Soit proposée l'équation générale

a -+- bx -+- cy -+- dx- -+- exy + fx3 ■+- gx*y -4- hxK -\- h x3)- -+-... = o,

dans laquelle les coefficients a, b, c,... soient des nombres entiers donnés, et où x et y soient deux nombres indéterminés, qui doivent aussi être entiers.

Tirant la valeur de y de cette équation, on aura

a -4- bx -4- dx"1 -t- fx3 -+- tix* •+■ . . .

c -+- ex -f- gx'-h li x3 -+- . . .

ainsi la question sera réduite à trouver un nombre entier qui, étant pris pour x, rende le numérateur de cette fraction divisible par son dénominateur.

Soit supposé

p =:« + /> x -+- dx- -+- fx3 -\-hxf -+- . . . , q = c -+■ ex -+- gx- -+- h x* -4- . . . ,

et qu'on élimine x de ces deux équations par les règles ordinaires de l'Algèbre; on aura une équation finale de cette ferme

A -t- hp -+- Cq + Dj?J-f-E/?<7 -f- F</2+ G/>3 + . . . = o,

où les coefficients A, B, C,. .. seront des fonctions rationnelles et entières des nombres a, b, c, . . . .

Maintenant, puisque y = — —•> on aura aussi p = — qy\ de sorte qu'en substituant celte valeur de p, il viendra

A — Byq + Cq + Y)y2q2 — Eqr'j -+- F^2 -f- . . . = o,

où l'on voit que tous les termes sont multipliés par q, à l'exception du premier terme A; donc il faudra que le nombre A soit divisible par le nombre q; autrement il serait impossible que les nombres^ et y pussent être entiers à la fois.

On cherchera donc tous les diviseurs du nombre entier connu A, et l'on prendra successivement chacun de ces diviseurs pour y; on aura par chacune de ces suppositions une équation déterminée en x, dont on cherchera par les méthodes connues les racines rationnelles et entières, s'il y en a; on substituera ensuite ces racines à la place de x, et

l'on verra si les valeurs résultantes de p et de q seront telles que - soit

un nombre entier. On sera sûr de trouver par ce moyen toutes les valeurs entières de x, qui peuvent donner aussi des valeurs entières pour y dans l'équation proposée.

De là on voit que le nombre des solutions en entiers de ces sortes d'équations est toujours nécessairement limité; mais il y a un cas qui doit être excepté, et qui échappe à la méthode précédente.

47. Ce cas est celui où les coefficients e, g, k, . . . sont nuls, en sorte que l'on ait simplement

a + b x -+- dx2 -+- fx3 -+- A x* ■+- . . .

voici comment il faudra s'y prendre pour trouver toutes les valeurs de x qui pourront rendre la quantité

a -H bx -t- dx7-hfx3 4- hx' + . . .

divisible par le nombre donné c : je suppose d'abord qu'on ait trouvé un nombre entier n qui satisfasse à cette condition; il est facile de voir que tout nombre de la forme n ±.{iç y satisfera aussi, \x étant un nombre

quelconque entier; de plus, si n est > - (abstraction faite des signes

de n et de c), on pourra toujours déterminer le nombre pt. et le signe qui

le précède, en sorte que le nombre n± /xc devienne < -•, et il est aisé

de voir que ceia ne saurait se faire que d'une seule manière, les valeurs de n et de c étant données; donc, si l'on désigne par n, cette valeur de

n ± p.c, laquelle est < -» et qui satisfait à la condition dont il s'agit,

on aura, en général,

\j. étant un nombre quelconque.

D'où je conclus que, si l'on substitue successivement, dans la formule

a -+- bx -f- dx2 +fxA -+-...,

à la place de x tous les nombres entiers positifs ou négatifs qui ne

passent pas -•> et qu'on dénote par n,, n2, n3,. . . ceux de ces nombres

(jui rendront la quantité a -+- bx ■+- dx2 -+- . . . divisible par c, tous les autres nombres qui pourront faire le même effet seront nécessairement renfermés dans ces formules

//, ± fi, c, n-, ± fij c, «, ± ps c, . . . ,

p.,, p-2, (j.3, . . . étant des nombres quelconques entiers.

On pourrait faire ici différentes remarques pour faciliter la recherche

des nombres n,, n2, rc3,...; mais nous ne croyons pas devoir nous arrêter

davantage sur ce sujet, d'autant que nous avons déjà eu occasion de le

traiter dans un Mémoire imprimé parmi ceux de l'Académie de Berlin

Vil. 13

pour l'année 1768, et qui a pour titre : Nouvelle Méthode pour résoudre les Problèmes indéterminés (*). Voyez aussi un Mémoire de Legendre sur l'Analyse indéterminée , dans le Recueil de l'Académie des Sciences de Paris pour l'année 1785.

ÏS. Considérons maintenant les équations de la forme

aym 4- by'"-'x 4- cy'"-2x'i 4- dj'"~3x3 4-. . .= h,

dans lesquelles a, b, c,..., h sont des nombres entiers donnés, et où les deux indéterminées x, y, qui forment partout dans le premier membre le même nombre m de dimensions, doivent être aussi des nombres entiers.

Je supposerai d'abord que x et y doivent être premiers entre eux, et que de plus y doive être premier à A; je dis qu'on peut faire

x =z ny — liz,

n et z étant des nombres entiers indéterminés; car, en regardant ce, y et h comme des nombres donnés, on aura une équation résoluble en nombres entiers par la méthode du § III, puisque y et h n'ont, par l'hypothèse, d'autre commune mesure que l'unité. Qu'on substitue cette expression de x dans l'équation proposée, elle deviendra

( a -+- bn-h cri1 4- dri + . . .)ym — {b 4- 7. en 4-3 dri -\- . . . ) hy"—x z

-+- (c + 3dn -h . ..)li'y"-ïz'— . . . = h,

où l'on voit que tous les termes sont divisibles d'eux-mêmes par h, excepté le premier

( a -+- bn 4- cri 4- dri 4- . . . ) y'".

Il faudra donc, pour que l'équation puisse subsister en nombres entiers, (jue cette quantité soit aussi divisible par h. Mais nous supposons que h et y sont premiers entre eux; donc il faudra que la quantité

a -h bn -h cri -h dn* 4- . , .

(*) 0£ uvres fie Lagrange, t. II, p. 655.

ANALYSE INDETERMINEE. 99

soit elle-même divisible par h. Ainsi il n'y aura qu'à chercher, par la méthode du numéro précédent, toutes les valeurs de n qui pourront satisfaire à cette condition ; faisant ensuite, pour chacune de ces valeurs,

a -+- bn -+- en2 -+■ du'1 A- . . .=■ /;A, b -4- ?. en -4- 3 </n- ■+■ . . . = B., c + 3,dn +-...= C,

l'équation précédente deviendra, après ces substitutions et la division de tous les termes par h,

Arm — fiym~iz -+- hCy-'z' — . . . = i;

cette équation, étant ainsi réduite à la forme de celle du n° 30, est susceptible des méthodes que nous avons données dans le § II, et par lesquelles on pourra trouver toutes les valeurs satisfaisantes de y et z. Ces valeurs, ainsi que celles de n, étant connues, on aura, en général,

x = ny — h z.

Nous avons supposé, dans la solution précédente, que x et y doivent être premiers entre eux, ainsi que y et h entre eux; ces suppositions sont permises, puisque les nombres x et y sont indéterminés; mais, comme elles ne paraissent point absolument nécessaires, il'faut encore examiner dans quels cas elles peuvent cesser d'avoir lieu.

Supposons donc : i° que x et y puissent avoir une commune mesure a; il n'y aura qu'à mettre partout, dans l'équation proposée, axt, y, à la place de x et y, et regarder ensuite xK et y, comme premiers entre eux. Or, par cette substitution, il est clair que tous les termes du premier membre de l'équation se trouveront multipliés par a'"; par conséquent, il faudra que le second membre h soit divisible par a'" : d'où il suit qu'on ne peut prendre pour a que les diviseurs du nombre h qui s'y trouveront élevés à la puissance m. Ainsi, si le nombre h ne contient aucun facteur élevé à la puissance m, on sera assuré que les nombres x et y devront nécessairement être premiers entre eux.

Si le nombre h contient un ou plusieurs facteurs élevés a la puissance m, alors il faudra prendre successivement pour a. chaque facteur ou combinaison de facteurs, dont la puissance m divisera le nombre h, et l'on aura autant de solutions différentes en regardant dans chacune a?, et yt comme premiers entre eux.

Supposons : 20 que y et A aient une commune mesure ]3; on mettra fiy, et fîh, à la place de y et h, et l'on regardera ensuite y, et ht comme premiers entre eux. Par ces substitutions, tous les termes du premier membre qui contiennent^ se trouveront multipliés par une puissance <le/3; il n'y aura que le dernier terme, que je représenterai par g xm, qui, ne contenant point y, ne se trouvera point multiplié par /3. Mais, puisque le second membre h devient |3A,, il s'ensuit que le terme gxm devra aussi être divisible par |3; or, x et'y étant déjà supposés premiers entre eux, x ne saurait être divisible par |3; donc il faudra que le coefficient g le soit. D'où je conclus qu'on pourra prendre pour |3 successivement tous les diviseurs de g, et, après la substitution de /3j, et /3A, au lieu de y et de h et la division de toute l'équation par /3, on aura de nouveau le cas où l'indéterminée y, sera nécessairement première au nombre h,, qui formera le second membre.

§ V. — Méthode directe et générale pour trouver les valeurs de x qui peuvent rendre rationnelles les quantités de la forme \a-\- bx-+-cx'~, et pour résoudre en nombres rationnels les équations indéterminées du second degré a deux inconnues, lorsqu'elles admettent des solutions de cette espèce.

(Addition pour le Chapitre IV.)

49. Je suppose d'abord que les nombres connus a, b, c soient entiers; s'ils étaient fractionnaires, il n'y aurait qu'à les réduire à un même dénominateur carré, et alorsil est clair qu'on pourrait toujours faire abstraction de leur dénominateur; quant au nombre x, on supposera ici

ANALYSE INDETERMINEE. 101

qu'il puisse être entier ou fractionnaire, et l'on verra par la suite comment il faudra résoudre la question, lorsqu'on ne veut admettre que des nombres entiers.

Soit donc

y/a -+- bx -+- cx'=y,

et l'on aura

icx -+- 6= \J^cy2 -+- b2 — !\ac\ de sorte que la difficulté sera réduite à rendre rationnelle la quantité

\l^cy'l-{- b' — 4 ac' 50. Supposons donc, en général, qu'on ait à rendre rationnelle la quantité \JAy* + B, c'est-à-dire à rendre

Aj!+B

égal à un carré, A et B étant des nombres entiers donnés, positifs ou négatifs, et y un nombre indéterminé, qui doit être rationnel.

11 est d'abord clair que, si l'un des nombres A ou B était = i, ou égal à un carré quelconque, le Problème serait résoluble par les méthodes connues de Diophante, qui sont détaillées dans le Chapitre IV; ainsi nous ferons ici abstraction de ces cas, ou plutôt nous tâcherons d'y ramener tous les autres.

De plus, si les nombres A et B étaient divisibles par des nombres carrés quelconques, on pourrait aussi faire abstraction de ces diviseurs, c'est-à-dire les supprimer, en ne prenant pour A et B que les quotients qu'on aurait après avoir divisé les valeurs données par les plus grands carrés possibles; en effet, supposant A — a2 A,, et B = /32B,, on aura à rendre carré le nombre Atu2y2-+- B,/32; donc, divisant par |32, et faisant

^2. —ylt il s'agira de déterminer l'inconnue yt, en sorte que

A./ï + B, soit un carré.

D'où il s'ensuit que, dès qu'on aura trouvé une valeur de y propre à rendre A y2 -+- B égal à un carré, en rejetant dans les valeurs données

de A et de B les facteurs carrés a- et /52 qu'elles pourraient renfermer,

il n'y aura qu'à multiplier la valeur trouvée de y par -■> pour avoir celle qui convient à la quantité proposée.

51 . Considérons donc la formule Aj2 -+- B, dans laquelle A et B soient des nombres entiers donnés qui ne soient divisibles par aucun carré; et,

comme on suppose que y puisse être une fraction, faisons y = -■> p et q

étant des nombres entiers et premiers entre eux, pour que la fraction soit réduite à ses moindres termes; on aura donc la quantité

qui devra être un carré; donc A/r -f- B<jr devra en être un aussi; de sorte qu'on aura à résoudre l'équation

en supposant/?, q et z des nombres entiers.

Je vais prouver d'abord que q doit être premier à A, et que/? doit l'être à B; car, si q et A avaient un commun diviseur, il est clair que le terme B<72 serait divisible par le carré de ce diviseur, et que le terme A/r ne serait divisible que par la première puissance du même diviseur, à cause que q et p sont premiers entre eux, et que A est supposé ne contenir aucun facteur carré; donc le nombre A/r -+- Bq- ne serait divisible qu'une seule fois par le diviseur commun de q et de A; par conséquent il serait impossible que ce nombre fût un carré. On prouvera de même que/? et B ne sauraient avoir aucun diviseur commun.

Résolution de. l'équation A/r + B<jr2 = z- en nombres entiers.