L'équation

Cj* — 2 nyz -+- Bz- — t

sera donc réduite à celle-ci

où N2 — LM = A, et où 2N n'est ni > L ni > M (abstraction faite des signes). Or, M étant le plus petit des deux coefficients L et M, qu'on multiplie toute l'équation par ce coefficient M, et faisant

il est clair qu'elle se changera en celle-ci

dans laquelle il faudra maintenant distinguer les deux cas de A positil et de A négatif.

Soit :

i° A négatif et — — a, a étant un nombre positif; l'équation sera donc

Or, comme N2 — LM = A, on aura a = LM — N2 ; d'où l'on voit d'abord que les nombres L et M doivent être de même signe; d'ailleurs 2N ne

doit être ni >L ni >M; donc N2 ne sera pas > -y--, donc a = ou

> -7LM; et, puisque M est supposé moindre que L, ou au moins pas

plus grand que L, on aura à plus forte raison a = ou >yM2; donc

M = ou < y/^«, donc M< | s/a.

On voit par là que l'équation

ne saurait subsister dans l'hypothèse que v et | soient des nombres entiers, à moins que l'on ne fasse £ = o et u2 = M, ce qui demande que M soit un nombre carré.

Supposons donc M = [j? , et l'on aura £ = o, u = ±/x; donc, par l'équation

fjL'^= — \j., el par conséquent 41 — — ~;

ANALYSE INDETERMINEE. 129

de sorte que ty ne saurait être un nombre entier, comme il le doit (hyp.), à moins que /x ne soit égal à l'unité, soit =±i, et par conséquent M = i.

De là je tire donc cette conséquence, que l'équation proposée ne saurait être résoluble en nombres entiers, à moins que M ne se trouve égal à l'unité positive. Si cette condition a lieu, alors on fera §=o,i|i=±i, et l'on remontera de ces valeurs à celles de y et z.

Cette méthode revient, pour le fond, au même que celle du n° 67, mais elle a sur celle-là l'avantage de n'exiger aucun tâtonnement.

2° Soit maintenant A un nombre positif; on aura A = N2 — LM; or,

comme N2 ne peut pas être plus grand que -j--, il est clair que l'équation ne pourra subsister, à moins que — LM ne soit un nombre positif, c'est-à-dire que L et M ne soient de signes différents. Ainsi A sera nécessairement < — LM ou tout au plus = — LM, si N = o, de sorte qu'on aura — LM — ou < A, et par conséquent M2 = ou < A, ou M = ou < y/A.

Le cas de M = y7 A ne peut avoir lieu que lorsque A est un carré; par conséquent ce cas est très-facile à résoudre par la méthode donnée plus haut (n° 69).

Reste donc le cas où A n'est pas carré et dans lequel on aura nécessairement M < \/A (abstraction faite du signe de M); alors l'équation

sera dans le cas du Théorème du n° 38, et se résoudra par conséquent par la méthode que nous y avons indiquée. Ainsi il n'y aura qu'à faire le calcul suivant:

Q, = F, pi=QÎ A, f/,<~Ql~v/A,

n p un p n'-A ^ - Q, + y/Â

n p Ln p Q'~A ^, - Q, - y/À

Q3 — f*, P2 + Qlf P3 = p > f*a < p J

130 ADDITIONS AUX ELEMENTS D'ALGEBRE D'EULEH.

qu'on continuera jusqu'à ce que deux termes correspondants de la première et de la seconde série reparaissent ensemble, ou bien jusqu'à ce que dans la série P,, P2, P3,... il se trouve un terme égal à l'unité positive, c'est-à-dire = P„ ; car alors tous les termes suivants reviendront dans le même ordre dans chacune des trois séries (n°37). Si dans la série P,, P>, P3,... il se trouve un terme égal à M, on aura la résolution de l'équation proposée; car il n'y aura qu'à prendre pour v et £ les termes correspondants des séries /?,, p2, p3,... ; g,, q2, qa,..., calculées d'après les formules du n° 25; et même on pourra trouver une infinité de valeurs satisfaisantes de y et |, en continuant à l'infini les mêmes séries.

Dès qu'on connaîtra deux valeurs de v et S, on aura, par l'équation

u = M^ — NÇ,

celle de <]/, laquelle sera aussi toujours égale à un nombre entier; ensuite on pourra remonter de ces valeurs de £ et <]>, c'est-à-dire de ô^, et 5p, à celles de 0 et 9,, ou bien de y et de z (n° 70).

Mais si, dans la série P,, P2, P3,.., il n'y a aucun terme qui soit =M, on en conclura hardiment que l'équation proposée n'admet aucune solution en nombres entiers.

Il est bon de remarquer que, comme la série P0, P,, P;,..., ainsi que les deux autres Q0, Q,, Q2,... et p., u.n ;j.2,..., ne dépend que du nombre A, le calcul une fois fait pour une valeur donnée de A servira pour toutes les équations où A, c'est-à-dire rr — CB, aura la même valeur; et c'est en quoi la méthode précédente est préférable à celle du n° 68, qui exige un nouveau calcul pour chaque équation.

Au reste, tant que A ne passera pas ioo, on pourra faire usage de la Table que nous avons donnée au n° 41, laquelle contient pour chaque radical y' A les valeurs des termes des deux séries P0, — P,, Ps, — P3,..., et p., p.n f/.2,/£3,..., continuées jusqu'à ce que l'un des termes P,, P2,P3,... devienne = r, après quoi tous les termes suivants de l'une et de l'autre série reviennent dans le même ordre; de sorte qu'on pourra juger sur-

ANALYSE INDETERMINEE. 131

le-champ, par le moyen de cette Table, de la résolubilité de l'équation

De la manière de trouver toutes les solutions possibles de l'équation- Cy~ — 2nyz + B:2 = i, lorsqu'on n'en connaît qu'une seule.

72. Quoique, par les méthodes que nous venons de donner, on puisse trouver successivement toutes les solutions de cette équation, lorsqu'elle est résoluble en nombres entiers, cependant on peut parvenir à cet objel d'Une manière encore plus simple, que voici :

Qu'on nomme p et q les valeurs trouvées de y et z, en sorte que

l'on ait

C/>2 — inpq -+■ hq-=; i,

et qu'on prenne deux autres nombres entiers r et s, tels que ps — qr = i (ce qui est toujours possible, à cause que p et q sont nécessairement premiers entre eux) ; qu'on suppose ensuite

y = pt -+- ru, z = qt ■+■ su,

tel a étant deux nouvelles indéterminées; substituant ces expressions

dans l'équation

Cy 2 — inyz -+- B z- = i ,

et faisant, pour abréger,

P = C/>5 — 7.npq -i- \\(j\

Q = Cpr — n (ps + qr) -4- Hqs,

R — O2 — inrs + BsJ,

on aura cette transformée

Or on a (hyp.) P = 1 ; de plus, si l'on nomme p et a deux valeurs de ret s qui satisfassent à l'équation ps— qr— 1, on aura, en général

r = p -+- mp, 5 = 7 + nuj,

m étant un nombre quelconque entier; donc, mettant ces valeurs dans l'expression de Q, elle deviendra

Q =zCpp — n (pv -+- qp) -I- B</<7 -h mP;

de sorte que, comme P = i, on pourra rendre Q = o, en prenant

m = — Cpp -+- n{prr -+- qp) — Bq<7.

Maintenant je remarque que la valeur de Q2 — PR se réduit (après les substitutions et les réductions) à celle-ci

(n*-CB)(ps-qr)';

de sorte que, comme ps — qr = i, on aura

QJ— PR=m2-CB = A;

donc, faisant P = i et Q — o, il viendra — R = A, savoir R = — A; ainsi l'équation transformée ci-dessus se changera en celle-ci

or, comme y, z,p, q, r et s sont, par l'hypothèse, des nombres entiers, il est facile de voir que t et u seront aussi des nombres entiers; car, en tirant leurs valeurs des équations

y = pt-hru, z = qt -\- su,

on a

sy—rz qy — pz

ps — qr qr — ps

c'est-à-dire, à cause de ps — qr= i ,

t — sy—rz, u=pz — qy.

11 n'y aura donc qu'à résoudre en nombres entiers l'équation

p— ku2=i,

et chaque valeur de t et de u donnera de nouvelles valeurs de y et z.

En effet, substituant dans les valeurs générales de /• et s la valeur du nombre m trouvée ci-dessus, on aura

r = p (i — Cp2) — Bpqa+np [pu -+- qp), s= <t(i — Bq2) — Cpqp 4- nq (pa -t- qp)

ou bien, à cause de C/r — 2 npq -+- B q2 = 1 ,

;•= (Bq — np) (qp — pa) = —Bq -h np,

s = [Cp — nq) (pa—qp) = Cp — nq.

Donc, mettant ces valeurs de rets dans les expressions ci-dessus dey etz, on aura, en général,

r = pt— (Bq — np)u,

z = qt -+- (Cp — nq) u.