PREMIERE SECTION

MÉTHODE POUR TRANSFORMER CERTAINES FORMULES QUI EXIGENT DES TABLES A DOUBLE ENTRÉE EN D'AUTRES QUE L'ON PEUT CALCULER AU MOYEN DE TABLES A SIMPLE ENTRÉ!:.

Si l'on veut représenter par une Table la formule tangç» = a tango, on aura, pour chaque valeur du coefficient a, une Table à simple entrée, dont l'argument sera l'angle 0 et la fonction cherchée l'angle p. Cette Table est pareille à celle que les Astronomes connaissent sous le nom de réduction à l'cquateur; car, en appelant ô- la longitude d'un point de l'écliplique, et o l'ascension droite cherchée de ce point, on a, en désignant par w l'obliquité de l'écliplique,

lango = cosm lang9.

Si l'on veut au contraire réduire en Table la formule

sin 9 -4- a sind*

lango

cos9 -+- a cosii

on peut croire, au premier abord, qu'il n'est pas possible d'employer une autre Table qu'une Table a double entrée; toutefois il suffit d'une Table à simple entrée, comme nous allons le démontrer géométriquement et analytiquement.

Soit [fig. \) la ligne AB=/>, faisant avec la ligne AE l'angle BAE = 0; menons par l'extrémité B de AB une ligne BC = <7 telle, que, en la prolongeant suffisamment, elle coupe la ligne AE sous un angle BDE = d>; enfin menons la ligne AC, et désignons par f l'angle CAE, qu'il nous faut exprimer au moyen de p, q, 0 et <l.

LES LONGITUDES DE JUPITER ET DE SATURNE, ETC. 49] Ayant mené BE et GF perpendiculairement, BG parallèlement à AEF,

Fis. i.

on a évidemment

BE — ps\n9, AE=pc,os9, CG = <7sin^, BG = çcos^, — p =iang<p; CF = CG + BE, AF = BG + AE,

donc on a

tang©

ps'mô -+- q sin^ p cos& -+- q cosi^'

si l'on fait maintenant - = a, on aura

sin 6 -+■ a sind/

langcp = 7l p,

cosù -+- a cosip

ce qui est la formule posée au commencement.

Si maintenant on désigne par Ç l'angle BAG, on aura

et, dans le triangle ABC,

AB = j>, BC = ç, ABC^ i8on— DBA;

mais

donc

DBA = BAE - BDE = 0 - ty ; ABC = i8o"-0 -+-<],.

On connaît donc dans ce triangle deux côtés p et q et l'angle compris i8o°— '0-f-iJ;; on peut donc trouver l'angle Ç, qui ainsi ne dépend que de l'angle 0 — i|>; et, par suite, une Table à simple entrée sulïîra pour le calcul de Ç, tant que/? et q resteront constants; ayant Ç, on aura aisément l'inconnue <p par la formule <p = 0 — 'Ç.

On a, dans le triangle ABC,

p sin 'Ç = q sinBCA ;

mais

BCA = 180 - ABC — BAC = 0 — <|> — Ç,

donc

p sin? = <y sin(0 — <]> — Ç) = q sin (9 — d«) cos? — <y cos(0 — 40 sin?;

donc

q sin(0 — <b)

tan g?

/> + <7 cos(0 — <j/

Si l'on fait maintenant 'Ç = — y, un calcul simple donnera immédiatement

p — q B — <b langr = tang -•

Cette dernière équation est, comme on voil, de la forme traitée dans le n° I; elle n'exige qu'une Table à simple entrée, dont l'argument est ■ — ~i y étant l'angle cherché. Ayant trouvé cet angle, on aura Ç par la formule

et, finalement,

tP =

L'artifice que je viens d'employer pour décomposer la formule donnée est fondé sur la construction géométrique de cette formule, et s'appliquerait peut-être difficilement à des cas plus compliqués. Nous allons examiner comment on peut procéder directement.

Dans ce but, j'emploierai un moyen que j'ai déjà utilisé avec avantage, et qui repose sur l'analogie qu'il y a entre passer d'une tangente à l'angle correspondant et prendre le logarithme d'un nombre.

En désignant par e la base des logarithmes hyperboliques, on a, comme on sait,

e'^-' = rosep -f- v — i sincp, et e"^-' = cosep — y — i sino;

donc

23 /— coso -+- y/ — i sincp i-+- \ — ' lango

cosep — y — 1 sin? 1 — \ — 1 lango

Si maintenant à la place de tang? on substitue la valeur du nu 11, en introduisant partout, au lieu des lignes trigonométriques, les expressions exponentielles, on aura

si donc on fait