VII. iG

Première méthode.

66. Comme les quantités C, n, B sont supposées des nombres entiers, de même que les indéterminées y et z, il est visible que la quantité

Cy2 — 2 nyz -+- Bz2

sera toujours nécessairement égale à des nombres entiers; par conséquent l'unité sera la plus petite valeur qu'elle puisse recevoir, à moins qu'elle ne puisse devenir nulle, ce qui ne peut arriver que lorsque cette quantité peut se décomposer en deux facteurs rationnels. Comme ce cas n'a aucune difficulté, nous en ferons d'abord abstraction, et la question se réduira à trouver les valeurs de y et z qui rendront la quantité dont il s'agit le plus petite qu'il est possible; si le minimum est égal à l'unité, on aura la résolution de l'équation proposée; sinon, on sera assuré qu'elle n'admet aucune solution en nombres entiers. Ainsi le Problème présent rentre dans le Problème III du § II, et est susceptible d'une solution semblable. Or, comme l'on a ici (n° 65)

{in)2 — 4BC = 4A,

il faudra distinguer deux cas, suivant que A sera positif ou négatif.

Premier cas, lorsque n2 — BC = À<o.

67. Suivant la méthode du n° 32, il faudra réduire en fraction continue la fraction -j prise positivement : c'est ce qu'on exécutera par la règle du n° 4; ensuite on formera par les formules du n° 10 la série des fractions convergentes vers -^i et il n'y aura plus qu'à essayer successi-

vement les numérateurs de ces fractions pour le nombre y, et les dénominateurs correspondants pour le nombre z. Si la proposée est résoluble en nombres entiers, on trouvera de cette manière les valeurs

satisfaisantes dey et z; et réciproquement, on sera assuré que la proposée n'admet aucune solution en nombres entiers, si, parmi les nombres qu'on aura essayés, il ne s'en trouve point de satisfaisants.

Second cas, lorsque n- — BC = A ;> o.

68. On fera usage ici de la méthode des nos 33 et suivants; ainsi, à cause de E — 4 A, on considérera d'abord la quantité (n° 39)

dans laquelle il faudra déterminer les signes tant de la valeur de n, que nous avons vue pouvoir être également positive et négative, que de v'A, en sorte qu'elle devienne positive; ensuite on fera le calcul suivant :

r» n r ^- — Qo ± \/Â

Uo = — ", ' o = <-,, f- < p 9

q2 = «, p, 4- q„ i\ = ^L=-^ , {}., < ~Q;>±vA ,

et l'on continuera seulement ces séries jusqu'à ce que deux termes correspondants de la premièrectdc la seconde série reparaissent ensemble. Alors, si, parmi les termes de la seconde série P0, P,, Po,..., il s'en trouve un égal à l'unité positive, ce terme donnera une solution de l'équation proposée, et les valeurs de y et z seront les termes correspondants des deux séries p0, /?,, p.,,... et q0, qif y:,..., calculées par les formules du n° 25; sinon, on en conclura sur-le-champ que la proposée n'est pas résoluble en nombres entiers. {Voir l'Exemple du n° 40.)

Troisième cas, lorsque \= à un carré.

69. Dans ce cas le nombre v/A deviendra rationnel, el la quantité

Cy2 — znyz + Bz2

pourra se décomposer en deux facteurs rationnels. En effet, cette quantité n'est autre chose que celle-ci

(C.r— nzf— Az»

laquelle, en supposant A — a'1, peut se mettre sous cette forme

[C y — (n ■+- a) z] [(Cy ~(n-a)z] G

Or, comme

n- — «?= BC = (n -h a) (n — a),

il faudra que le produit de n + a par n — a soit divisible par C, et par conséquent que l'un de ces deux nombres n -+- a et n — a soit divisible par un des facteurs de C, et l'autre par le facteur réciproque. Supposons donc C = bc, et que n -+- a =fb et n — a = gc,fet g- étant des nombres entiers, et la quantité précédente deviendra le produit de ces deux facteurs linéaires cy —fz et by — gz; donc, puisque ces deux facteurs sont égaux à des nombres entiers, il est clair que leur produit ne saurait être = i , comme l'équation proposée le demande, à moins que chacun d'eux ne soit en particulier = ± i. On fera donc

cf— P=±l> by — gz=±i,

et l'on déterminera par la les nombres y et s; si ces nombres se trouvent entiers, on aura la solution de l'équation proposée; sinon, elle sera insoluble, au moins en nombres entiers.

Seconde méthode.