DONNÉES A L'ÉCOLE NORMALE EN

[Journal de V École Polytechnique, VIIe et VIIIe Cahiers, t. IL 1810. (* ).]

LEÇON PREMIERE sir l'arithmétique, ou l'on traite des fractions et des logarithmes.

L'Arithmétique a deux parties : l'une est fondée sur le système décimal et sur la manière de placer les chiffres, pour leur faire exprimer les différents nombres; cette partie est celle qui contient les quatre opérations ordinaires, l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. Ces opérations, comme vous l'avez vu, seraient différentes, si l'on avait adopté un autre système; cependant il ne serait pas diflieile de les traduire les unes dans les autres, si l'on voulait changer de système.

L'autre partie est indépendante du système de numération; elle est fondée sur la considération des quantités et sur les propriétés générales des nombres. La théorie des fractions, celle des puissances et des racines, la théorie des proportions, celle des progressions arithmétiques et géométriques, et enfin la théorie des logarithmes, appartiennent ;i celte partie. Je vais faire ici quelques observations sur les différentes branches de cette partie de l'Arithmétique.

(*) Les Leçons ont paru d'abord dans les deux éditions des Séances des Écoles normales, an III (1794-1795). Dix-sept ans plus tard, sur l'avis de Lagrange, on a réimprimé res Leçons dans le Journal de l'Ecole Polytechnique (181 - « Note de l'Éditeur. »

184 LEÇONS ELEMENTAIRES

On peut la regarder comme l'Arithmétique universelle, qui lient de près à l'Algèbre; car si, au lieu de fixer les quantités que l'on considère, au lieu de les déterminer en nombres, on veut les considérer d'une manière générale, en les désignant par des lettres, on a l'Algèbre. Vous avez déjà vu ce que c'est qu'une fraction; l'idée des fractions est un peu plus composée que celle des nombres entiers; dans les nombres entiers, on ne considère qu'une quantité répétée : pour avoir l'idée d'une fraction, il faut considérer la quantité même, divisée en un certain nombre de parties; les fractions représentent en général des rapports, et servent à exprimer les différentes quantités les unes par les autres; en général, tout ce qui se mesure ne peut être mesuré que par des fractions, a moins que la mesure ne soit contenue un nombre entier de fois dans la chose mesurée.

Vous avez vu comment une fraction peut être réduite à sa moindre expression.

Lorsque le numérateur et le dénominateur peuvent être divisés par un même nombre, on peut trouver ce plus grand commun diviseur par une méthode très-ingénieuse, et qui nous vient d'Euclide : cette méthode est très-simple et très-analytique, mais on peut la rendre encore plus sensible par la considération suivante. Supposez, par exemple, que vous ayez une longueur donnée, et que vous vouliez la mesurer; vous avez donc une mesure donnée, et vous voulez savoir combien de mesures sont contenues dans cette longueur; d'abord vous portez la mesure autant de fois que vous le pouvez sur la longueur donnée, et cela vous donne un nombre entier de mesures; s'il n'y a pas de reste, l'opération est terminée; mais s'il y a un reste, il faut encore évaluer le reste; si la mesure est divisée en parties égales, par exemple en dix ou douze, etc., il est naturel de porter ce reste sur les différentes parties, et de voir combien il y a de ces parties qui sont comprises dans le reste; alors vous avez, pour évaluer le reste, une fraction dont le numérateur est le nombre des parties contenues dans ce reste, et le dénominateur est le nombre total des parties dans lesquelles la mesure est divisée. Je suppose maintenant que votre mesure ne soit pas divisée, et que vous

vouliez néanmoins savoir quel est le rapport de la longueur proposée à la longueur que vous avez prise pour mesure; voici l'opération qui se présente le plus naturellement. Si vous avez un reste, comme il est moindre que la mesure, il est naturel que vous cherchiez combien de fois il y sera compris. Supposons deux fois, et qu'il y ait encore un reste; reportez ce reste au reste précédent : comme il est nécessairement plus petit, il s'y trouvera encore contenu un certain nombre de fois, comme trois fois, et il y aura un reste ou non, et ainsi de suite. Ayant tous ces différents restes, vous avez ce qu'on appelle une fraction continue; par exemple, vous avez trouvé que la mesure était contenue trois fois dans la longueur proposée; vous avez d'abord le nombre trois; ensuite vous avez trouvé que le premier reste est contenu deux fois dans la mesure, vous aurez la fraction un divisé par deux; mais ce dénominateur n'est pas complet, parce qu'il faudrait qu'il n'y eût pas de reste; s'il y en a un, cela donne encore une autre fraction semblable à ajouter à ce dénominateur, laquelle sera un divisé par trois, parce que nous avons supposé que ce reste était contenu trois fois dans le reste précédent, et ainsi de suite. Vous aurez ainsi la fraction

(le signe H-, usité dans l'Algèbre, signifie /?/us, et indique une addition à faire) pour exprimer le rapport entre la longueur et celle que vous avez prise pour mesure. Les fractions de cette forme s'appellent fractions continues, et peuvent être réduites en fractions ordinaires par les règles que vous connaissez. En effet, si l'on s'arrête d'abord à la première fraction, ce qui revient à ne tenir compte que du premier reste et à négliger le suivant, on a 3 + { qui se réduit à ■£. Pour avoir égard au premier et au second reste seulement, on s'arrêtera à la seconde frac-

tion, et l'on aura 3 h : or 2 + \ = f ; donc on aura 3 -h ->