VII. g
66 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULEK et ainsi de suite; de sorte que l'on aura
P, = ,;!P, + •.>.// Q. + C, P, = p;P, + ap.Qi + Pt,
P, = f*1JP,-+-af*,Q1-f-P1,
p4 = ft;pI-f o.p.3q3 + p2,
Ainsi Ton pourra, à l'aide de ces formules, continuer aussi loin qu'on voudra les suites des nombres [x, /xt, p.2, . . . , Q0, Q,, Q2, ... et Pn, P{, P2,..., qui dépendent, comme l'on voit, mutuellement les uns des autres, sans qu'il soit nécessaire de calculer en même temps les nombres
On peut encore trouver les valeurs de P,, P2, P3,... par des formules plus simples que les précédentes, en remarquant que l'on a
Q2 - P, = (p, A + |B)2 - A(pî A + p, B -+- G) = jB> - AC, QJ - P, P, = (;j, P, + Q,)2 - P (f*î P, + 2^ Q, + A ) = Q' - AP, ,
et ainsi de suite, c'est-à-dire
d'où l'on tire
Qï-
-P„P,r^AE>
QJ
Ql
Oï-iE
QÏ-iE
OJ-jE
Les nombres /t., (x,, a2,... étant donc trouvés ainsi, on aura (n° 26 j la
fraction continue
et, pour trouver le minimum de la formule
A/>2-f- Bpq -hCq2,
il n'y aura qu'à calculer les nombres p0, pt, p2, p3, ... et q(), qt, q2, q3,... (n° 25), et les essayer ensuite à la place de p et q; mais on peut encore se dispenser de cette opération , en remarquant que les quantités P0, P,, P2,... ne sont autre chose que les valeurs de la formule dont il s'agit, lorsqu'on y fait successivement p — p0, p,, p2, •• • et
q = q0, qK, q2, Ainsi il n'y aura qu'à voir quel est le plus petit terme
de la suite P0, P,, P2,..., qu'on aura calculée en même temps que la suite fj., [j.,, \j.2,..., et ce sera le minimum cherché; on trouvera ensuite les valeurs correspondantes àep et q par les formules citées.
34. Maintenant je dis qu'en continuant la série P0, P,, P2,..., on doit nécessairement parvenir à deux termes consécutifs de signes différents, et qu'alors tous les termes suivants seront aussi deux à deux de différents signes. Car on a (numéro précédent)
P„=: A[po — aq,){p0 — bq0), P, = A(/>, — aq{ )(/>, — bqK),
Or, de ce qu'on a démontré dans le Problème 1, il s'ensuit que les quantités p0 — aqu, p, — aqt, p2 — aq2,... doivent être de signes alternatifs et aller toujours en diminuant; donc : i° si b est une quantité négative, les quantités p0 — bq0, p, — bq seront toutes positives; par conséquent les nombres P0, P,, P2,... seront tous de signes alternatifs; 2° si b est une quantité positive, comme les quantités p{ — aqt, p2 — aq2 et
à plus forte raison les quantités— —a, — . — a,..., forment une suite dé-
croissante à l'infini, on arrivera nécessairement à une de ces dernières
quantités, comme & — a, qui sera <a — b, abstraction faite du signe,
et alors toutes les suivantes ^ — a, — — a, ... le seront aussi ; de sorte
que toutes les quantités a— b~h — - a, a — b + ^ — a,... seront né- 1 l </b q*
cessairement de même signe que la quantité a — b; par conséquent les
quantités ^ — b, ^ — b, . . . et celles-ci p3 — bq3,/)j, — bqA,... à l'infini
seront toutes de même signe; donc les nombres p3, />,,... seront tous de signes alternatifs.
Supposons donc, en général, que l'on soit parvenu à des termes de signes alternatifs dans la série P,, P2, P3, . . . et que P>. soit le premier de ces termes, en sorte que tous les termes P>, Px+1> P>.+2>-««» à l'infini, soient alternativement positifs et négatifs; je dis qu'aucun de ces termes ne pourra être > E. Car si, par exemple, P3, P4, P51... sont tous de signes alternatifs, il est clair que les produits deux à deux, P3P„, P4 P5, . . . seront nécessairement tous négatifs; mais on a (numéro précédent)
U« 1 3 ' 4 — » t, \J 5 F4 rs = ^- b, ••■;
donc les nombres positifs — P3 P.,, — P/( P5,... seront tous moindres que jE ou au moins pas plus grands que |E; de sorte que, comme les nombres P(, P2, P3,... sont d'ailleurs tous entiers par leur nature, les nombres P3, P4,... et, en général, les nombres Px, P).+,, . . ., abstraction faite de leurs signes, ne pourront jamais surpasser le nombre E.
Il s'ensuit aussi de là que les termes Q4, Q5,... et, en général, Q>+), Qx+2.--- «e pourront jamais être plus grand que \\/E.
D'où il est facile de conclure que les deux séries Px, P).+l, P),+2,... et Qvm. Qx+2»-«-> quoique poussées à l'infini, ne pourront être composées que d'un certain nombre de termes différents, ces termes ne pouvant être pour la première que les nombres naturels jusqu'à E, pris positivement ou négativement, et, pour la seconde, les nombres naturels jusqu'à ji\fË avec les fractions intermédiaires \, f, f ,..., pris aussi positivement ou négativement; car il est visible, par les formules du numéro
précédent, que les nombres Q,, Q25 Q3,... seront toujours entiers lorsque B sera pair, mais qu'ils contiendront chacun la fraction \ lorsque B sera impair.
Donc, en continuant les deux séries P,, P2, P3,... et Q,, Q2, Q3,..., il arrivera nécessairement que deux termes correspondants, comme PCT et QCT, reviendront après un certain intervalle de termes, dont le nombre pourra toujours être supposé pair; car, comme il faut que les mêmes termes PCT et QCT reviennent en même temps une infinité de fois, à cause que le nombre des termes différents dans l'une et l'autre série est limité, et par conséquent aussi le nombre de leurs combinaisons différentes, il est clair que, si ces deux termes revenaient toujours après un intervalle d'un nombre impair de termes, il n'y aurait qu'à considérer leurs retours alternativement, et alors les intervalles seraient tous composés d'un nombre pair de termes.
On aura donc, en dénotant par 2p le nombre des termes intermédiaires,
et alors tous les termes PCT, PCT+I, PCT+2,..., Qw, QCT+n QCT+,,..., et fxCTJ Hv+t, /x,jH-2f. reviendront aussi au bout de chaque intervalle de -j.p termes; car il est facile de voir, par les formules données dans le numéro précédent pour la détermination des nombres /j.,, (j.2, u3,..., Q,, Q.,, Q3,..., et P,, P.,, P;,,..., que, dès qu'on aura
on aura aussi ensuite donc aussi
' CT+2p 1 CT, Cl Vio-+-?f Va,
Qn+2?+, = QD+. et K+it+, = i\
et ainsi de suite.
Donc, si n est un nombre quelconque, égal ou plus grand que ar, et que m dénote un nombre quelconque entier positif, on aura, en général,
Il ,m-, ~ *n» Qll » -,,„, Qn' "il-,,,,., = "il >
de sorte qu'en connaissant les sr -+- ip premiers termes de chacune de ces trois suites, on connaîtra aussi tous les suivants, qui ne seront autre chose que les 2p derniers termes répétés à l'infini dans le même ordre. De tout cela il s'ensuit que, pour trouver la plus petite valeur de
P = A/;2-f- Bpq -+- Cq\
il suiïit de pousser les séries P0, P,, P2,... et Q0, Q,, Q2, . . . jusqu'à ce que deux termes correspondants, comme PCT et QCT, reparaissent ensemble après un nombre pair de termes intermédiaires, en sorte que l'on ait
alors le plus petit terme de la série P0, P,, P2,..., PCT+2p sera le minimum cherché.
Corollaire I.
35. Si le plus petit terme de la série P0,P,, P2,..., PCT+2p.--' ne se trouve pas avant le terme PCT, alors ce terme reparaîtra une infinité de fois dans la même suite prolongée à l'infini; ainsi il y aura alors une infinité de valeurs de p et de q qui répondront au minimum, et qu'on pourra trouver toutes par les formules du n° 25, en continuant la série des nombres fx,, p.2, f.3)... au delà du terme p.2p+CT par la répétition des mêmes termes f;.CT+l, f.t3+2,..., comme on l'a dit plus haut.
On peut aussi, dans ce cas, avoir des formules générales qui représentent toutes les valeurs dep et de q dont il s'agit; mais le détail de la méthode qu'il faut employer pour y parvenir nous mènerait trop loin; quant à présent, nous nous contenterons de renvoyer pour cet objet aux Mémoires de Berlin déjà cités, année 1 768, pages 123 et suivantes (*), où l'on trouvera une Théorie générale et nouvelle des fractions continues périodiques.
Corollaire II.
36. Nous avons démontré, dans le n° 34, qu'en continuant la série P,, P2, P:t , . . . , on doit trouver des termes consécutifs de signes difïé-
(*) OEuvrcs de Lagrange, t. II, p. 538 et 58 1.
rents. Supposons donc, par exemple, que P3 et P^ soient les deux premiers termes de cette qualité; on aura nécessairement les deux quantités p3 — bq3 et pA — bq,, de mêmes signes, à cause que les quantités p3 — aq3 et p,, — aqh sont de leur nature de différents signes. Or, en
mettant dans les quanti tés/?5 — bqs, p6 — bq0,... les valeurs de/>5, pCl
qs, q6l... (n° 25), on aura
p, — bqh = fit, (pA — 69, ) -f- p% — bq3,
p* — bq„ = ^{p, — bqh) -+- />, — bq,,
d'où, à cause que p..,, [j.5,... sont des nombres positifs, il est clair que toutes les quantités p5 — bqb, p6 — bq6,..., à l'infini, seront de mêmes signes que les quantités ps — bq3 et pA — bqk; par conséquent tous les termes P3, P4, P5,..., à l'infini, auront alternativement les signes -fret — .
Maintenant on aura par les équations précédentes
p, - bq, p, — bq, p^ — bq, Pi—bqS
pg — bq9 pi — bq(
p, — bq, p, — bq,
p-» - b(]i pi — bq^
p*— bq, f>, - bq, '
où les quantités '- v-> ' ' , V seront toutes positives. ^ p, — bq, pb — bq, r
Donc, puisque les nombres jx4, (is, p.0.--- doivent être tous entiers \ quantité ■ __. devra être positive et > i , de
si— i?« i— i-'.. .: Annr Ips rrnnntitps i-i il',
positifs (bypothèsej, la quantité p ^5 devra être positive et > i , de
îême que les quantités — — r^-% *2 — Jl',. .• donc les quantités F* W , ^ ' p. — 09, /'« — y?* M //s — 6g:,
—r-i'" seront positives et moindres que l'unité; de sorte (jue les nombres u.,, jx6t... ne pourront être que les nombres entiers qui sont
immédiatement moindres que les valeurs de — — r^-% P ~~ '^ ■> • ••; quant
/>s — bq, p„ — bqt. '
au nombre /x4, il sera aussi égal au nombre entier, qui est immédiatement
moindre que la valeur de Si — ïi, toutes les fois qu'on aura — — ^- < i . 1 pt — bq, ^ pt— bq, -
Ainsi l'on aura
^ fh — bq, . p, — bq-,
\u < r--> si £ j1- < i,
p>, — bq, pt — bq,t
p»-bqt Pi - %
/?, - fy7 Pe — bq6
le signe < placé après les nombres p.3, [xfl, (xs,... dénotant, comme plus haut, les nombres entiers qui sont immédiatement au-dessous des quantités qui suivent ce même signe.
Or il est facile de transformer, par des réductions semblables à celles
du n° 33, les quantités l j-^-, L r3-»--- en celles-ci - — ,.- v ,
^ Pi — bq, p> — bq, P,
Q6 — t\/E , , , ]..- iPi — bq-i^ . - i •
- — ^ — »•••; de plus, la condition de - ~ <i peut se réduire a
Ps l p* — bq, ^ l
celle-ci ~n 3 < f¥l3~ P% laquelle, à cause de — — ^ > i, aura sûre- Pi ^ p, — aq, l p, — aq, ^
ment lieu lorsqu'on aura —^ = ou < i; donc on aura
— pT~'
Q*-ly/Ë K :
P-4< p'iV > si -p— = ou <i,
En combinant ces formules avec celles du n° 33, qui renferment la loi des séries P,, P2, P3,... et Q,, Q2, Q3,..., on verra aisément que, si
l'on suppose donnés deux termes correspondants de ces deux séries, dont le numéro soit plus grand que 3, on pourra remonter aux termes
précédents jusqu'à P,, et Q5, et même jusqu'aux termes P3 et Q4, si la
condition de —5— ■ = ou < 1 a lieu; en sorte que tous ces termes seront
absolument déterminés par ceux qu'on a supposés donnés.
En effet, connaissant, par exemple, P„ etQ6, on connaîtra d'abord P5 par l'équation
ensuite, ayant Q0 et P5, on trouvera la valeur de p.s, à l'aide de laquelle on trouvera ensuite la valeur de Q5 par l'équation
Qc = p,P, + Qi; or l'équation
q:-p4ps = |e
donnera P4; et, si l'on sait d'avance que ——■ doit être = ou <i, on
trouvera jx4, après quoi on aura Q.4 par l'équation
Q„ = fx4 P4 + Q(,
et ensuite P3 par celle-ci
De là il est facile de tirer cette conclusion générale, que, si P^ et P)+l sont les premiers termes de la série P,, P2, P3,..., qui se trouvent consécutivement de différents signes, le terme P>+l et les suivants reviendront toujours après un certain nombre de termes intermédiaires, et
qu'il en sera de même du terme P>, si l'on a p x = ou < 1.
Car imaginons, comme dans le n° 34, que l'on ait trouvé Pra+2p == 1'^
et Qct+2P = Qct» et supposons que vs soit > X, c'est-à-dire sf=xXh-v;
donc on pourra, d'un côté, remonter du terme P^ au terme P>+( ou P>, el
de l'autre, du terme PCT+2p au terme P>+2p+i ou Px+apî et, comme les
