Considérons donc, en général, l'équation

x2—Ax'—B,

où y est premier à B; et, comme x et y doivent être des nombres entiers, il faudra que x- — Ay2 soit divisible par B.

On fera donc, suivant la méthode du § IV (n° 48), x = ny — Bz, et l'on aura l'équation

(«2 — A) y2 — znByz + B2z2=B,

par laquelle on voit que le terme (n2 — A) y2 doit être divisible par B, puisque tous les autres le sont d'eux-mêmes; donc, comme y est premier à B (hyp. ), il faudra que n2 — A soit divisible par B; de sorte qu'en

faisant — rr — = C on aura, après avoir divisé par B,

Cy—2 nyz -+- B z2 = i ;

Or cette équation est plus simple que la proposée, en ce que le second membre est égal à l'unité.

On cherchera donc les valeurs de n qui peuvent rendre rr — A divisible par B; pour cela il suffira (n° 47) d'essayer pour n tous les nombres

enliers positifs ou négatifs non > -♦, et, si parmi ceux-ci on n'en trouve

aucun qui satisfasse, on en conclura d'abord qu'il est impossible que n- — A puisse être divisible par B, et qu'ainsi l'équation proposée n'est pas résoluble en nombres entiers.

Mais, si l'on trouve de cette manière un ou plusieurs nombres satisfaisants, on les prendra l'un après l'autre pour n, ce qui donnera autan! de différentes équations, qu'il faudra traiter séparément, et dont chacune pourra fournir une ou plusieurs solutions de la question proposée.

Quant aux valeurs de n qui surpasseraient celle de -? on en pourra faire abstraction, parce qu'elles ne donneraient point d'équations différentes de celles qui résulteront des valeurs de n qui ne sont pas > -■> comme nous l'avons déjà montré dans le n° 52.

Au reste, comme la condition par laquelle on doit déterminer n est que rr — A soit divisible par B, il est clair que chaque valeur de n pourra être également positive ou négative; de sorte qu'il sulïira d'essayer successivement pour n tous les nombres naturels qui ne sont pas

plus grands que -> et de prendre ensuite les valeurs satisfaisantes de n,

tant en plus qu'en moins.

Nous avons donné ailleurs des règles pour faciliter la recherche des valeurs de n qui peuvent avoir la propriété requise, et même pour trouver ces valeurs a priori dans un grand nombre de cas. [Voir les Mémoires de Berlin pour l'année 1767, pages 19/i et 274 (*)•]

Résolution de l'équation Cy2 — 2 nyz -+- Bc2 = 1 en nombres entiers.

On peut résoudre cette équation par deux méthodes différentes, que nous allons expliquer.

(*) OEtwrcs de I.ngrnn«(>, t. II. p. 377 et 655.