On peut aussi démontrer cet autre Théorème

Si l'équation p'1 — Kq* = ± H est résoluble en nombres entiers, en supposant K un nombre positif non carré, et H un nombre positif et moindre

que \IK, les nombres p et q doivent être tels que - soit une des fractions principales convergentes vers la valeur de \/K..

Supposons que le signe supérieur doive avoir lieu, en sorte que p- — Kq- = H; donc on aura

qJK=—* , ^-v/K = S

qu'on cherche deux nombres entiers positifs r et s moindres que/; et q, et tels que ps — qr— i, ce qui est toujours possible, comme on l'a démontré dans le n° 23, et l'on aura

q s qs"1 donc, retranchant cette équation de la précédente, il viendra

:^ = ïï l,

de sorte qu'on aura

/• — s il K = i

Or, comme ^ > JK et H < sJK, il est clair que - - sera < -?,-;

Q donc p — gJK sera < — ; donc —. sera à plus forte raison

<|, puisque s < q; de sorte que r — s\/K sera une quantité négative,

i «H laquelle, prise positivement, sera > — -h cause de 1 > ~.

Ainsi, en faisant \/K = a, on aura les deux quantités/» — aq et /* — as assujetties aux mêmes conditions que celles du n° 23; on y pourra par conséquent appliquer la même analyse du n° 24, et l'on en tirera des conclusions semblables; donc, etc. (n°26). Si l'on avait/?2— Kq2 — — H, alors il faudrait cliercher les nombres r et s, tels que ps — qr = — i, et l'on aurait ces deux équations

r— . . S II

Comme H •< v/K et s << q, il est clair que sera << i ; de sorte

que la quantité s\K — /' sera négative; or je dis que cette quantité, prise positivement, sera > q \JK — p; pour cela il faut démontrer que

5ÏI H H

ou bien que

H(i + -, > — > savoir v'K+->Hh

ANALYSE INDETERMINEE. 77

mais H < \/K (hypothèse); donc il suffit de prouver que

p sJK , . ' —

— > — - — 5 ou bien que »>Wk;

c'est ce qui est évident, à cause que, la quantité s\/K — r étant négative, il faut que r > s \/K , et h plus forte raison p > 5\/K » puisque /> > r.

Ainsi les deux quantités p — q yK etr — s\Jli seront de différents signes, et la seconde sera plus grande que la première, abstraction faite des signes, comme dans le cas précédent; donc, etc.

Donc, lorsqu'on aura à résoudre en nombres entiers une équation de

la forme

p>— Kq2=zkU,

où H < y/K, il n'y aura qu'à suivre les mêmes procédés du n° 33, en faisant A = i, B = o etC = — K; et, si dans la série P0, P,, P2, P:,,.., Pcth-2P on rencontre un terme = ± H, on aura la résolution cherchée: sinon on sera assuré que l'équation proposée n'admet absolument aucune solution en nombres entiers.

Remarque.

39. Nous n'avons considéré dans le n° 33 qu'une des racines de

l'équation

Ax2 -+- )ix -t- C = o,

que nous avons supposée positive; si cette équation a ses deux racines positives, il faudra les prendre successivement pour a, et faire la même opération sur l'une que sur l'autre; mais, si l'une des deux racines ou toutes deux étaient négatives, alors on les changerait d'abord en positives, en changeant seulement le signe de B, et l'on opérerait comme ci-dessus; mais ensuite il faudrait prendre les valeurs de/; et de y avec des signes différents, c'est-à-dire l'une positivement et l'autre négativement (n° 29).

Donc, en général, on donnera à la valeur de B le signe ambigu ±, de

78 AUDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBHE I) EULEK.

même qu'à y'E, c'est-à-dire qu'on fera Q() = =p ^B, et qu'on mettra ± à la place de y'E, et il faudra prendre ces signes en sorte que la racine

soit positive, ce qui pourra toujours se faire de deux manières différentes; le signe supérieur de B indiquera une racine positive, auquel cas il faudra prendre/? et q tous deux de mêmes signes; au contraire, le signe inférieur de B indiquera une racine négative, auquel cas les valeurs àep et q devront être prises de signes différents.

Exemple.

10. On demande quels nombres entiers il faudrait prendre pour p et q,

afin que la quantité

9/?2 — i *8pq -f- 378c-

devînt le plus petite qu'il est possible.

Comparant cette quantité avec la formule générale du Problème 111, on aura A = 9, B = — 118, C = 378, donc B- — 4 AC = 3i6: d'où l'on voit que ce cas se rapporte à celui du n° 33. On fera donc E = 3i6 et ^\JË— ^79» ou l'on remarquera d'abord que ^79 > 8 et < 9; de sorte que, dans les formules dont il ne s'agira que d'avoir la valeur entière approchée, on pourra prendre sur-le-champ, à la place du radical v/79» le nombre 8 ou 9, suivant que ce radical se trouvera ajouté ou retranché des autres nombres de la même formule.

Maintenant on donnera tant à B qu'à y'E le signe ambigu ± 1 , et l'on prendra ensuite ces signes tels que

soit une quantité positive (n° 39); d'où l'on voit qu'il faut toujours prendre le signe supérieur pour le nombre 5g, et que pour le radical

V79 on peut prendre également le signe supérieur et l'inférieur. Ainsi l'on fera toujours Q0 — — |B, et \[Ê pourra être pris successivement en plus et en moins.

Soit donc :

i° j\JE = ^79 avec le signe positif; on fera (n° 33) le calcul suivant :

Q, = -3.5 + 7=-8, P,= 6A^p=S, ^<^±fi =3,

Q,= 6.2 + , = r5, Pci=î^2=9, p.<tbS =,,

Q, = 9..-5 = 4, ft=!«=H = -7, p„<^51>=,.

Je m'arrête ici, parce que je vois que Q7 = Q, et PT = P,, et que la différence entre les deux numéros 1 et 7 est paire; d'où il s'ensuit que tous les termes suivants seront aussi les mêmes que les précédents; ainsi l'on aura

Q, = 4, Q, = -3, Q, = 7, ..., P, = -7, P, = io

de sorte qu'on pourra, si l'on veut, continuer les séries ci-dessus à l'infini, en ne faisant que répéter les mêmes termes.

20 Prenons maintenant le radical y' 79 avec un signe négatif, et le calcul sera comme il suit :

Q. = -5g, P„=9, /jL<59-V79 =5j

Q, — g. 5 — 59= — 14, P,= ^ = i3, fi,< ^-^- =1,

Q1=i3.i-i4=-i, P2 = ^5 =-6, fi2<1^9 = ,,

Q5 = 3.5-h8 = -7, P,= fcLZ9=10, ,,<Z^S =1|

q. = «o.,-7 = 3, Pi=azi29-=7f ^<z2z^ïï=lf