P AU
on aura BAC = X; mais il est clair que la valeur de l'angle BAC, en supposant que, les deux côtés AB, AC restant constants, l'angle compris ABC varie seul, atteint son maximum lorsque la ligne AC est tangente au cercle décrit de B comme centre avec le rayon BC, et que, par suite,
l'angle BCA est droit; mais alors -r-^ = sinBAC, et par conséquent la
formule sinX = A fournit la valeur maximum de X.
Pareillement, la" valeur maximum de \x est donnée par la formule sin/x = B, et de même pour les autres.
D'où il suit que, si les coefficients A, B, ... deviennent de plus en plus petits, les angles X, [/., ... deviendront aussi très-petits; par conséquent il suffira d'introduire dans le calcul un certain nombre convenable de ces angles pour parvenir au degré d'approximation que l'on veut.
Tout revient donc a décomposer la formule proposée en formules simples de la forme que nous venons de dire. Toutefois il est clair que cette décomposition ne peut pas se faire exactement, mais seulement en négligeant les produits des coefficients a, b, ... à partir d'un certain degré.
Si l'on veut décomposer le trinôme i -hp -h q en un produit de facteurs, on pourra prendre (i-hp) (i ■+- q), en négligeant le produit pq. Si l'on ne veut négliger que les termes qui dépassent la deuxième dimension, on prendra
i-f-/> + q = (i + />)(i+?) (i— pq)>
Si l'on ne veut négliger que les termes qui dépassent la troisième dimension, on prendra
1+ p 4- q = ( i -h /> , i -h rj ( i — /></]( i 4- p2q ) I i 4- /n/2 ,
et ainsi de suite, comme on le voit par un calcul facile.
De même, si l'on voulait décomposer l'expression i ■+■ p + q 4- /• en produits de facteurs, on trouvera, en négligeant successivement les \ll 63
produits de la deuxième, de la troisième, de la quatrième dimension,
= (i 4- p) (i 4- q) (i -+- r) [i-pq){i-pr] [i — qr] = {i+p){i + q){i + r).{i-pq){i-pr){i-qr]
X (i4-/>2r) (i -h p2q) {i + pq7) (i 4-/>r2) (i + g!r X (i 4- </r2) (i 4- zpqr),
et ainsi de suite.
Si donc on néglige la troisième dimension des produits des coefficients a, b, on pourra décomposer la formule
i 4- aeW-'-f- 6eT'v/->
i + «e-W-'-i- be-'^-' dans les facteurs suivants :
i -+- «eW-' i -4- ber"J-
i 4- ae-W-1 I + 6e-iV-'
i — «èetf+iW" i -+- as6e(*-H)\F« i -+- ab'e(r-+2^ v'-~
i — rt6e-(ç+'') v/-1 i 4- a2 fte-C^+i) \H i 4- «62 e-t'-*-21!) v/-' '
il suit de là, d'après le n° XIII, que l'on aura à employer les formules
= tang-î
= r lang-,
\ 1 -4- ab 'C-hr,
t}= rtang- -,
/ 1 — ab 2
lit 4-7] \ \ — n2b i'C 4- n
lang [~-^- -.) = —^ lang - ,
ç 4- 27] \ 1 — rt'<2 s; 4- 27;
tang
tang
tang
tang(— - -pj^^-j-^tang
Ces formules serviront à déterminer les angles X, \j., r, ..., puis on aura
\). -f- X + TS
L'erreur commise sera d'un ordre moindre que les angles dont les sinus sont a2b et ab2.
En résumé, si l'on donne l'équation
sinon- a sin^ -f- b sin£
tangcp
cos0 -+- acos<\ -f- bcos'Ç
dans laquelle a et b sont des fractions proprement dites, et si l'on veut déterminer l'angle <p avec une erreur d'un ordre moindre que les angles dont les sinus sont plus petits que les produits a2 b et ab2, on prendra
9 = 6 -+- 0' 4- fl»+ 0"'-h 0'v + Sv,
en déterminant les angles 0', 6", 0'", 01V, 0V par les équations
/ j, e aA i - a <h-0
tang 9 = lang- »
tang(^- -fl-j = 7TÏ,t«ig.
lang -3 0,v = -r tang -*- !
/ d/ -i- » C — 3 0 „.\ i— «7^2 il-4-aÇ — 3fl
lang * -^- -0* =-,ang^ — ,
dont chacune exige une Table à simple- entrée.
Ces équations étant toutes semblables, je désignerai en général par (m) (x) la valeur de l'angle Ç déterminée par l'équation
tang C) = lang -•
Ainsi (m) (x) exprimera une équation astronomique dont l'argument est k, et dont la valeur maximum est égale à l'arc dont le sinus est m. Si l'on pose
dm = tang — »
on aura
COSp.,
et l'équation précédente devient
fy.\ y-
tang ( - — Ç ]=* cosp. lang--
Cette équation est pareille à celle par laquelle on opère la réduction des planètes à l'écliptique, ou de l'écliptique à l'équateur. En outre, on peut remarquer que l'on a
(m)(— x)=c— (m)(x), (— m)(x) = - (m) (i8o° — x), fâW = "WW- (-^)(x) = (m)(x8oo,).
Il suit de là que l'on a
et que
? = fl-H(a)(4» — fl) + (6)(Ç — fl)+(— a6)(4»4-Ç-a<
+ (a2/>) (2^4- S — 30) 4- (rtô2) (^ + aÇ — 30).
On décomposera de même la formule
sin(9 -+- a si in]; -4- b sin£ -+- c sin£
tang<p =
cos 9 -+- a cos i]; -t- b cos Ç -4- c cos £
En négligeant les angles dont les sinus sont plus petits que les produits de la troisième dimension, on aura à résoudre treize équations, dont chacune exigera une Table a simple entrée.
Cela suffira pour mettre en lumière la théorie de ces transformations; nous allons maintenant appliquer les propositions qui précèdent à la détermination des longitudes géocentriques des planètes.
