^ [<\> -*-â) et sinXi]; =X^ — h>- donc la différence de ces
X — }3 deux quantités sera à très-peu près — 5- (J>3, laquelle devient la plus
grande lorsque X = -=• Or, en faisant ^ = i° et X=-pi je trouve
Xsin4 = sin34'38",47» et ty = 34'38", 46; d'où l'on voit que la différence des deux angles n'est que d'un centième de seconde dans le cas où elle est le plus grande.
Cette remarque fournit un moyen de faciliter beaucoup la construction et l'usage des Tables que nous avons proposées; car, comme on n'a besoin que des angles X<|/, pà, v<|/, où ']> n'est guère > i°, j'observe que, si l'on construit les Tables dont il s'agit en sorte qu'elles donnent pour tous les angles V les valeurs des quantités
sin m . ,7 1 -4- cosw . ,,
■ sinVXi0, 7 sinVxi",
1 — COS&) . ,r . ,r
sinvxi0, et cososin vxi",
en degrés, minutes, secondes, etc., on aura sur-le-champ, d'après ces Tables, les valeurs des angles X<J>, pv|, vty, lorsque <b = i°; et de là, en changeant seulement dans ces valeurs les degrés en minutes, les minutes en secondes, etc., on aura la valeur des mêmes angles pour <{/==i'; de même, en changeant dans les premières valeurs les degrés en secondes, etc., on aura les valeurs des angles dont il s'agit pour ij> = 1", et ainsi de suite; d'où il sera possible d'avoir les véritables valeurs de X^, (j.à, v<\>, pour une valeur quelconque de <|> exprimée en degrés, minutes et secondes.
A l'égard des différences correspondantes à une minute de variation dans l'obliquité w de l'écliptique, il sera aussi beaucoup plus facile de les trouver dans les Tables que nous venons de proposer, que dans les premières; car, puisque i°x sini'= i", o5, il est clair que, pour avoir les différences de la première Table, il n'y aura qu'a, prendre la moitié des nombres de la quatrième Table, en y changeant les degrés en secondes, et ainsi du reste.
Par les Tables dont il s'agit, on trouvera donc avec la plus grande facilité les valeurs des angles
ty, f4, v<|/, W, F.W, vT, et les sinus de ces angles seront les valeurs de
ml, mu, mv, II 1, H y, II v qui entrent dans les expressions de p , q ', P , Q' (19).
Article III. — Usage des met 1 iodes précédentes pour calculer les éclipses de Soleil, les passages des planètes sur son disque, les occultations des étoiles fixes et des planètes par la Lune, et pour déduire des observations de ces phénomènes les éléments des planètes.
24. Rien ne doit maintenant être plus facile que d'appliquer les formules et les méthodes des Articles précédents à la solution des différentes questions astronomiques qui dépendent de la parallaxe. Les principales questions de ce genre sont celles qui concernent les éclipses de Soleil, les passages de Vénus et de Mercure sur son disque, et les occultations des étoiles fixes et des planètes par la Lune : c'est aussi à la discussion de ces sortes de questions que nous destinons principalement cet Article.
Comme dans toutes ces questions on n'a communément d'autre but que de déterminer la distance apparente des deux astres qui passent
très-près l'un de l'autre, nous supposerons, en général, que le premier astre soit celui qui est le plus éloigné de la Terre, et que le second soit celui qui en est le plus près; ainsi A, B, Il désigneront toujours la longitude, la latitude et le sinus de la parallaxe horizontale, ou, plus exactement, de la plus grande parallaxe de hauteur de l'astre le plus éloigné, et a, b, rz désigneront la longitude, la latitude et le sinus de la parallaxe horizontale de l'astre le plus proche de la Terre; les autres dénominations demeureront les mêmes que dans les Articles précédents.
Considérons d'abord le cas d'une éclipse de Soleil ou d'un passage sur son disque; A sera donc la longitude du Soleil, B sera = o, et II sera le sinus de la parallaxe horizontale du Soleil, en sorte que II = sin8"^. Ensuite a sera la longitude de la Lune ou de la planète, b leur latitude, et zs le sinus de leur parallaxe horizontale.
Dans ce cas, il est clair que, à cause de B = o, les formules des nos 20 et 21 reviennent au même, et l'on aura d'abord, par ces formules, L = i, M = o, N = o, ce qui donnera (19)
P»=--5frr, Q'= ^
i-nr ^~ i-iir
en sorte que ces quantités seront nécessairement très-petites.
Cette circonstance nous met dans le cas de simplifier l'expression de tang2', en y négligeant différents termes comme absolument insensibles; mais, pour que cette omission ne nuise pas à la précision requise, il faut examiner a priori quelle est la plus grande erreur qui en peut résulter.
25. Pour cela, nous commencerons par mettre l'expression de tang2' du n° 19 sous une forme un peu plus simple, que voici. 11 est clair que
et
P'//+ QV/= P'2 + Q"+ P' [p'— P') -+- Q' [g'— Q');
de sorte que, à cause de
IQ'ip'- P') - P'(<7'- Q')]2 + [PV- P') + Q'(?'- Q')]2
si l'on fait, pour abréger,
vV-P7+(?'-Q')' = tangr,
QV-p')-py-Q')
V[p'—Ï?) + Q'{q' — W) -lJ"bS'
on aura
p'Q — </'P'z=/tang(7sin5, i+ P//-+- Q' q'— i 4-/tang<7 coss -+-/-', et l'expression de tangl' deviendra
langv lmg«r^+/"sln»f
i +/cos5 tango- -+-/'
Si P' et Q' étaient nuls, on aurait /= o; donc tang2' = lang? cl 2'= (7. Donc, lorsque P' et Q' sont seulement très-petits, l'angle 1' différera de l'angle a d'une quantité du même ordre.
Pour trouver cette différence, nous nous servirons des formules quinous avons données dans notre Mémoire sur la solution de quelques Problèmes, etc., imprimé parmi ceux de Berlin pour l'année 1 77G (*). Dans ce Mémoire, nous avons trouvé (31) que, si l'on a l'équation
a sin y -+- b cosy a tangr + b
cosy -+- p siny "~ n- /; tangj '
et (ju'on fasse
L = langa, '- = tango, v ' ' r/- = K,
(*) Œuvres de Lagrange, I. IV, [>. 297.
x =y-\~ se — Ksin(2j-t- a — p)-\ sina(2iy+« — p) — — sin 3 (2/-)- se— fî]
Appliquant cela à notre cas, on fera
J i -+- f2 sin2 s feoss . a = - — - 1 P=- ?-> 0 = 0,
de sorte qu'on aura
Ks
2'= (7 -t- a — K sin (29 4- a — (3) H sin 2(27 -f- a — (3) — ...
Or il est visible, par l'équation entre tangl' et tangtr, que T= o lorsque 0 = 0; donc on aura alors
a — Ksin(a — (3) ^ sin 2 (a — (3) — . . . = o.
Substituant donc cette valeur de a dans la formule précédente et faisant, pour plus de simplicité, a — ]3 = y, on aura
E'= u — 2Ksin<7COS(o'-t-y) h sin 11 cosï^-f-y) — sin3<7 cos3(c-h '/)-+-. . . .
Or, à cause de b = o, on aura
tangy = iang(a — (3) =
1 — a' — p2 ce qui, en substituant les valeurs de a et p et réduisant, donne
