C: yB-i A, C, = yBt + A

D oC B, D, oC, B„

E- £D-: C, E, sD, 4 C,

on aura cette suite de fractions convergentes vers la quantité a

Si la quantité a est rationnelle, et représentée par une fraction quel

conque ^-> il est évident que cette fraction sera toujours la dernière

dans la série précédente, puisque dans ce cas la fraction continue sera terminée, et que la dernière fraction de la série ci-dessus doit toujours équivaloir à toute la fraction continue.

Mais, si la quantité a est irrationnelle ou transcendante, alors, la fraction continue allant nécessairement à l'infini, on pourra aussi pousser à l'infini la série des fractions convergentes.

11. Examinons maintenant la nature de ces fractions; et d'abord il est visible que les nombres A, B, C,... doivent aller en augmentant, aussi bien que les nombres A,, B,, C,,..., car :

i° Si les nombres a, /3, y,... sont tous positifs, les nombres A, B, C,... et A,, B,, C,,... seront aussi tous positifs, et l'on aura évidemment B> A, C>B, D>C,..., etB, = ou > A„ C, >B4, D( >C,,....

2° Si les nombres a, |3, */,... sont tous ou en partie négatifs, alors, parmi les nombres A, B, C,..., et A,, B(, C,,..., il y en aura de positifs et de négatifs; mais, dans ce cas, on considérera que l'on a, en général, par les formules précédentes,

d'où l'on voit d'abord que, si les nombres a, /5, y,.,, sont différents de l'unité, quels que soient d'ailleurs leurs signes, on aura nécessairement,

en faisant abstraction des signes, - >i; donc, s < i, par conséquent

c > i, et ainsi de suite; doncB > A, C > B,

11 n'y aura d'exception que lorsque, parmi les nombres a, ]3, y,..., il s'en trouvera d'égaux à l'unité; supposons, par exemple, que le nombre y soit le premier qui soit égal à ± î ; on aura d'abord B > A,

mais C < B, s'il arrive que la fraction ^ soit de signe différent de y; ce

qui est clair par l'équation - =y + -; parce que dans ce cas 7+ « sera un nombre < i ; or je dis qu'alors on aura nécessairement D > B;

car, puisque y — ± i, on aura (n° 10)

c — ± i -) — ,•> ei c— ->=±i;

or, comme c et d sont des quantités > i (n°3), il est clair que cette équation ne pourra subsister, à moins que c et d ne soient de même signe; donc, puisque y et ftsont les valeurs entières approchées de cet d, ces nombres y et § devront être aussi de même signe; mais la fraction

5 = 7+5 doit être de même signe que y, à cause que 7 est un nombre

filial" et

entier, et s une fraction < 1 ; donc B et iï seront des quantités de même r» d

signe; par conséquent -5- sera une quantité positive. Or on a -r — c? -r- -;

ii- C D .C , dC .,

donc, multipliant par 5< on aura T. = a 5 4- 1 ; donc, -k- étant une

quantité positive, il est clair que ^ sera > 1 ; donc D > B.

De là on voit que, s'il arrive que dans la série A, B, C, ... il se trouve un terme qui soit moindre que le précédent, le terme suivant sera nécessairement plus grand; de sorte qu'en mettant à part ces termes plus petits la série ne laissera pas d'aller en augmentant.

Au reste on pourra toujours éviter, si l'on veut, cet inconvénient, soit en prenant les nombres or, |3, 7,... tous positifs, soit en les prenant tous différents de l'unité, ce qui est toujours possible.

On fera les mêmes raisonnements par rapport à la série A,, B,, C

dans laquelle on a pareillement

ïï,""/r b,'

d'où l'on déduira. des conclusions semblables aux précédentes.

12. Maintenant, si l'on multiplie en croix les termes des fractions

voisines dans la série 7-1 ir, -,■•■) on trouvera A, B, L,

BA,-AB, = i, CB, - BC, - AB, - BA,, DC,— CD, BC, CB

d'où je conclus qu'on aura, en général,

BA, AB, = i, CB, - BC, i,