X.=xx,-t- c (yz, -+- zy,) -+- aczz

Y = xy, -+-yx,— b(yz,-h zy) — (ab — c) zz„

Z = xz, -+- zx, + yy, -+- a(yz,-\- zy,) -+- (a' — b)zz,,

le produit dont il s'agit deviendra de cette forme

c'est-à-dire de la même forme que chacun des produisants. Or, comme la racine a n'entre point dans les valeurs de X, Y, Z, il est clair que ces quantités seront les mêmes en changeant a en |3 ou en 7; donc, puisque l'on a déjà

(x + ay-h x2z) (x, H- ay, + ot?z,) = X -+- a Y + x7Z,

on aura aussi, en changeant « en ]3,

et, en changeant a en 7,

(.r + yj+ y'z) (jc, + yy, + y2z,) =X -4- y Y -f- y2Z;

donc, multipliant ces trois équations ensemble, on aura d'un côté le produit des deux formules proposées, et de l'autre la formule

X'+aX'Y + (a2- 26) X2Z + 6XY'+ [ab— 3c) XYZ

-I- (b2 — 2«c)XZ2+6'Y3+acY2Z+ 6cYZ2+c2Z3,

qui sera donc égale au produit demandé, et qui est, comme l'on voit, de la même forme que chacune des deux formules dont elle est composée.

Si l'on avait une troisième formule telle que celle-ci

x\ + ax\ j2+ («2— 26) x\z2 + bx,yl + {ab — 3c) x2y\zt -+- (6J— 2ac) ^TjZj -4- c/3 -+- acylZi-h bcy\z\ ■+- c2z\,

et qu'on voulût avoir le produit de cette formule et des deux précédentes, il est clair qu'il n'y aurait qu'à faire

X,= Xxi + c (Yzj-4-Zjv) + acZz2,

Yt= Xj2+ Yx2 — b [Yz2-hZy\) — [ab — c) Zzlt

Z, = X2!+Z^+ Yy2-ha{Yz,+ Zy2) + {a2— b)Zz„

et l'on aurait pour le produit cherché

XïH-aXîY.+ (a*— 2Ô)XÎZ, + 6X,Yî + (a6 — 3c)X,Y,Z, + {b2- iac) X.ZÏ + cY3 + acYîZ, + ôcY.ZJ + cJZ^.