Puisqu'on a (n

x = ny — Bz,

et (n°72)

y=pt—[Bq — np)u,

3= qt + (C/> — nq) u,

il est facile de voir que les expressions générales de r et s seront de cette forme

a, [j, y, o; a,, /3,, y,, â, étant des nombres entiers connus, et/, u étant donnés par les formules du n° 75, dans lesquelles l'exposant m peut être un nombre entier positif quelconque. Ainsi la question se réduit à trouver quelle valeur on doit donner à m, pour que les valeurs de r et s soient des nombres entiers.

78. Je remarque d'abord qu'il est toujours possible de trouver une valeur de u qui soit divisible par un nombre quelconque donné A; car, supposant u = Aw, l'équation

ANALYSE INDETERMINEE. U3

deviendra

laquelle est toujours résoluble en nombres entiers; et l'on trouvera les plus petites valeurs de t et w en faisant le même calcul qu'auparavant, mais en prenant A A2 à la place de A. Or, comme ces valeurs satisfont

aussi à l'équation

elles seront nécessairement renfermées dans les formules dun°75. Ainsi il y aura nécessairement une valeur de m qui rendra l'expression de u divisible par A.

Qu'on dénote cette valeur de m par p., et je dis que si, dans les expressions générales de t et u du numéro cité, on fait m = 2 p., la valeur de u sera divisible par A, et celle de l étant divisée par A donnera 1 pour reste.

Car, si l'on désigne par T, et U, les valeurs de t et u où m = a, et par T2 et U2 celles où m = 2[x, on aura (n° 75)

T.zfcU.s/Â — (T±Uv/Âf,

'I\:i=U2V/Â=:(T±UN/Â"r;

donc

(Ti±UlV/ÂJ2 = T2±U,v/Â,

c'est-à-dire, en comparant la partie rationnelle du premier membre avec la rationnelle du second, et l'irrationnelle avec l'irrationnelle,

T2=TÎ + AUî, D, = aT,U,;

donc, puisque U, est divisible par A, U2 le sera aussi, et T, laissera le même reste que laisserait T2; mais on a T2 — AU2 ~\ (hyp.): donc T2 — 1 doit être divisible par A et même par A2, puisque U, l'est déjà; donc T2 et par conséquent aussi T2, étant divisés par A, laisseront le reste 1 . Maintenant je dis que les valeurs de l et u qui répondent à un exposant quelconque m, étant divisées par A, laisseront les mêmes restes

144 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE DEULER. que les valeurs de l et u qui répondraient à l'exposant m+ 2/jl; car, désignant ces dernières par 0 et v, on aura

t±mfX=(T±V\JÂ)m,

donc

9dzvs/Â={t±u\JÂ) (T±Uv/A")!I1.

Mais nous venons de trouver ci-dessus

T:±U2V'A = (T±Uv'Â)2:i;

donc on aura

d'où l'on tire, en faisant la multiplication et comparant ensuite les parties rationnelles ensemble et les irrationnelles ensemble,

Or U2 est divisible par A, et T2 laisse le reste i ; donc 0 laissera le même reste que t, et v le même reste que u.

Donc, en général, les restes des valeurs de / et u répondant aux exposants m -+- 2(x, m -+- 4p-, m -t- G/j.,... seront les mêmes que ceux des valeurs qui répondent à l'exposant quelconque m.

De la on peut donc conclure que, si l'on veut avoir les restes provenant de la division des termes t,, t2, t3,... et ut, u2, uà,... qui yépondent à m — i, 2, 3,... par le nombre A, il suffira de trouver ces restes jusqu'aux termes /2(J, et m2(J. inclusivement; car, après ces termes, les mêmes restes reviendront dans le même ordre, et ainsi de suite à l'infini.

Quant aux termes t2v. et u2v., auxquels on pourra s'arrêter, ce seront ceux dont l'un u2V. sera exactement divisible par A, et dont l'autre t2v. laissera l'unité pour reste; ainsi il n'y aura qu'à pousser les divisions jusqu'à ce qu'on parvienne aux restes 1 et o ; alors on sera assuré que

ANALYSE INDETERMINEE. 1V5

les termes suivants redonneront toujours les mêmes restes que l'on a déjà trouvés.

On pourrait aussi trouver l'exposant 2[j. a priori; car il n'y aurait qu'à taire le calcul indiqué dans le n°71, 20, premièrement pour le nombre A, et ensuite pour le nombre A A2; et, si l'on nomme w le numéro du terme delà série P,, P2, P3,... qui, dans le premier cas, sera = 1, et p le numéro du terme qui sera = r dans le second cas, on n'aura qu'à chercher le plus petit multiple de zs et de p, lequel, étant divisé par ts, donnera la valeur cherchée de u..

Ainsi, si l'on a, par exemple, A = 6 et A — 3, on trouvera dans la Table du n°41, pour le radical y/B,

donc -u-, = 2; ensuite on trouvera dans la même Table, pour le radical V6.9 = y 54,

P,= i, P, = -5, P, = 9, P3 = -2, P, = 9, Ps = -5, Po=i;

donc p = 6; or le plus petit multiple de 2 et 6 est 6, qui, étant divisé par 2, donne 3 pour quotient, de sorte qu'on aura ici p. = 3 et 2p. = 6.

Donc, pour avoir dans ce cas tous les restes de la division des termes /,, /.,, /.,,... et u,, u.y, uit... par 3, il suffira de chercher ceux des six premiers termes de l'une et de l'autre série; car les termes suivants redonneront toujours les mêmes restes, c'est-à-dire que les septièmes ternies donneront les mêmes restes que les premiers, les huitièmes les mêmes restes que les seconds, et ainsi de suite à l'infini.

Au reste, il peut arriver quelquefois que les termes t^ et «^ aient les mêmes propriétés que les termes/^ et u.,{X, c'est-à-dire que assoit divisible par A, et que lv. laisse l'unité pour reste. Dans ces cas on pourra s'arrêter à ces mêmes termes; car les restes des termes suivants t^+l, tv+2

Wjh-o «V+-2,... seront les mêmes que ceux des termes /,, t2,..., //,, u.,,..., et ainsi des autres. »

En général, nous désignerons par M la plus petite valeur de l'exposant m, qui rendra t — 1 et u divisibles par A.