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et la pénultième fraction — . sera celle que nous avons désignée, en général, par-; de sorte qu'on aura /; = 23, q = 16; et, comme celte

fraction est la quatrième et par conséquent d'un quantième pair, il faudra prendre le signe supérieur; ainsi l'on aura, en général,

pc = 23. 1 1 -1- 5(wh, y = 16. 1 1 -4- 3g ///, m pouvant être un nombre quelconque entier, positif ou négatif.

9i ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULER.

Remarque.

45. On doit la première solution de ce Problème à Bachet de Méeiriac, qui l'a donnée dans la seconde édition de ses Récréations mathématiques, intitulées Problèmes plaisans et délectables, etc. La première édition de cet Ouvrage a paru en 1G12; mais la solution dont il s'agit n'y est qu'annoncée, et ce n'est que dans l'édition de 1624 qu'on la trouve complète. La méthode de Bachet est très-directe et Irès-ingénieuse, et ne laisse rien à désirer du côté de l'élégance et de la généralité.

Nous saisissons avec plaisir cette occasion de rendre à ce savant Auteur la justice qui lui est due sur ce sujet, parce que nous avons remarqué que les géomètres qui ont traité le même Problème après lui n'ont jamais fait aucune mention de son travail.

Voici en peu de mots à quoi se réduit la méthode de Bachet. Après avoir fait voir comment la solution des équations de la forme

ax — by = c,

a elb étant premiers entre eux, se réduit a celle de

ax — by = ± 1 ,

il s'attache à résoudre cette dernière équation, et pour cela il prescrit de faire entre les nombres a et b la même opération que si l'on voulait chercher leur plus grand commun diviseur (c'est aussi la même que nous avons pratiquée ci-devant); ensuite, nommant c, d, e,f,... les restes provenant des différentes divisions, et supposant, par exemple, que/ soit le dernier reste, qui sera nécessairement égal à l'unité (à cause que a et b sont premiers entre eux, hyp.), il fait, lorsque le nombre des restes est pair, comme dans ce cas,

eq=i=s, -j-=*, -ir=y> L-c-=£> —ïr-=*->

ces derniers nombres /3 et a seront les plus petites valeurs de x et y.

ANALYSE INDETERMINEE. î)5

Si le nombre des restes était impair, comme si g était le dernier reste = i, alors il faudrait faire

II est facile de voir que cette méthode revient au même dans le fond que celle du Chapitre Ier; mais elle est moins commode, parce qu'elle demande des divisions; au reste, les géomètres qui sont curieux de ces matières verront avec plaisir dans l'Ouvrage de Bachet les artifices qu'il a employés pour parvenir à la règle précédente, et pour en déduire la solution complète des équations de la forme

ax — by= c.

§ IV. — Méthodes pour résoudre en nombres entiers les équations indéterminées a deux inconnues, lorsque l'une des inconnues ne passe pas par le premier degré, et lorsque les deux inconnues ne forment que des produits d'une même dimension.

(Addition pour le Chapitre III.)