VII. M

170 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULER. donc, multipliant ces deux équations l'une par l'autre, on aura

X'+ «XY -4- iY2 = [x7 -4- axy + by ')"»,

et par conséquent

Z = x2-h axy -4- by.

Ainsi le Problème est résolu.

Si a était = o, les formules précédentes deviendraient beaucoup plus simples; car on aurait

A,= i, A2 = o, A3=— b, A, = o, A5=&2, A0=o, A, = — b3, ..., et de même

B,= o, B2=b, B3=o, B4 = — b', Bi=o, B0=b3, ...; donc

X = x'n ! '- xm~2 r2 b H ! ' y „ , M .r'" ' ; b* — . . . ,

.- m (m — i)fw — 2) , m[m — i)[m — 2] (m — 3) (m — 4) 1

\ =r m ar—yn s ^ f ^c™-3; 3 b H ! - -TT-F ■*"'" J 6 • • • '

et ces valeurs satisferont à l'équation

X2+ />Y2 = (,r2-f- fy2)"1.

90. Passons maintenant aux formules de trois dimensions; pour cela nous désignerons par a, {3, 7 les trois racines de l'équation du troisième

degré,

s3 — as* -t- bs — c = o,

et nous considérerons ensuite le produit de ces trois facteurs

(x -+- xy -4- a?z) [x -4- fiy -+- (32z) [x -4- y y -+- y2^),

lequel sera nécessairement rationnel, comme on va le voir. La multiplication faite, on aura le produit suivant :

+ («-'(3 + a2y + (32a + (32y 4-y2a + y2|3)^jz + (a2[32-i- *2y2 + P'y'j .rs2

-4- a;3yj3 + (a2(3y + (32ay +y'a(3)j2z + (a2(32y + a2y"[3 + |32y2a)j,z2H-:z2;3:72z3;

or, par la nature de l'équation, on a

a -4- (3 -f- y = a, aj3 4- ay -4- |3y = b, aS>y = c ;

de plus, on trouvera

a2 (3 4- a2 y 4- (32 a -4- [32 y -4- y2 a 4-y2 13 = (a -+- [3 4- y) (a(3 -4- ay -4- (3y) — 3 a(3y = «6 — 3 c,

a2(32 + a2y2-4- (32y2 = (a(3 4- ay 4- (3y)2 — 2 (a 4- [3 -4- y) a(3y = b2—iac,

a'(3y + (32ay 4- y2a(3 = (a -4- (3 4- y) a(3y = ac,

a'(32y 4- a2y2[3 4- (3sy2a = (a(3 4- a y -4- (3y) a(3y = 6c;

donc, faisant ces substitutions, le produit dont il s'agit sera

x} 4- ax2y -4- [a2 — 2 6) x2z 4- 6.rj2 -4- («6 — 3 c) aryvs 4- [b2 — ->.ac xz1 4- cj-3-\- acy,z -+- bcyz2 -4- c2z\

Et cette formule aura la propriété que, si l'on multiplie ensemble autant de semblables formules que l'on voudra, le produit sera toujours aussi une formule semblable.

En effet, supposons qu'on demande le produit de cette formule-là par cette autre-ci

x\ 4- ax\yl 4- [a2— ib) x\ z, 4- bx,y] -4- [ab — 3c) xy\ z, 4- [b2 — iac) Xx z] 4- Gjr\ 4- acy\ z, 4- bcy,z] 4- C z] ;

il est clair qu'il n'y aura qu'à chercher celui de ces six facteurs

x 4- ay 4- a2z, x 4- $y 4- j32z, x + yy + y2z, x,-\- ar,-h x2z,, x,-\- [3jr,-4- (32z,, .r,4- y/.4- y2z,;

qu'on multiplie d'abord a? 4- a/ 4- c/.2z par.r, 4- cxy, 4- a330 on aura ce produit partiel

xx, 4- a (xj, 4- yx, ) -4- a2 [xz, -4- z.r, 4- J/. ) 4- a3 (jz, 4- zj, ) ■+- oc'zz,;

or, a étant une des racines de l'équation

53 — rt$2 4- hs — c --. o,

172 ADDITIONS AUX ÉLÉMENTS D'ALGÈBRE D'EULER. on aura

st'-fla'+b-crro, par conséquent a3 = aa:-6a + c;

donc

cx' = aa3 — ba2-\- cx = (a' — b)a? — (ab — c)a-+- ac;

de sorte qu'en substituant ces valeurs et faisant, pour abréger,