Q. = 9.,-4 = «, PB^^-^=-6, F

On peut s'arrêter ici, puisque l'on a trouvé Q9 = Q3 et P9 = P3, et que la différence des numéros 9 et 3 est paire; car, en continuant les séries, on ne retrouverait plus que les mêmes termes qu'on a déjà trouvés.

Si l'on considère les valeurs des termes P0, P,, P2, P8,... trouvées dans les deux cas, on verra que le plus petit de ces termes est égal à — 3 ; dans le premier cas, c'est le terme P3 auquel répondent les valeurs p3

et q3, et dans le second cas, c'est le terme P4 auquel répondent les valeurs pA et qh.

D'où il s'ensuit que la plus petite valeur que puisse recevoir la quantité proposée est — 3; et, pour avoir les valeurs de p et q qui y répondent, on prendra dans le premier cas les nombres \x, p., , pu, savoir 7, 1 et 1, et l'on en formera les fractions principales convergentes y, f, -^;

la troisième fraction sera donc ^> en sorte que l'on aura/?3= 1 5 et^3 = 2 ;

c'est-à-dire que les valeurs cherchées seront p = i5 et q = 2. Dans le second cas, on prendra les nombres p., p.,, p2, p.3, savoir 5, 1, 1, 3, lesquels donneront ces fractions f , f , 1^, ™; de sorte qu'on aura p,, = 3r> et y4 = 7; donc p = 3$ et «7 = 7.

Les valeurs qu'on vient de trouver pour/? et q dans le cas du minimum sont aussi les plus petites qu'il est possible; mais on pourra, si l'on veut, en trouver successivement d'autres plus grandes; car il est clair que le même terme — 3 reviendra toujours au bout de chaque intervalle de six termes; de sorte que, dans le premier cas, on aura Pa = — 3, P9 = — 3, Pl5 = — 3,.. ., et dans le second, P, = — 3, P10 = — 3, P,„ = — 3, ... . Donc dans le premier cas on aura, pour les valeurs satisfaisantes de p et q, celles-ci p3, q3, pn, </u, pl5, ql5,..., et

dans le second cas celles-ci/?-,, q,,, pt0, qul, /?1(i, qi0 Or les valeurs

de p., p.,, (x2, . . . sont, dans le premier cas,

à l'infini, parce que p7 = p., et p.8 = jx2,...; ainsi il n'y aura qu'à former par la méthode du n° 20 les fractions

7 X r> 83 2fi', fin 87;, ,486 7.'î(ii i.l.i,i

7 V a' ..' 35"' 81' 77*;' 77f' 37f' T^fF' ""'

et l'on pourra prendre pour p les numérateurs de la troisième, de la neuvième, etc., et pour q les dénominateurs correspondants; on aura donc p = i5, q— ■?., ou p = 236i, q = 3i3, ou etc.

82 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULER. Dans le second cas, les valeurs de uv,, \j.2, (j.3,... seront

parce que //.„ = jx3, p.,0 = pA On formera donc ces fractions-ci

5 fi m 3g 206 ■}'[■) V" 696 i8'|3 622.") 32968

I 1 2 7 J7 !\'\ 81 I2J JJI II 18 jy2I

et les fractions quatrième, dixième, etc. , donneront les valeurs de p et q, lesquelles seront donc/? = 3q, q = 7, ou/> = 6226, ^ = 1 1 18, etc.

De cette manière on pourra donc trouver par ordre toutes les valeurs de p et q qui rendront la formule proposée == — 3, valeur qui est la plus petite qu'elle puisse recevoir. On pourrait même avoir une formule générale qui renfermât toutes ces valeurs àep et de q; on la trouvera, si l'on en est curieux, par la méthode que nous avons exposée ailleurs et dont nous avons parlé plus haut (n° 35).

Nous venons de trouver que le minimum de la quantité proposée est — 3, et par conséquent négatif; or on pourrait proposer de trouver la plus petite valeur positive que la même quantité puisse recevoir; alors il n'y aurait qu'à examiner les séries P0, P,, P2, P3,... dans les deux cas, et l'on verrait que le plus petit terme positif est 5 dans les deux cas; et, comme dans le premier cas c'est P.,, et dans le second P3 qui est égal à 5, les valeurs de p et de q, qui donneront la plus petite valeur positive de la quantité proposée, seront pit </4, ou p,Q, ql0, ou etc. dans le premier cas, et/;3, q3, ou p9, q9, ou etc. dans le second; de sorte que l'on aura, parles fractions ci-dessus, /j = 83, q = n, ou p= i32C)i, q = 17G2, . . . , ou p = 1 iï q = 2, ou p = i843, q = 33i, ou etc.

Au reste, on ne doit pas oublier de remarquer que les nombres/;., |U,, ij..,,..., trouvés dans les deux cas ci-dessus, ne sont autre chose que les termes des fractions continues qui représentent les deux racines de l'équation

De sorte que ces racines seront

expressions qu'on pourra continuer à l'infini par la simple répétilion des mêmes nombres.

Ainsi l'on voit par là comment on doit s'y prendre pour réduire eu fractions continues les racines de toute équation du second degré.

Scolie.

41. Euler a donné, dans le tome XI des Nouveaux Commentaires de Pëtersbourg, une méthode analogue à la précédente, quoique déduite de principes un peu différents, pour réduire en fraction continue la racine d'un nombre quelconque entier non carré, et il y a joint une Table où les fractions continues sont calculées pour tous les nombres naturels non carrés jusqu'à 120. Comme celte Table peut être utile en différentes occasions, et surtout pour la solution des Problèmes indéterminés du second degré, comme on le verra plus bas (§ Vllj, nous croyons faire plaisir à nos lecteurs de la leur présenter ici. On remarquera qu'à chaque nombre radical il répond deux suites de nombres

entiers : la supérieure est celle des nombres P0, — P,, P.J% — P3 et

l'inférieure est celle des nombres fx, (x,, p.2, fx3,....

V10 , ., a fi «

Vli I 3 3 6 3 6 3 6

\/Ts

— Ii35a53i35

/âïi S ' 4 1 4 1 4 1 4 1 ^"1428282828

/TJ l « 7 * 7 i 7 2 7 i . . ■ v ^d | 4 i 3 i 8 i 3 i 8 . . .

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5 io io io

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5 5 io .5 io 5 10

V7-8 5 3 a :3 io 3 a 3 io

si ' 7 < ; 1747 1

10 1 io 10 1 10 1

Vi0 I 6 3 .2 3 12 3

fi 2 12 2 12 2 1»

Sli ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGEBRE DEULER.

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y/48 \/5Ô /Si V 52 l/53 y/54

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