Faisons maintenante, — x, y, = y, z, = z; nous aurons

X = X* + 1 cyz + acz2,

Y= ixy — ibyz — [ab — c)z\

Z = 7.xz -\-y2 -+- aa/z -f- (a' — b)z2,

et ces valeurs satisferont à l'équation

X3-4- «X2Y + bXY2 + cY3-4- (a2- 26) X'Z

+ ab — 3c) XYZ + acY'Z + [b2 — 20c) XZ2 -+- £c YZ' 4- c'Z3 = V2,

en prenant

V = x3 -h ax2y-+- bxy2-h cy*+ (a2 — 26) x'z

-+- (a6 — 3c) x/z -+- acy2z -+- [b1— 20c) xz1 ■+- f>c/23 + c'z3 ;

donc, si l'on avait, par exemple, à résoudre une équation de cette

forme,

X3 + aX2Y + 6XY' + eY»= Y2,

a, h, c étant des quantités quelconques données, il n'y aurait qu'à

rendre Z = o, en faisant

ixz + y2 -f- layz -4- [a2 — b)z- = o,

d'où l'on lire

y2 + 2 a yz -4- [a2 — b) z2

et, substituant cette valeur de x dans les expressions précédentes de X, Y et V, on aura des valeurs très-générales de ces quantités, qui satisferont l'équation proposée.

Cette solution mérite d'être bien remarquée à cause de sa généralité et de la manière dont nous y sommes parvenus, qui est peut-être l'unique qui puisse y conduire facilement.

On aurait de même la résolution de l'équation

X? + «X; Y, -f- (a2 - 2 6) X2 Z, + b X, Y^ -+- [ab — 3c) X,Y,Z,

-4- [b'— lac] X,Z2 -4-cY3 + acY\Zx + bcY,Z] + c2l] = Y\

en faisant, dans les formules ci-dessus,

et prenant

\ — x3+ ax2y -+- (a2 — 2b) x2z -+- bxy2 -f- [ab — 3c) xyz -f- [b2— lac) xz2+ cy*-h acy2z -+- bcyz2+ c2 z3.

Et l'on pourrait résoudre aussi successivement les cas où, au lieu de la troisième puissance V3, on aurait V', V5,... ; mais nous allons traiter ces questions d'une manière tout à fait générale, comme nous l'avons fait dans le n° 90 ci-dessus.

92. Soit donc proposé de résoudre une équation de cette forme

X' + aX2Y -4- [a2- 26) X'Z -4- b XY2 + (ab — 3c) XYZ

-4- [b2— 2ac)XZ'+cY3 + rtcY2Z + ècYZ'-4- c2Z3 = Ym.

Puisque la quantité qui forme le premier membre de cette équation n'est autre chose que le produit de ces trois facteurs

(X + «Y4-a!Z)(X + pY4-(31Z)(X4-yY4-y1Z),

il est clair que, pour rendre cette quantité égale à une puissance du degré m, il ne faudra que rendre chacun de ses facteurs en particulier égal à une pareille puissance. Soit donc

X + aY+a2Z= [x -+- txy -+- cûz)'";

on commencera par développer la puissance m de x -+- ay ■+- a2 z par le théorème de Newton, ce qui donnera

xm -+- m-r™-' ( y -+- <xz) a H x'"-'x [y -I- a z)'a2

-\ ^ '-xm-3{y -+- az)3a3 + . . .,

ou bien, en formant les différentes puissances de j -1- az, et ordonnant ensuite par rapport aux dimensions de a,

[m im — 1) 1

mxm-ïz H ■ ■ x'"-2y2 a?

[m {m — i)(ro — 2! "1

m [m— 1 ) xm- *yz -\ ! ^ — — xm-3 y3 \x3 ■+- . .

Mais, comme dans cette formule on ne voit pas aisément la loi des termes, nous supposerons, en général,

[x-h ocy-h a*z)'"= P -f-P,a+ P,aM- P3a3-h P«xs + . . . ,

et l'on trouvera

P = xm,

myV

ni — 1) y P, -t- imz P P2 — '■ -,

[m — 2)rP2-f-.(2/n — i)«P(

m — 3) y P3 -4- (2 m — 2) z Pa

c'est ce quî se démontre facilement par le Calcul différentiel.

Maintenant on aura, à cause que a est une des racines de l'équation

s3 — «s2 -+- bs — c = o, on aura, dis-je,

ctJ-fla'+i«-c = o, d'où a?=act? — Ak + c;

donc

oc* = aa3 — ba 2 + cx = (rt2 — b) a? — [ab — c) a. -+- ac,

ab = (a2 — b) a3 — [ab — c) ce2 -hacee

= (a3 — 2 ab + c) cû — (a2 b — b2 — ac) a -+- («2 — b) c,

et ainsi de suite.

De sorte que, si l'on fait, pour plus de simplicité,

A4 = «A3 — 6A2+cA,,

As = a At — &A3-+- cAs,

A6=aA5 — 6A4+ cA3,

B4 = «B3— 6B2 + cB,, Bi^aB, — 6B3+cB3, Btl=aB5— 6B4 + cB3,

C,= o, C2=o, C9 = <?d Ct = aC3—bd+cGi,

d= ad— bC3-hcC„ Ce — aC^—bCi-h cC3,

on aura

Substituant donc ces valeurs dans l'expression de

(x + aj'+ a- z)'",

elle se trouvera composée de trois parties, l'une toute rationnelle, l'autre toute multipliée par a, et la troisième toute multipliée par a2; ainsi il n'y aura qu'à comparer la première à X, la deuxième à «Y, et la troisième à a2Z, et l'on aura par ce moyen

Z r=P1Al-+-P2A2+P3A3+P4A4+....

Ces valeurs satisferont donc à l'équation

et, comme la racine a n'entre point en particulier dans les expressions de X, Y et Z, il est clair qu'on pourra changer a en j3, ou en y, de sorte qu'on aura également

X ■+- (3 Y ■+■ |32Z = [x + (3j -4- (322)'", X + yY + -/'Z = (x + y y -+- y*z)m.

Or, multipliant ensemble ces trois équations, il est visible que le premier membre sera le même que celui de l'équation proposée, et que le second sera égal a une puissance m, dont la racine étant nommée V,

on aura

V = x3 -+- ax*y -+- [à1 — ■?. h) x7 z -4- bxy2 ■+■ (ab — 3 c) xyz

■+■ (b: — lao) xz2-±- cy* -+- acy*z ■+- beyz*-*- e'z\