VII

178 ADDITIONS AUX ELEMENTS D'ALGEBRE D'EULEK.

Ainsi on aura les valeurs demandées de X, Y, Z et V, lesquelles renfermeront trois indéterminées x, y, z.

93. Si l'on voulait trouver des formules de quatre dimensions qui eussent les mêmes propriétés que celles que nous venons d'examiner, il faudrait considérer le produit de quatre facteurs de cette forme,

x -+- acy -4- a2z -+- a3 1,

x + (3j-4-(32z + Çj3t,

en supposant que a, |3, y, ô fussent les racines d'une équation du quatrième degré, telle que celle-ci

on aura ainsi

s4 — as3 -f- bs2 — es + cl = o ;

x-±- fi + y + o = a, txfi -4- zy + aâ -4- (3y -4- j3ô + yô = />, a[3y + aSô -4- ayo 4- |3yô= c, a(3yo == rf,

moyennant quoi on pourra déterminer tous les coefficients des différents termes du produit dont il s'agit, sans connaître les racines u, |3, y, ô en particulier; mais, comme il faudra faire pour cela différentes réductions qui peuvent ne pas se présenter facilement, on pourra s'y prendre, si on le juge plus commode, de la manière que voici. Qu'on suppose, en général,

et, comme s est déterminé par l'équation

s'' — as3 -4- bs2 — es -4- d = o,

qu'on cliasse s de ces deux équations par les règles connues, et l'équa-

lion résultante de l'évanouissement de s, étant ordonnée par rapport à l'inconnue p, montera au quatrième degré, de sorte qu'elle pourra se mettre sous cette forme

P* — Np3 + Pp2 — Qp + R= o.

Or cette équation en p ne monte au quatrième degré que parce que s peut avoir les quatre valeurs a, |3, y, d, et qu'ainsi p peut avoir aussi ces quatre valeurs correspondantes

x -4- ay -+- a? z + a? t , x-h (3/ -4- (32z -4- (33/, x -4- y/1 -4- y5 z -4- v3 /, x -4- ô j -+- ô2 z + d3 1,

lesquelles ne sont autre chose que les facteurs dont il s'agit d'avoir le produit; donc, puisque le dernier terme R doit être le produit de toutes les quatre racines ou valeurs de p, il s'ensuit que cette quantité R sera le produit demandé.

Mais en voilà assez sur ce sujet, que nous pourrons peut-être reprendre dans une autre occasion.

Je terminerai ici ces Additions, que les bornes que je me suis prescrites ne me permettent pas d'étendre plus loin; peut-être même les trouvera-t-on déjà trop longues; mais les objets que j'y ai traités étant d'un genre assez nouveau et peu connu, j'ai cru devoir entrer dans plusieurs détails nécessaires pour se mettre bien au fait des méthodes que j'ai exposées, et de leurs différents usages.