Qu'on pratique sur la formule

Cy7 — znyz ■+- Bz2

des transformations semblables à celles dont nous avons fait usage plus haut (n° 54), et je dis qu'on pourra toujours parvenir à une transformée telle que

les nombres L, M, N étant des nombres entiers, dépendants des nombres donnés C, B, n, en sorte que l'on ait

M2-LN = n2-CB = A,

et que, de plus, 2 M ne soit pas plus grand (abstraction faite des signes] que le nombre L ni que le nombre N; les nombres | et ^ seront aussi des nombres entiers, mais dépendants des nombres indéterminés y et z. En effet, soit, par exemple, C moindre que B, et qu'on mette la formule dont il s'agit sous cette forme

B,j2- a/ij/. + B/',

en faisant C = B, et z =j, ; si 2/1 n'est pas plus grand que B,, il est clair que cette formule aura déjà d'elle-même les conditions requises; mais, si in est plus grand que B,, alors on supposera y = my{ -t- y2t et, substituant, on aura la transformée

B.ji— 2/1,7,7,4- B,y], où

n, = n — m B,, B2 = /?i2B, — imn

Or, comme le nombre m est indéterminé, on pourra, en le supposant entier, le prendre tel que le nombre n — wB, ne soit pas plus grand

que -B,; alors inK ne surpassera pas B,. Ainsi, si inK ne surpasse pas

non plus B2, la transformée précédente sera déjà dans le cas qu'on a en vue; mais, si 2«, est plus grand que B2, on continuera alors a supposer yf = m, y»-\- y3, ce qui donnera la nouvelle transformée

B3j= — 2/z2nj3 + B2ji,

où

n,= n, — mtB2,

On déterminera le nombre entier m, , en sorte que n, — m, B2 ne soit

pas plus grand que — > moyennant quoi 2«, ne surpassera pas B2; de

sorte que l'on aura la transformée cherchée, si 2n2 ne surpasse pas non plus B3 ; mais, si 2/?2 surpasse B3 , on supposera de nouveau y2= m.2y3 -+- y,,, etc.

Or il est visible que ces opérations ne peuvent pas aller à l'infini; car, puisque in est plus grand que B, et que 2n, ne l'est pas, il est clair que n, sera moindre que n; de même, ins est plus grand que B2, et 2/î, ne l'est pas; doncn2 sera moindre que n,, et ainsi de suite, de sorte que les nombres n, nit n2,... formeront une suite décroissante de nombres entiers, laquelle ne pourra par conséquent pas aller à l'infini. On parviendra donc nécessairement à une formule où le coefficient du terme moyen ne sera pas plus grand que ceux des deux termes extrêmes, et qui aura d'ailleurs les autres propriétés que nous avons énoncées ci-dessus, ce qui est évident par la nature même des transformations pratiquées.

Pour faciliter la transformation de la formule

£yi — 2?iyz + Bz2

en celle-ci

L£2- alVl^ + Nip,

je désigne par D le plus grand des deux coefficients extrêmes C et B, et

ANALYSE INDETERMINEE. 127

par D, l'autre coefficient; et,viceversa, je désigne par 0 la variable dont le carré se trouvera multiplié par D, et par ôt l'autre variable; en sorte que la formule proposée prenne cette forme

D/j2— 2n90l-h'De2i,

où D, soit moindre que D; ensuite je n'aurai qu'à faire le calcul suivant :

m = — , n, = n — m D,, D2 = — rr — > Ô = /« 0, -+- 0„ i)< lit

ml = ~i /i2 = n, — m, D,, D3 = -2yr — , 0, = /n,O2 + 03,

//!,-— -i, »s = »2— mjD3, D4 = — ^-tt ) 02 = m2 03 -4- 04,

où il faut bien remarquer que le signe =, qui est mis après les lettres m, m,, m,,..., n'indique pas une égalité parfaite, mais seulement une égalité aussi approchée qu'il est possible, en tant qu'on n'entend par m, m,, m2,... que des nombres entiers. Je n'ai employé ce signe = que faute d'un autre signe convenable.

Ces opérations doivent être continuées jusqu'à ce que, dans la série n, nl,n.,,...,on trouve un terme, comme «p, qui (abstraction faite du signe) ne surpasse pas la moitié du terme correspondant Dp de la série D,, D2, D3,..., non plus que la moitié du terme suivant Dp+). Alors on pourra

faire

De=L, ne=N, Df,,= M, 01 0e=^, 0f+1 = H,

ou bien

DP = M, I)f+, = L, et 0,= Ç, 0e+.= ^.

Nous supposerons toujours par la suite qu'on ait pris pour \ï le plus petit des deux nombres Dp, Dp+, .