X2+«XY + 6Y

devienne un carré, il n'y aura qu'à donner à X et à Y les valeurs précédentes, et l'on aura pour la racine du carré la formule

x2 -+- axy -+- by2,

x et y étant deux indéterminées.

Si l'on fait de plus x2 — x{ = x, ety2 — y, =y, on aura

X, — Xx-bYy, Y, = Xy+Yx + aYy,

c'est-à-dire, en substituant les valeurs précédentes de X et Y,

Xi — x* — 3 b x/2 — aby*,

Y,= 3x'y + $axy"- + [a1— b)y*;

donc

x* + axy -t- by* ■= X? -f aXtYt + bY].

Ainsi, si l'on proposait de trouver des valeurs rationnelles de X, et Y,, telles que la formule

XJ +aX,Y,+ 6Y;-

devînt un cube, il n'y aurait qu'à donner à X, et Y, les valeurs précédentes, moyennant quoi on aurait un cube dont la racine serait

x2 -+- a xy -+- h r2,

x ely étant deux indéterminées.

On pourrait résoudre d'une manière semblable les questions où il s'agirait de produire des puissances quatrièmes, cinquièmes,...; mais on peut aussi trouver immédiatement des formules générales pour une puissance quelconque m, sans passer par les puissances inférieures.

Soit donc proposé de trouver des valeurs rationnelles de X et Y, telles

que la formule

X2+«XY+ bY2

devienne une puissance m, c'est-à-dire qu'il s'agisse de résoudre l'équation

X2+rtXY-+- b\2=Z'\

Comme la quantité X2 + aXY + &Y2 est formée du produit des deux facteurs X ■+- a Y etX -+- |3Y, il faudra, pour que cette quantité devienne une puissance de degré m, que chacun de ses deux facteurs devienne aussi une semblable puissance.

Faisons donc d'abord

X+a;Y = (x+ ocy)m,

et, développant cette puissance par le théorème de Newton, on aura

x'" -+- m x'"-' va -+- - — xm-2r2oc2 H ■ r x V a +

Or, puisque a est une des racines de l'équation

s2 — as -4- b = o,

ANALYSE INDETERMINEE. 169

on aura aussi

a? — aa + b = o,

donc

<?} — a a. — b, a3 = a a?— bx = («2 — b) a — ab, a*= (aJ— b) a2—aboc = [a?—iab) a — cûb -\-b\

et ainsi de suite. Ainsi il n'y aura qu'à substituer ces valeurs dans la formule précédente, et elle se trouvera par là composée de deux parties, l'une toute rationnelle, qu'on comparera à X, et l'autre toute multipliée par la racine a, qu'on comparera à aY. Si l'on fait, pour plus de simplicité,

Ai=aA2 — 6A,, B3=flB2 — bîi,,

At = aA3 — bA7, B4 = aB3— bB2,

Aï,= aAi — bA3, B^r^aB, — bB3,

on aura

a = A, a — B,, a2 = A2a — Bit a3 = A3a — B„ «*=\,a— B4,

Donc, substituant ces valeurs cl comparant, on aura . „ m {m — 1) . mi m — \)[m — ■?.) „

Y = mx^-'yAi -\ — ■ xm-iy*Ai H [- ^ ■ xM-*yiAi -+-

Or, comme la racine a. n'entre point dans les expressions de X et Y,

il est clair qu'ayant

X+aY=(ar + a.y)m,

on aura aussi