VII

où l'on pourra donner a m telle valeur qu'on voudra, pourvu qu'on ne prenne que des nombres entiers positifs.

Or, comme les valeurs de t et u peuvent être prises tant en plus qu'en moins, les valeurs de y qui peuvent satisfaire à la question seront toutes renfermées dans ces deux formules

les signes ambigus étant à volonté.

Si l'on fait m = o, on aura t == 1 et u = o; donc

r=±74, ou — ±34,

et cette dernière valeur sera la plus petite qui puisse résoudre le Problème.

Nous avons déjà résolu ce même Problème dans les Mémoires de Berlin pour l'année 1768, page a43 (*); mais, comme nous y avons fait usage d'une méthode un peu différente de la précédente, et qui revient au même pour le fond que la première méthode du n° 66 ci-dessus, nous avons cru devoir le redonner ici, pour que la comparaison des résultats, qui sont les mêmes par l'une et l'autre méthode, puisse leur servir de confirmation, s'il en est besoin.

Exemple III.

82. Soit proposé encore de trouver des nombres entiers qui, étant pris pour y, rendent rationnelle la quantité

On aura donc à résoudre en entiers l'équation

dans laquelle y sera premier à ior, puisque ce nombre ne renferme aucun facteur carré.

(*) Œuvres de Lagrange, t. II, p. 719.

Qu'on suppose donc

et il faudra que n'1 — 79 soit divisible par 101, en prenant n < - — < 5i ; on trouve n = 33, ce qui donne

Ainsi l'on pourra prendre n = ± 33, et ces valeurs seront les seules qui aient la condition requise.

Substituant donc =t33y— ioiz à la place de x, et divisant toute l'équation par 10 1, on aura cette transformée

10 y' zp66yz + 101 z'=i.

On fera donc D, = 10, D = 101, n = ± 33, et, prenant d'abord n en plus, on opérera comme dans l'Exemple précédent; on aura ainsi

m= — =3, h, = 33 — 3.io=:3, D,= - — -^=—7, rz=3r,+ r,. 10 10 ' J J J

Or, comme n, = 3 est déjà < — et < — » il ne sera pas nécessaire d'aller plus loin; ainsi l'on aura la transformée

— ir\ — Gr^ + 'or^1»

laquelle, étant multipliée par — 7, pourra se mettre sous cette forme

(7r, i 3 rj).79r»=:7;

Puisque donc 7 est <CV79» s' cette équation est résoluble, il faudra (jue le nombre 7 se trouve parmi les termes de la série supérieure des nombres qui répondent à y 79 dans la Table du n° 41, et même que ce nombre 7 y occupe une place paire, puisqu'il a le signe — . Mais la série dont il s'agit ne renferme que les nombres 1, i5, 2, qui reviennent toujours; donc on doit conclure sur-le-champ que la dernière équation n'est pas résoluble, et qu'ainsi la proposée ne l'est pas, au moins d'après la valeur de n = 33.

Il ne reste donc qu'à essayer l'autre valeur n = — 33, laquelle donnera

m = = — 3, n, = — 33 + 3. io = — 3, D2=- ^r= — n, r=— 3v,-f-r'a,

io iu

de sorte qu'on aura cette autre transformée, laquelle se réduit à la forme

qui est semblable à la précédente; d'où je conclus que l'équation proposée n'admet absolument aucune solution en nombres entiers.

Remarque.

83. Euler, dans un excellent Mémoire imprimé dans le tome IX des nouveaux Commentaires de Pètersbourg, trouve par induction cette règle, pour juger de la résolubilité de toute équation de la forme

lorsque B est un nombre premier; c'est que l'équation doit être possible toutes les fois que B sera de la forme ^An-hj-, ou 4 Arc + /•'- — A; mais l'Exemple précédent met cette règle en défaut; car ioi est un nombre premier de la forme 4 An -t- r2 — A, en faisant A = 79, n = — 4 etr= 38; cependant l'équation

n'admet aucune solution en nombres entiers.

Si la règle précédente était vraie, il s'ensuivrait que, si l'équation

x7 — Aj?=B

est possible lorsque B a une valeur quelconque b, elle le serait aussi en prenant B = l\An -+- b, pourvu que B fût un nombre premier. On pour-

rait limiter cette dernière règle, en exigeant que b fût aussi un nombre premier; mais avec cette limitation même elle se trouverait démentie par l'Exemple précédent, car on a 101 = l\ Xn -hb, en prenant A = 79, n = — 2 et b = 733. Or y33 est un nombre premier de la forme x2 — 79ty2, en faisant x = 38 etj=3; cependant 101 n'est pas delà même forme x- — 79J2.

§ VIII. — Remarques sur les équations de la forme p"~— Aq--\- 1 , et sur la manière ordinaire de les résoudre en nombres entiers.

84. La méthode du Chapitre VII du Traité précédent, pour résoudre les équations de cette espèce, est la même que celle que Wallis donne dans son Algèbre (Chapitre XCVIH), et qu'il attribue àmylord Brouncker; on la trouve aussi dans X Algèbre d'Ozanam, qui en fait honneur à Fermat. Quoi qu'il en soit de l'inventeur de cette méthode, il est au moins certain que Fermât est l'Auteur du Problème qui en fait l'objet; il l'avait proposé comme un défi à tous les géomètres anglais, ainsi qu'on le voit par le Commercium epistolicum de Wallis : c'est ce qui donna occasion à mylord Brouncker d'inventer la méthode dont nous parlons; mais il ne parait pas que cet Auteur ait connu toute l'importance du Problème qu'il avait résolu : on ne trouve même rien sur ce sujet dans les écrits qui nous sont restés de Fermât, ni dans aucun des Ouvrages du siècle passé où l'on traite de l'Analyse indéterminée. Il est bien naturel de croire que Fermât, qui s'était principalement occupé de la Théorie des nombres entiers, sur lesquels il nous a d'ailleurs laissé de très-beaux théorèmes, avait été conduit au Problème dont il s'agit par les recherches qu'il avait faites sur la résolution générale des équations de la forme

auxquelles se réduisent toutes les équations du second degré à deux inconnues; cependant ce n'est qu'a Euler que nous devons la remarque

que ce Problème est nécessaire pour trouver toutes les solutions possibles de ces sortes d'équations. ( Voirie Chapitre VI ci-dessus, le tome VI des anciens Commentaires de Pêtersbourg, et le tome IX des nouveaux.) La méthode que nous avons suivie pour démontrer cette proposition est un peu différente de celle d'Euler, mais aussi est-elle, si je ne me trompe, plusdirecteet plus générale; car, d'un côté, la méthode d'Euler conduit naturellement à des expressions fractionnaires lorsqu'il s'agit de les éviter, et de l'autre on ne voit pas clairement que les suppositions qu'on y fait pour faire disparaître les fractions soient les seules qui puissent avoir lieu. En effet, nous avons fait voir ailleurs qu'il ne suffit pas toujours de trouver une seule solution de l'équation

x*=Af>-+- R,

pour pouvoir en déduire toutes les autres à l'aide de l'équation

et qu'il peut y avoir souvent, au moins lorsque B n'est pas un nombre premier, des valeurs de x et y qui ne sauraient être renfermées dans les expressions générales d'Euler. [Voirie n° 45 de mon Mémoire sur les Problêmes indéterminés, dans les Mémoires de Berlin, année 1767 (*).] Quant à la méthode de résoudre les équations de la forme

il nous semble que celle du Chapitre VII, quelque ingénieuse qu'elle soit, est encore assez imparfaite; car : i° elle ne fait pas voir que toute équation de ce genre est toujours résoluble en nombres entiers, lorsque a est un nombre positif non carré ; i° il n'est pas démontré qu'elle doive faire parvenir toujours à la résolution cherchée. Wallis, il est vrai, a prétendu prouver la première de ces deux propositions; mais sa démonstration n'est, si j'ose le dire, qu'une simple pétition de principe. (Voirie Chapitre XCIX de son Algèbre.) Se crois donc être le premier qui en ait donné une tout à fait rigoureuse; elle se trouve dans les Mè-

(*) OEuvres de La grange, t. II, p. 457.

langes de Turin, tome IV (*); mais elle est très-longue et très-indirecte; celle du n° 37 ci-dessus est tirée des vrais principes de la chose, et ne laisse, ce me semble, rien a désirer. Cette méthode nous met aussi en état d'apprécier celle du Chapitre VII, et de reconnaître les inconvénients où l'on pourrait tomber si on la suivait sans aucune précaution; c'est ce que nous allons discuter.

85. De ce que nous avons démontré dans le § II, il s'ensuit que les valeurs de p et q qui satisfont à l'équation p2 — Aq- = i ne peuvent être que les termes de quelqu'une des fractions principales déduites de la fraction continue qui exprimerait la valeur de y/A; de sorte que, supposant cette fraction continue représentée ainsi

[ti

on aura nécessairement

/j.p étant un terme quelconque de la série infinie /x,, |xa,\.., dont le quantième p ne peut se déterminer qu'a posteriori.

Il faut remarquer que dans cette fraction continue les nombres p., tj.n u2,... doivent être tous positifs, quoique nous ayons vu dans le n° 3 qu'on peut, en général, dans les fractions continues, rendre les dénominateurs positifs ou négatifs, suivant que l'on prend les valeurs approchées plus petites ou plus grandes que les véritables; mais la méthode du Problème I (nos 23 et suivants) exige absolument que les valeurs approchées (j., ^,, jx2,... soient toutes prises en défaut.

(*) OE uvres de Ln grange, t. I, p. 671.

86. Maintenant, puisque la fraction ° est égale à une fraction continue dont les termes sont p., pt, p.2,..., ftp, il est clair, par len°4, que p. sera le quotient de p divisé par q, que /x, sera celui de q divisé par le reste, (x2 celui de ce reste divisé par le second reste, et ainsi de suite; de sorte que, nommant r, s, /,... les restes dont il s'agit, on aura, par la nature de la division,

p= [j.q -h r, q = p., r -h s, r=fJns-\-t, . . . ,

où le dernier reste sera nécessairement = o, et l'avant-dernier = i, à cause que p et q sont des nombres premiers entre eux. Ainsi p. sera la

valeur entière approchée de -■> p., celle de -■> /ju celle de -? etc., ces valeurs étant toutes prises moindres que les véritables, à l'exception de la dernière (xp, qui sera exactement égale à la fraction correspondante, à cause que le reste suivant est supposé nul.

Or, comme les nombres p., p.,, p.2,..., p.? sont les mêmes pour la fraction continue qui exprime la valeur de - » et pour celle qui exprime la

valeur de y A» on peut prendre, jusqu'au terme |xp, ° = \JA, c'est-à-dire /r— kq- = o. Ainsi on cherchera d'abord la valeur approchée en défaut de -i c'est-à-dire de \lA, et ce sera la valeur de a; ensuite on subq '

stituera dans p2 — Aq- = o, à la place de p, sa valeur [i.q -+- r, ce qui

donnera

(p.2 — A) q2 + 2p.<jfr+ i^= o,

et l'on cherchera de nouveau la valeur approchée en défaut de --, c'està-dire de la racine positive de l'équation

(p'-Aj^y + ^+^o;

et l'on aura la valeur de p.,.

On continuera à substituer dans la transformée

( p.2 — A) q- -+- i\i.qr+ r'=o,

ANALYSE INDETERMINEE. 161

à la place de q, /^f-f- s; on aura une équation dont la racine sera--, on

prendra la valeur approchée en défaut de cette racine, et l'on aura lavaleur de [).2. On substituera /x2r -+- s à la place de r, etc.

Supposons maintenant que t soit, par exemple, le dernier reste, qui doit être nul; s sera l'avant-dernier, qui doit être = i; donc, si la transformée en s et t de la formule/?2 — A</2 est

P«M- Qst + R/%

il faudra qu'en y faisant / = o et s = i elle devienne = i , pour que l'équation proposée/?2 — A q- = i ait lieu ; donc P devra être = i . Ainsi il n'y aura qu'à continuer les opérations et les transformations ci-dessus jusqu'à ce que l'on parvienne à une transformée où le coefficient du premier terme soit égal à l'unité; alors on fera dans cette formule la première des deux indéterminées, comme r, égale à i, et la seconde, comme s, égale à zéro, et en remontant on aura les valeurs convenables de p et q.

On pourrait aussi opérer sur l'équation même/)2 — Aq- = i, en ayant seulement soin de faire abstraction du terme tout connu i, et par conséquent aussi des autres termes tout connus qui peuvent résulter de

celui-ci, dans la détermination des valeurs approchées [j., //,, (x2,... de -i -> ->•••; dans ce cas on essayera, à chaque nouvelle transformation, si l'équation transformée peut subsister en y faisant l'une des deux indéterminées = i et l'autre =o; quand on sera parvenu à une pareille transformée, l'opération sera achevée, et il n'y aura plus qu'à revenir sur ses pas pour avoir les valeurs cherchées de p et de q.

Nous voilà donc conduits à la méthode du Chapitre VII. A examiner cette méthode en elle-même et indépendamment des principes d'où nous venons de la déduire, il doit paraître assez indifférent de prendre les valeurs approchées de (x, p.,, (X2,... plus petites ou plus grandes que les véritables, d'autant que, de quelque manière qu'on prenne ces valeurs, celles de r, s, t,... doivent aller également en diminuant jusqu'à zéro (n° 6).