r-hr\/6 ., ., a 2 -+- y

<7= > d ou - = >2et<T3.

Prenons de nouveau la limite en moins, et faisons q ==2r ■+■ s; la dernière équation deviendra

/ 2 — 4 rs — 2 52 = 1 ,

où l'on voit d'abord qu'on peut supposer s = o et r = 1 ; ainsi l'on aura ({=: i,p — 5.

Maintenant reprenons la première transformée

— 2<jr' + 4<7'' ■+- r' = t, où nous avons vu que ^ > 2 et < 3, et, au lieu de prendre la limite en

ANALYSE INDETERMINEE. 1C3

moins, prenons-la en plus, c'est-à-dire, supposons q = 3r -+- s, ou bien, puisque s doit être alors une quantité négative, q — 3r — s; on aura la

transformée suivante

— 5 r7 -f- 8 rs — is2 = i ,

laquelle donnera

donc, néçliçeant le terme constant 5,

4 s -\- s \Jb r 4 + v'6

/•=- — = » et - = ^— ■ t-î— > i et < 2.

Prenons de nouveau la limite en plus, et faisons r = is — i; on aura

— Gs'-h i2st — 5i2= i ;

donc

donc, rejetant le terme — 6,

'=--5— et -=, + ^>.et<2.

Qu'on continue a prendre les limites en plus, et qu'on fasse s=at—u, il viendra

— 5 V -4- 1 2 tu — 6«!r:i;

donc

Gu -+- v6a2 — 5 t= g- -,

donc

iet <2.

Faisons donc de même / — iu — x; on aura

— ?.«'4-8«x — 5^!=i; donc, etc.

Continuant de cette manière à prendre toujours les limites en plus,

16t ADDITIONS AUX ELEMENTS D'ALGÈBRE D'EULER. -

on ne trouvera jamais de transformée où le coefficient du premier terme soit égal à l'unité, comme il le faut, pour qu'on puisse trouver une solution de la proposée.

La même chose arrivera nécessairement toutes les fois qu'on prendra la première limite en moins et les suivantes toutes en plus; je pourrais en donner la raison a priori; mais, comme le lecteur peut la trouver aisément par les principes de notre Théorie, je ne m'y arrêterai pas. Quant à présent, il me suffit d'avoir montré la nécessité de traiter ces sortes de Problèmes d'une manière plus rigoureuse el plus profonde qu'on ne l'avait encore fait.

^ IX. — De la manière de trouver des Jonctions algébriques de tous les degrés, qui, étant multipliées ensemble, produisent toujours des fonctions semblables.

(Addition pour les Chapitres XI et XII.)

87. Je crois avoir eu, en même temps qu'Euler, l'idée de faire servir les facteurs irrationnels et même imaginaires des formules du second degré à trouver les conditions qui rendent ces formules égales à des carrés ou à des puissances quelconques; j'ai lu sur ce sujet à l'Académie, en 1768, un Mémoire qui n'a pas été imprimé, mais dont j'ai donné un précis à la fin de mes Recherches sur les Problèmes indéterminés, qui se trouvent dans le volume pour l'année 1767 (*), lequel a paru en 1769, avant même la traduction allemande de V Algèbre d'Euler.

J'ai fait voir, dans l'endroit que je viens de citer, comment on peut étendre la même méthode à des formules de degrés plus élevés que le second; et j'ai par ce moyen donné la solution de quelques équations dont il aurait peut-être été fort difficile de venir à bout par d'autres voies. Je vais maintenant généraliser encore davantage cette méthode,

(*) OEuvres de Lagrange, t. II, p. 377 et '655.

qui me paraît mériter particulièrement l'attention des géomètres par sa nouveauté et par sa singularité.

88. Soient a et /3 les deux racines de l'équation du second degré

s2— as + b = o, el considérons le produit de ces deux facteurs

{x + scy) (x + Py), qui sera nécessairement réel; ce produit sera

x2 + (a + (3) xy -+- a|3/J;

or on a « -+- (5 — a, et a/3 = 6, par la nature de l'équation*2 — as + 6 = o; donc on aura cette formule du second degré

x7 -+- axy + by2,

laquelle est composée des deux facteurs

x -+- a/- et x + fiy.

Maintenant il est visible que, si l'on a une formule semblable

x] -+- ax,y,+ by],

el qu'on veuille les multiplier l'une par l'autre, il suffira de multiplier ensemble les deux facteurs x -h a.y, sc,-hayn et les deux a ■ -t- j3y, 37 « "*" l^J" ensuite les deux produits l'un par l'autre. Or le produit de x -+- y.y par or, +■ a/, est

xx, + et (a?yi -+- yx, ) -+- ac2J7*i : mais, puisque a est une des racines de l'équation

s2 — as -+- 6 = o,

on aura

«'— act + ô = o; rlonr y?—ax— b;

10G ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGEBKE D'EULEH.

donc, substituant cette valeur de a2 dans la formule précédente, elle

deviendra

xx \ — byy, + z [xy, 4- yxy 4- ayy, } ,

de sorte qu'en faisant, pour plus de simplicité,

X = xx t — byy,,

Y — xyi + yxl + ayyt,

le produit des deux facteurs x 4- uy, x{ 4- ay, sera

X + aY,

et par conséquent de la même forme que chacun d'eux. On trouvera

de même que le produit des deux autres facteurs x 4- j3j et x, 4- /S v,

sera

de sorte que le produit total sera

(X +«Y) (X + (3Y), savoir X'4-aXY + 6Y2. C'est le produit des deux formules semblables

x2 4- ax y -+- 6 y2, 3^4- a*, 7,4-67?.

Si l'on voulait avoir le produit de ces trois formules semblables

x1 -+- ax y -f- by"1, x]-\- axty< 4- by', x\-h ax,yi 4- by;,

il n'y aurait qu'à trouver celui de la formule

X2+aXY + 6Y2

par la dernière x\ -\-ax.2y2-h by\, et il est visible par les formules cidessus qu'en faisant

Y,= Xj2 + Y^4-aYrï,

le produit cherché serait

X' + aX,Y,-+-6Y2.

On pourra trouver de même le produit de quatre ou d'un plus grand nombre de formules semblables à celle-ci

x'1 + axy -+- bf,

et ces produits seront toujours aussi de la même l'orme.