Soit proposé de rendre rationnelle celte quantité

y'3o -+- 62 s — 7 s', en ne prenant pour s que des nombres entiers. On aura donc à résoudre cetle équation

3o -t- 625 — 7 s* = ,)•', laquelle, étant multipliée par 7, peut se mettre sous celle forme

ou bien, en faisant 75 — 3i = x et transposant,

a2 =1171 — 7 y1, ou x2->r 7 y3= 1 171.

Cette équation est donc maintenant dans le cas du n° 64, de sorte qu'on aura A = — 7 et B = 1171; d'où l'on voit d'abord que y et B doivent être premiers entre eux, puisque ce dernier nombre ne renferme aucun facteur carré.

On fera, suivant la méthode du n° 65,

x = ny — 11712,

et il faudra, pour que l'équation soit résoluble, que l'on puisse trouver

pour n un nombre entier, positif ou négatif, non > -» c'est-à-dire non

> 58G, tel que n2 — A ou n' -+- 7 soit divisible par B ou par 1171.

Je trouve n = ± 3a i, ce qui donne 7^+7= 1171 .88; ainsi je suh-

siitue dans l'équation précédente ± 3aij — 1171s à la place de x,

moyennant quoi elle se trouve toute divisible par 1171, et la division

laite, elle devient

88j"2 =p 64?. yz + 1 1 7 1 z1 = 1 ,

Pour résoudre cette équation je vais faire usage de la seconde méthode exposée dans le n° 70, parce qu'elle est en effet plus simple et plus commode que la première. Or, comme le coefficient de y2 est plus petit que celui de z2, j'aurai ici D = 1 171, D, = 88 et n = ± 3ai ; donc, retenant pour plus de simplicité la lettre y à la place de 0, et mettant y, a la place de s, je ferai le calcul suivant, où je supposerai d'abord 71 = 3a 1 :

ni = -—- — /\, nt = 32i — 4.88 = — 3i,

/»,= = — 3, n,= — il -l-3.ii = 2,

D« = 7 = 7> ri=ar»+r

Puisque 7«3 = o et par conséquent < — et < — ■> on s'arrêtera ici et l'on fera

D,= M=i, Di=L = 7, tt3 = o = N, ei y3=l, y*=ty,

à cause que D3 est < D4.

Maintenant je remarque que, A étant = — 7, et par conséquent négatif, il faut, pour la résolubilité de l'équation, que l'on ait M = 1 ; c'est ce que l'on vient de trouver, de sorte qu'on en peut conclure

d'abord que la résolution est possible. On supposera donc ç = r:)= o. *b — V,. = ± i ; et l'on aura, par les formules ci-dessus,

y3 = ±-.i, yl=+3 = z, y = zp ii±i =+n,

les signes ambigus étant à volonté. Donc

x = Z">.\y — i i"ji z =q= 18,

et conséquemment

r + 3i 3iqri8 i3 4q*

s— ■=- — — — = — > ou = 22=7.

Or, comme on exige que la valeur de s soit égale à un nombre entier, on ne pourra prendre que s = 7.

Il est remarquable que l'autre valeur de 5, savoir — • quoique fraction-

naire, donne néanmoins un nombre entier pour la valeur du radical \/5o-h62s— 7-y-, et le même nombre 1 r que donne la valeur s = 7; de sorte que ces deux valeurs de useront les racines de l'équation

Nous avons supposé ci-dessus n = 3ai; or on peut faire également n = — 32i ; mais il est facile de voir d'avance que tout le changement qui en résultera dans les formules précédentes, c'est que les valeurs de m, m,, ma et de n,, n2 ebangeront de signe; moyennant quoi les valeurs àc y, et de y deviendront aussi de différents signes, ce qui ne donnera aucun nouveau résultat, puisque ces valeurs ont déjà d'elles-mêmes le signe ambigu ±.

Il en sera de même dans tous les autres cas, de sorte qu'on pourra toujours se dispenser de prendre successivement la valeur de n en plus et en moins.

La valeur s = 7, que nous venons de trouver, résulte de la valeur de n = ± 32i ; on pourrait trouver d'autres valeurs de s, si l'on trouvait d'autres valeurs de n qui eussent la condition requise; mais, comme le diviseur B = 1 171 est un nombre premier, il ne saurait y avoir d'autres

valeurs de n de la môme qualité, comme nous l'avons démontré ailleurs [Mémoires de Berlin pour l'année 17G7, page 194 (')], d'où il faut conclure que le nombre 7 est le seul qui puisse satisfaire à la question.

J'avoue, au reste, qu'on peut résoudre le Problème précédent avec plus de facilité par le simple tâtonnement; car, dès qu'on est parvenu à l'équation

il n'y aura qu'à essayer pour y tous les nombres entiers dont les carrés multipliés par 7 ne surpasseront pas 1 1 7 1 , c'est-à-dire tous les nombres

Il en est de même de toutes les équations où A est un nombre négatif; car, dès qu'on est arrivé à l'équation

x'=B + Aj'-, ou, en faisant A = — a,

il est clair que les valeurs satisfaisantes de y, s'il y en a, ne pourront se

trouver que parmi les nombres <C\/— • Aussi n'ai-je donné des méthodes particulières, pour le cas de A négatif, que parce que ces méthodes ont une liaison intime avec celles qui concernent le cas de A positif, et que toutes ces méthodes, étant ainsi rapprochées les unes des autres, peuven t se prêter un jour mutuel et acquérir un plus grand degré d'évidence.

Exemple II.

81. Donnons maintenant quelques Exemples pour le cas de A positif, et soit proposé de trouver tous les nombres entiers qu'on pourra prendre pour y, en sorte que la quantité radicale

\J 1 $y- +101 devienne rationnelle.

(*) OEuvres de La grange, t. II, p. 377.

ANALYSE INDETERMINEE. 151

On aura ici, n° 64, A = i3, B = ioi, et l'équation à résoudre en entiers sera

dans laquelle, à cause que ioi n'est divisible par aucun carré, y sera nécessairement premier à IOI.

On fera donc ( n° 65)

x=z ny — ioi z,

et il faudra que rc2 — 1 3 soit divisible par i o i , en prenant n < — < 5 1 . Je trouve n — 35, ce qui donne

n2--= ii25, et iï1 — i3 = 1212 = ioi . 12;

ainsi l'on pourra prendre n = ± 35, et substituant, au lieu de x,

± 35y — iotz, on aura une équation toute divisible par ioi, qui, la

division faite, sera

i?.j-2zp 70 yz +101 «'= 1.

Employons encore, pour résoudre cette équation, la méthode du n° 70; faisons D, = 12, D — [oi,n=± 35; mais, au lieu de la lettre 6, nous conserverons la lettre y, et nous changerons seulement z en y,, comme dans l'exemple précédent.

Soit : i° // =35; on fera le calcul suivant :

Comme n2=oel conséquemment < — et.< -5 on s'arrêtera ici cl

l'on aura la transformée

D,y\ — ïihytfi -f- Vtfl = 1, ou bien

152 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULER. laquelle, étant réduite à cette forme

ri — ■ 3r* = — »»

sera susceptible de la méthode du n° 71, 20; et, comme A= i3 est < 120, on pourra faire usage de la Table du n° 41.

Ainsi il n'y aura qu'à voir si, dans la série supérieure des nombres qui répondent à y/j3, il se trouve le. nombre 1 dans une place paire; car il faut, pour que l'équation précédente soit résoluble, que dans la série P„, P,, P2,... il se trouve un terme =— 1 ; mais on a P0 = r , — P, = 4> P2 = 3,...; donc, etc. Or, dans la série 1, 4» 3, 3, 4, ),-••, on trouve justement 1 à la sixième place, en sorte que P5 = — 1 ; donc on aura une solution de l'équation proposée, en prenant y3 = p5, et y? = qh, les nombres ps, </5 étant calculés d'après les formules du n° 25, en donnant à u., p,,, p.2)... les valeurs 3, 1, 1, 1, 1,6,... qui forment la série inférieure des nombres répondant à y/TS dans la même Table.

On aura donc

p» = i, CJo = o,

Pi = p> -f-/y=4« tfi =i»

pt = p» +/>i=; n, 04 = q, + q> = 3,

Pi=Pi-hp*= l8, 0S=Ç4 +^3=5.

Donc )';, — 18 et r2 = 5; donc

j, = j2 + j-3 = 23, ei j'=3j-, + r,= 74.

Nous avons supposé ci-dessus n — 35, mais on peut aussi prendre n = - 35.

Soit donc : 20 /z = — 35; on fera

/» = = —3, h, = — 35 + 3. 12 = 1, Da= — - — = — 1, y= — 3r,-i-r„

ANALYSE INDÉTERMINÉE. lo3

ainsi l'on aura les mêmes valeurs de D2, D3 et n2 qu'auparavant, de sorte que la transformée en y.2 et y3 sera aussi la même. On aura donc aussi y3 = 18, ety2 = 5; donc

Y\ = — r» + r* = 1 3> el y— — 3r> + r* = — 34-

Nous avons donc trouvé deux valeurs de y avec les valeurs correspondantes de y, ou z, et ces valeurs résultent de la supposition de n = ± 35; or, comme on ne peut trouver aucune autre valeur de n qui ait les conditions requises, il s'ensuit que les valeurs précédentes seront les seules valeurs primitives que l'on puisse avoir; mais on pourra ensuite en trouver une infinité de dérivées par la méthode du n° 72.

Prenant donc ces valeurs de y et z pour/) et q, on aura, en général (numéro cité),

ou

z = i3/ -f- (— 12.34 + 35. i3) uz= \3t + 47 "»

et il n'y aura plus qu'à tirer les valeurs de / et u de l'équation

P— i3mj = i.

Or ces valeurs se trouvent déjà toutes calculées dans la Table qui est à la fin du Chapitre VII du Traité précédent; on aura donc sur-le-champ / = 649 et u = 180; de sorte que, prenant ces valeurs pour T et U dans les formules du n° 75, on aura en général

f64q+i8os/T3)",-f-fG49-i8ov/T3)m