VII

7i ADDITIONS AUX ELEMENTS D'ALGÈBRE D'EULER.

termes d'où l'on part, de part et d'autre, sont égaux, tous les dérivés seront aussi respectivement égaux, de sorte qu'on aura

Px+jp+i = I\+,, ou même P>.+,? = P>.,

si — — = ou <i.

Par là on pourra donc juger d'avance du commencement des périodes dans la série P0, P,, P2, P3,..., et par conséquent aussi dans les deux autres séries Q0, Q,, Q2, Q3,..., et ^, fxf, fjt,2, /x3,...; mais, quant à la longueur des périodes, cela dépend de la nature du nombre E, et même uniquement de la valeur de ce nombre, comme je pourrais le démontrer, si je ne craignais que ce détail ne me menât trop loin.

Corollaire III.

37. Ce qu'on vient de démontrer dans le corollaire précédent peut servir encore à prouver ce beau Théorème :

Toute équation de la forme p- — Kq2 = i , où K est un nombre entiezpositif non carré, et p et q deux indéterminées, est toujours résoluble en nombres entiers.

Car, en comparant la formule p- — Kq'1 avec la formule générale \p- -+- Bpq -h Cq-, on a A == i, B = o, C = — K; donc (n° 33)

E = B>-4AC = 4K, et {JË=JK.

Donc P0 = i , Q0 = o; donc

[j. < v/K , Q, = p., et P, = \j? — K ;

d'où l'on voit : i°que P, est négatif, et par conséquent de signe différent de P0 ; 2° que P, est = ou > i , parce que K et \k sont des nombres

Po

entiers; de sorte qu'on aura — ^ — ou <i; donc on aura (numéro

précédent)

l = o, et P2û = Po = i ;

de sorte qu'en continuant la série P0, P,, P2..-, le terme Pu = i reviendra nécessairement après un certain intervalle de termes; par conséquent on pourra toujours trouver une infinité de valeurs de p et de q qui rendent la formule/)2 — K^2 égale à l'unité.

Corollaire IV.