Tout se réduit donc à résoudre l'équation
p~ Aa*=i.
i° Si A est un nombre négatif, il est visible que cette équation ne saurait subsister en nombres entiers, qu'en faisant u= o et t = 1, ce qui donnerait y = p et z = q; d'où Ton peut conclure que, dans le cas où A est un nombre négatif, l'équation proposée
Cy2— inyz + Bz'= 1
ne peut jamais admettre qu'une seule solution en nombres entiers.
Il en serait de même si A était un nombre positif carré; car, faisant
A = a-, on aurait
( t -+- au) (t — au) = 1 ; '
donc
t + au = dzi, et t — a«=±i;
donc lau = o; donc u = o, et par conséquent
2° Mais, si A est un nombre positif non carré, alors l'équation
est toujours susceptible d'une infinité de solutions en nombres entiers (n° 37), qu'on peut trouver toutes par les formules données cidessus (n° 71, 2°); mais il suffira de trouver les plus petites valeurs de / et u, et pour cela, dès que l'on sera parvenu, dans la série P,, P2, P3,..., a un terme égal à l'unité, il n'y aura qu'à calculer, par les formules du n° 25, les termes correspondants des deux séries pt, p2,p3,...,
et qlt q*, q3, Ce seront les valeurs cherchées de tel u; d'où l'on voit
que le même calcul qu'on aura fait pour la résolution de l'équation
servira aussi pour celle de l'équation
t*—Au*=i.
Au reste, tant que A ne passe pas ioo, on a les plus petites valeurs de lelu toutes calculées dans la Table (*) qui est à la fin du Chapitre Vil du Traité précédent, et dans laquelle les nombres a, m, n sont les mêmes que ceux que nous appelons ici A, t et u.
74. Désignons par /, , h, les plus petites valeurs de t, u dans l'équation
t1 -A«'=i ; et de même que ces valeurs peuvent servir à trouver de nouvelles va-
(*) Voici encore quelques exemples, lorsque a est plus grand que ioo :
c. -, \ n = 22419, c- \ n — i5i4oj24455ioo,
Sirt= io3, on aura \ "" Si a = 109, on aura Co * »* .
Si a= n3, on aura < ,"' Si« = \5>i, on aura .„„„„„„
et si a = 367, il viendra
leurs de y et z dans l'équation
Cj-' — 2 nyz +Bz'=:i,
de même aussi elles pourront servir à trouver de nouvelles valeurs de t et u dans l'équation
t- — ku2 = \ ,
qui n'est qu'un cas particulier de celle-là. Pour cela, il n'y aura qu'à supposer C = i et n = o, ce qui donne — B = A, et prendre ensuite t, a à la place de y, z, et t,, u, h la place dep, q. Faisant donc ces substitutions dans les expressions générales de y et z du n° 72, et mettant de plus T, U à la place de t, u, on aura, en général,
t = T/, + AU»,,
« = Tm,+ U /,,
et pour la détermination de T et U l'équation
T1— AU*=i,
qui est semblable à la proposée.
Ainsi on pourra supposer T = t, et U = un ce qui donnera
l = t] -\- Au], u== ttut-\- ttut.
Nommant donc t2, u2 les secondes valeurs de t et u, on aura
fi=/*-t-Aaf, U] = 2/,U|.
Maintenant il est clair qu'on peut prendre ces nouvelles valeurs /,, ua à la place des premières tlt a, ; ainsi l'on aura
t ='lt2 -4-AUa,, k=T«,-|- U/,,
où l'on peut supposer de nouveau T = /,, U = u,, ce qui donnera
Ainsi on aura de nouvelles valeurs de t et u, lesquelles seront
i3 — t, t,-h Aului = t, [t] -h 3 Au]), h3— /, a, -+- u, t2 = u, (3t\ -+- Au] ),
et ainsi de suite.
75. La méthode précédente ne fait trouver que successivement les valeurs t2, t3,... ; u2, u3 Voyons maintenant comment on peut généraliser cette recherche. On a d'ahord
/ = T/, + AUh„ m = Tm,-i-U/,,
d'où je tire cette combinaison
?±mv/Â = (/i±M,v/Â)(T±Uv/Â);
donc, supposant T = t, et U = u,, on aura
t1±u1slk = {ti±ul\IÂy.
Qu'on mette à présent ces valeurs de /2 et u2 à la place de celles de t, et u,, on aura
i±uslA = {ti±u^A~Y (T±Uv/Â),
où, faisant de nouveau T = t, et U = ult et nommant /3, n3 les valeurs résultantes de t et u, il viendra
ti±uij~K=(ti±ulfk~y.
On trouvera de même
et ainsi de suite.
Donc si, pour plus de simplicité, on nomme maintenant! et U les premières et plus petites valeurs de t, u, que nous avons nommées ci-dessus tt, m,, on aura, en général,
/±MV/Â = (T±UV/Â)'",
ANALYSE INDETERMINEE. 137
mêlant un nombre quelconque entier positif; d'où l'on tire, à cause de l'ambiguïté des signes,
(T + UV'Â )"-+- (T-Uv'Â)"'
ff=(T + UvÂ)"'-(T-Uy/Âr
Quoique ces expressions paraissent sous une forme irrationnelle, cependant il est aisé de voir qu'elles deviendront rationnelles, en développant les puissances de T ± Uv/A; car on a, comme l'on sait,
(T±Uv/Âr=T-±mT"-'Uv^+m^-l)T"-'U»A±m(m-l)|m-2)T^U3A^/Â4-....
Donc I - T- + m(/W-,] AT- U' + ™(™->U<n-*)(»i-3\ A2T„,4 ^ +
, rT ni m— \)[m — 2) . ^ rT m{m — i)[m — i){m — 3) (m — 4)
où l'on pourra prendre pour m des nombres quelconques entiers positifs.
Il est clair qu'en faisant successivement m= 1, 2, 3,. 4 on aura
des valeurs de t et u qui iront en augmentant.
Or je vais prouver que l'on aura de cette manière toutes les valeurs possibles de / et u, pourvu que T et U en soient les plus petites. Pour cela il suffit de prouver qu'entre les valeurs de t et u qui répondent à un nombre quelconque m, et celles qui répondraient au nombre suivant m -+- 1, il est impossible qu'il se trouve des valeurs intermédiaires qui puissent satisfaire à l'équation
Prenons, par exemple, les valeurs /,,, //;1, qui résultent de la supposition de m — 3, et les valeurs /,, «,, qui résultent de la supposition m =4« et soient, s'il est possible, d'autres valeurs intermédiaires 0 et v, VII. 18
qui satisfassent aussi a l'équation
Puisque l'on a
B1— tl=A(v'— u\), et t\— 0' = \ [u\ —
d'où l'on voit que, si 0 > l3 et </4, on aura aussi v > ut et < mv. Do plus, on aura aussi ees autres valeurs de t et u, savoir
t = 9t( — Avut, u=9ui—vtl,
qui satisferont à la même équation
p — Au2= i ;
car, en les y substituant, on aurait
(0*4 — Auu,)'- A(u/4— 9iu)2=[e2— kv2) [t\— A u\ | =i, équation identique à cause de ( liyp.)
B2—hi>-=\, t\—ku\ = i.
Or ces deux dernières équations donnent
9 — u y/A = 5 li — ut \J\ =z
donc, mettant dans l'expression de « = 0a4 — u/4, à la place de 5,
u y A -+- - — => et «h la place de /,, u„ \j\ ^ => on aura
e+'jv'A. /i + Mi^A
9 + u y/A /4 + tu \/A
de même, si l'on considère la quantité t.6uA — m3 /.,, elle pourra anssi, à cause de /^ — ku\ = i , se mettre sous la forme
II; ll3
'3 + "3 N^A ti + «4 y/A
ANALYSE INDETERMINEE. 139
Or, il est facile de voir que la quantité précédente doit être plus petite que celle-ci, à cause de 0 >/3 et v > à3 ; donc on aura une valeur de u, qui sera moindre que la quantité t3ut — w3 tt; mais cette quantité
est égale à U; car
(T4-Uv/ÂT + (T-uv/Â)3
Uy/Â)<
-Uy/Â)4
Uy/A)3
-Uv/AjJ
Uv/'Â)'
(I ou
hU( — /<«.
2 y/ A (T - U y Â)S(T + U v/XV - (T - U y/Â)4(T + U v'Â;
de plus,
(T - U v'ÀJ3 (T H- U y/Â/ = (T* — AU2)3=: .,
puisque T2— AU2 = i (hyp.); donc
(T - U y/Â)' (T + U v A / = T - U y/Â" , de sorte que la valeur de l3u,, — uj., se réduira a
11 s'ensuivrait donc de là qu'on aurait une valeur de // < U, ce qui est contre l'hypothèse, puisque U est supposé la plus petite valeur possible de «; donc il ne saurait y avoir des valeurs de / et u intermédiaires entre celles-ci /,, /4 et uif t/.,. Et comme ce raisonnement peut s'appliquer en général à toutes valeurs de t et u qui résulteraient des formules ci-dessus, en y faisant m égal à un nombre entier quelconque, on en peut conclure
UO ADDITIONS AUX ELEMENTS D'ALGEBRE DEULER.
que ces formules renferment effectivement toutes les valeurs possibles de t et u.
Au reste, il est inutile de remarquer que les valeurs de t et de u peuvent être également positives ou négatives; car cela est visible par l'équation même
De la manière de trouver toutes les solutions possibles, en nombres entiers, des équations indéterminées du second degré à deux inconnues.
76. Les méthodes que nous venons d'exposer suffisent pour la résolution complète des équations de la forme
Aj2-f-B =x2;
mais il peut arriver qu'on ait a résoudre des équations du second degré d'une forme plus composée : c'est pourquoi nous croyons devoir montrer comment il faudra s'y prendre.
Soit proposée l'équation
ar2 -+- bis -+- es7 -f- dr -+- es 4-jf = o,
où a, b, c, d, e, /soient des nombres entiers donnés, et où r et s soient deux, inconnues qui doivent être aussi des nombres entiers. J'aurai d'abord, par la résolution ordinaire,
iar-i- bs + d = \J{bs -\-d)'2 — 4a i0^ -+- es +/)» d'où l'on voit que la difficulté se réduit à faire en sorte que
[bs+dy — 4a(c52+ es +/)
soit un carré.
Supposons, pour plus de simplicité,
b2 — ^ac = A, bd— 2<xe = g, d' —^af=h,
et il faudra que As2 -+- 2gs -h h soit un carré; supposons ce carré =\~,
en sorte que l'on ait l'équation
A s2 -+- 2 gs -+- Il = y2 ; et, tirant la valeur de s, on aura
de sorte qu'il ne s'agira plus que de rendre carrée la formule
Ay2+g2— \h-
Donc, si l'on fait encore
on aura à rendre rationnel le radical
v'Aj'-hB;
c'est à quoi on parviendra par les méthodes données.
Soit sjAy2 -h B = x, en sorte que l'équation à résoudre soit
on aura donc
A s -+- g — dt x ;
d'ailleurs on a déjà
2 ar + bs + d = dzy.
Ainsi, dès qu'on aura trouvé les valeurs de x et y, on aura celles de r et s par les deux équations
zh x — g ±r — d — bs
A 2 rt
Or, comme r et $ doivent être des nombres entiers, il est visible qu'il faudra : i° que x cty soient des nombres entiers aussi; 2° que ±.r — g soit divisible par A, et qu'ensuite ±y — d — bs le soit par 2a. Ainsi, après avoir trouvé toutes les valeurs possibles de x et j en nombres entiers, il restera encore à trouver parmi ces valeurs celles qui pourront rendre ret s des nombres entiers.
Si A est un nombre négatif ou un nombre positif carré, nous avons vu que le nombre des solutions possibles en nombres entiers est toujours limité, de sorte que dans ces cas il n'y aura qu'à essayer successivement poura?et /les valeurs trouvées; et, si l'on n'en rencontre aucune qui donne pour /et s des nombres entiers, on en conclura que l'équation proposée n'admet point de solution de celte espèce.
La difficulté ne tombe donc que sur le cas où A est un nombre positif non carré, cas dans lequel on a vu que le nombre des solutions possibles en entiers peut être infini; comme l'on aurait alors un nombre infini de valeurs à essayer, on ne pourrait jamais bien juger de la résolubilité de l'équation proposée, à moins d'avoir une règle qui réduise le tâtonnement entre certaines limites : c'est ce que nous allons rechercher.
