I -4- COS M M I — COS G) . M

— cos2 — i = sin2 —

on aura donc, en remplaçant,

p cos2— sin0 -+- p sin2 — sinl— 6) -+- /• sin 4/

tang? = ^ *

pcos' — cosô -+- p sin2 — cos(— 9) -+- r cos^

formule semblable à celle du n° IX, et qui serait tout à fait de la même nature si les grandeurs /■, p, m étaient constantes.

L'angle u, qui mesure l'inclinaison de l'orbite de la planète sur l'écliptique, peut être regardé comme une constante. Au contraire, le rayon de l'orbite, ou la distance de la planète au Soleil dépend de l'anomalie du Soleil et de la planète.

Soient donc

A la distance moyenne du Soleil à la Terre;

oc l'excentricité de l'orbite solaire en parties de cette dislance moyenne :

s l'anomalie vraie du Soleil;

mi aura, comme on sait,

Afi-a2) r =

i— a coss Soient maintenant B la distance moyenne de la planète au Soleil;

/3 l'excentricité de son orbite en parties de cette distance moyenne; / son anomalie vraie;

on aura de même

v i-pcos*'

il faudra substituer ces valeurs dans la formule du numéro précédent. Le numérateur et le dénominateur seront alors mullipliés par (i — a cos.?) (i — |3 cos/); en transformant les produits de sinus et de cosinus en simples sinus et cosinus, on trouvera, après réduction, une expression pour tang<p dont le numérateur sera une somme de différents sinus multipliés par certains coefficients, et dont le dénominateur sera tout semblable, sauf que les sinus devront être remplacés par des cosinus. Si, parmi ces coefficients, il s'en trouve un qui soit beaucoup plus grand que les autres, on divisera tous les termes du numérateur et du dénominateur par ce coefficient, et l'on parviendra, pour langç), à une expression pareille à celle des nos XVII et XIX; on la traitera de la même façon.

C'est ce qui a lieu pour Jupiter et pour Saturne, leurs distances au Soleil étant, pour le premier, cinq fois au moins, pour le second, dix fois plus grandes que la distance de la Terre au Soleil. Aussi vais-je maintenant appliquer mes formules à la détermination des longitudes géocentriques de Jupiter et de Saturne, en poussant l'approximation jusqu'à i minute de degré, ce qui suffit pour le calcul des Épbémérides. Cela nous permettra, d'après le n° XIV, de négliger, dans l'expression de tangtp, tous les termes qui sont beaucoup plus petits que sini' ou

que 0,0002909, ou, en nombre rond, que ^ — ■•

D'après cette supposition, je divise haut et bas l'expression de ta n g 9 par p cos2 - ■> Ht j'obtiens

. . rs»nJ> „&),.,

sinO h- L + lang2- sin -

p cos5 -

langtp

mais

or on a

, rcostl1 »w

cos0 H + tang2 - cosl

p cos2 -

r A(i— y?) v 1 — (3cos/

p~ B(i — p-j'^i — a cos*'

et, pour Jupiter, pour Saturne,

donc -jrflcâ est plus petit que -, pour Jupiter, et que — r- pour Sali ' * r » oooo l * * 7<j5o r

turne; on pourra, par suite, négliger les ternies plus petits que se2,

Ëa8j3,

On peut donc mettre la valeur de - sous la forme 1 P

■g y— «-, (i + acos* — Pcos/ .

Si l'on pose, pour abréger,

-, b = lang' -»

B(i-(32)cos2-0>

VIL <ij

on aura

s\n9 + a sin^H- «coss — (3 cost) -4- b sin(— 9) °™ ~~ cos& + a cos4'(i + acoss — j3cos£) -t- 6 cos(— 0) '

en transformant les produits de sinus et de cosinus, on obtiendra, pour le numérateur,

ci y sinô -+- asin^ -+- 6sin(— 9) -\ :[sin ( ty + *) -+- s\n[<\) — s ]

— -Ê[sin(^ -4- 0 + sini d; — t ], et, pour le dénominateur,

Cl OC

cosO -+- a cos^ -+- b cos( — 9} h [cos^ + s) + cos(^ — s)~]

— [cos(^-t- t) -+- cos(^ — 0]«

On aura donc pour <p une expression semblable à celle du n° XIX.

Maintenant, pour Jupiter,

r,)=r i° 19' io",

et, pour Saturne,

M == 2° 3o' lo";

par suite, cos2 — est voisin de 1; la différence est, pour Saturne, plus

petite que -> et encore moindre pour Jupiter; par conséquent, a est

voisin de -5- On trouve ensuite, pour Jupiter, b <" -5—5 et, pour Sali ' * nj àoo '

turne, £>< —r- : d'où l'on voit que l'on peut négliger les puissances

de b et même les produits de b para. En outre, on voit que l'on peul néglige!- les puissances et les produits de a a et de a/3, parce que, la

valeur de a/3 pour Jupiter étant < — •> la plus grande quantité que l'on puisse négliger ainsi, savoir a2 /S2, est inférieure à ■• Enfin, pour

100 ' IOOOO '

Jupiter, on peut négliger les coefficients a' a et a*|3; car le second, qui est le plus grand, est < — = — ; mais, pour Saturne, on peut négliger même les coefficients a3 a et a8|3; car le second, qui est le plus grand des deux, est inférieur à — = —

I2Jf)0

Par suite de ces remarques, on aura, pour Saturne,

p représente ici la longitude géocentrique de la planète, comptée à partir du nœud; 5 est la longitude héliocenlrique dans l'orbite, comptée à partir du même nœud : on a donc, en ajoutant aux deux membres de l'équation la longitude du nœud ascendant,

long. géoc. ï>= long. Iiélioc. dans l'orbite

Si l'on fait la distance du Soleil à la Terre = o, la longitude géocentrique deviendra la longitude hélioccntrique comptée dans l'écliptique; tous les termes de l'équation précédente, sauf — (b) (2O), s'annulent à cause de a = o. Par suite, notre équation devient

long, hélioc. — long, dans l'orbite — (6) {26);

donc (— b) (2O) n'est pas autre chose que la réduction de la planète à l'écliptique; cela se vérifie d'ailleurs immédiatement.

Si donc on substitue à la longitude de la planète dans l'orbite la longitude dans l'écliptique, que l'on déduit aisément des Tables, on pourra négliger dans notre équation le terme — (b) (26), et les termes restants exprimeront la différence entre les longitudes géocentrique et héliocentrique de la planète, ou ce que l'on appelle la parallaxe annuelle.

On peut en outre remarquer que, ty étant la longitude du Soleil, 0 au contraire la longitude de la planète, comptées toutes deux à partir du nœud ascendant, d> — Q sera l'angle de commutation de la planète, ou l'excès de sa longitude sur la longitude du Soleil. Si l'on désigne par u cet angle de commutation, on aura, pour la longitude géocentrique de Saturne, l'équation suivante

long. géoc. I) = long, hélioc. î> -+- (a) (u)

aoc\ , . (ao^

^(am-*) + (^l

Pour Jupiter on trouve des formules semblables, sauf qu'on ne doit pas négliger les termes de l'ordre a3 a, a3 <3 : on a

long. géoc. TP= long, hélioc. % '+ {a) («)

ir) (« + *)■+■ (t)("~5)

3 M -f- J , -4- I ■ ( 3 II — 5 j

a3 S ^ ' tf1» «33

-^<^ > ci — <— >