VII. i

90 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULER. cl par conséquent

a x — by =.ay. — b (3,

ou bien

d'où l'on tire

Qu'on réduise la fraction - à ses moindres termes, et supposant

qu'elle se change par là en celle-ci — » où b, et a, seront premiers entre eux, il est visible que l'équation

y^fi ~ a,

ne saurait subsister dans la supposition que x — y. et y — /3 soient des nombres entiers, a moins que l'on ait

x—tx — mb,, y— |3 = /??«,,

m étant un nombre quelconque entier; de sorte que l'on aura, en général,

x = a. -+- mbu y = (3 -f- ma,,

m étant un nombre entier indéterminé.

Comme on peut prendre m positif ou négatif à volonté, il est facile de voir qu'on pourra toujours déterminer ce nombre m, en sorte que la

valeur de x ne soit pas plus grande que —•> ou que celle de y ne soit pas

plus grande que — (abstraction faite des signes de ces quantités); d'où il s'ensuit que, si l'équation proposée

a x — by=c

est résoluble en nombres entiers, et qu'on y substitue successivement à

la place de x tous les nombres entiers, tant positifs que négatifs, renfermés entre ces deux limites — et '■■> on en trouvera nécessairement

un qui satisfera à cette équation; et l'on trouvera de même une valeur satisfaisante de y parmi les nombres entiers positifs ou négatifs, contenus entre les limites — et -•

Ainsi l'on pourra par ce moyen trouver une première solution de la proposée, après quoi on aura toutes les autres par les formules cidessus.

43. Mais si l'on ne veut pas employer la méthode de tâtonnement que nous venons de proposer, et qui serait souvent très-laborieuse, on pourra faire usage de celle qui est exposée dans le Chapitre Ie'' du Traité précédent, et qui est très-simple et très-directe, ou bien on pourra s'y prendre de la manière suivante.

On remarquera :

i° Que, si les nombres a et b ne sont pas premiers entre eux, l'équation ne pourra subsister en nombres entiers, à inoins que le nombre donné c ne soit divisible par la plus grande commune mesure de a et b ; de sorte qu'en supposant la division faite lorsqu'elle a lieu, et désignant les quotients para,, 6,, c,, on aura à résoudre l'équation

où a, et b{ seront premiers entre eux.

2° Que, si l'on peut trouver des valeurs de p et de q qui satisfassent

à l'équation

fi,p — b,q =±i,

on pourra résoudre l'équation précédente; car il est visible qu'en multipliant ces valeurs par ±c,, on aura des valeurs qui satisferont à

l'équation

a,x — bijr = Ci ;

c'est-à-dire qu'on aura

92 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULElt.

Or l'équation

<up — blq=zti

est toujours résoluble en nombres entiers, comme nous l'avons démontré dans le n° 23; et, pour trouver les plus petites valeurs de p et de g

qui y peuvent satisfaire, il n'y aura qu'à convertir la fraction - en fraction continue par la méthode du n° 4, et en déduire ensuite la série des fractions principales convergentes vers la même fraction — par les formules du n° 10; la dernière de ces fractions sera la fraction même — ■>

et, si l'on désigne l'avant-dernière par '-■> on aura, par la loi de ces fractions (n° 12),

atp— b,q =±i,

le signe supérieur étant pour le cas où le quantième de la fraction -

est pair, et l'inférieur pour celui où ce quantième est impair.

Ces valeurs dey» et de q étant ainsi connues, on aura donc d'abord

x=±pcu y = ztqe„

et, prenant ensuite ces valeurs pour « et |3, on aura, en général (n°42),

x = ± pct-h mbt, y = ±qc,-\- ma,,

expressions qui renfermeront nécessairement toutes les solutions possibles en nombres entiers de l'équation proposée.

Au reste, pour ne laisser aucun embarras dans la pratique de cette méthode, nous remarquerons que, quoique les nombres a et b puissent être positifs ou négatifs, on peut néanmoins les prendre toujours positivement, pourvu qu'on donne des signes contraires à x si a est négatif, et à y si b est négatif.

Exemple.

44. Pour donner un exemple de la méthode précédente, nous prendrons celui du n° 14 du Chapitre I" du Traité précédent, où il s'agit de

ANALYSE INDETERMINEE.

résoudre l'équation

changeant p en x et q en y, on aura donc

Ainsi on fera a = 3q, b — 56 et c — 1 1 ; et, comme 56 et 39 sont déjà premiers entre eux, on aura a, = 3g, b, = 56, c, = 1 j . On réduira donc

en fraction continue la fraction — = — » et pour cela on fera (comme

on l'a déjà pratiqué dans le n° 20) le calcul suivant

Ensuite, à l'aide des quotients 1, 2, 3,..., on formera les fractions