VII

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savoir %£-, et ainsi de suite. Si dans l'opération on parvient à un reste qui mesure exactement le reste précédent, elle est terminée; et l'on aura, par le moyen de la fraction continue, une fraction ordinaire qui sera la valeur exacte de la longueur mesurée, exprimée par celle qui a servi de mesure. Si l'opération ne se termine pas ainsi, elle pourra aller à l'infini, et l'on n'aura que des fractions qui approcheront de plus en plus de la vraie valeur.

Si maintenant on rapproche ce procédé de celui qu'on suit lorsqu'on cherche le plus grand commun diviseur de deux nombres, on verra que c'est la même chose; mais, dans la recherche du plus grand commun diviseur, on ne fait attention qu'aux différents restes, dont le dernier est ce même diviseur; au lieu qu'en employant les quotients successifs, comme nous l'avons fait plus haut, on obtient des fractions qui approchent toujours de plus en plus de la fraction formée par les deux nombres donnés, et dont la dernière est cette même fraction déjà réduite à ses moindres termes.

Comme cette théorie des fractions continues est peu connue, et qu'elle est néanmoins d'une grande utilité pour résoudre des questions numériques importantes, je vais m'étendre encore un peu sur la formation et les propriétés de ces fractions. Et d'abord supposons que les quotients trouvés, soit par l'opération mécanique, soit par celle du plus grand commun diviseur, soient comme ci-dessus 3, 2, 3, 5, 7,3; voici comment on peut, sans passer par la fraction continue, trouver tout de suite les différentes fractions qui en résultent.

Le premier quotient, étant supposé divisé par l'unité, donnera la première fraction, qui sera trop petite, savoir f. Ensuite, multipliant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le second quotient et ajoutant l'unité au numérateur, on aura la seconde fraction, qui sera trop grande, et qui sera \. Multipliant de même le numérateur et le dénominateur de celle-ci par le troisième quotient, et ajoutant ensuite au numérateur celui de la fraction précédente, et au dénominateur celui de la fraction précédente, on aura la troisième fraction, qui sera trop petite; ainsi, le troisième quotient étant 3, on dira 7 par 3

donne 21, et 3 font 24, et de même, 2 par 3 donne 6, et 1 font 7; donc ?Y sera la fraction cherchée. On suivra le même procédé, et, puisque le quatrième quotient est 5, on dira o.[\ par 5 fait 120, et 7, numérateur de là fraction précédente f, font 127; de même, 7 par 5 fait 35, et 2 font 37; donc la nouvelle fraction sera -— -, et ainsi de suite.

De cette manière, en employant les six quotients 3, 2, 3, 5, 7, 3, on aura les six fractions

dont la dernière, en supposant l'opération terminée par le sixième quotient 3, sera la valeur cherchée de la longueur mesurée, ou bien sera la fraction même réduite à ses moindres termes.

Les fractions qui précèdent sont alternativement plus petites et plus grandes que cette valeur, et ont l'avantage d'en approcher de plus en plus, et de manière qu'aucune autre fraction ne pourrait en approcher autant, à moins d'avoir pour dénominateur un nombre plus grand que le produit du dénominateur de la fraction dont il s'agit, et de celui de la suivante. Par exemple, la fraction ~ est plus petite que la vraie valeur qui est celle de la dernière fraction ^^; mais elle en approche plus que ne pourrait faire toute autre fraction, dont le dénominateur ne surpasserait pas le produit de 7 par 37, c'est-à-dire le nombre 259; ce qui donne le moyen de réduire une fraction donnée, exprimée par de grands nombres, à des fractions exprimées en moindres nombres, et aussi approchées qu'il est possible.

La démonstration de ces propriétés se déduit de la nature de la fraction continue, et de ce que, si l'on cherche la différence d'une fraction à sa voisine, on trouve une fraction dont le numérateur est toujours l'unité, et le dénominateur est le produit des deux dénominateurs; ce qui peut aussi se démontrer a priori par la loi de la formation de ces fractions. Ainsi la différence de | à f est -!,, par excès; celle de %£■ à \ est -Jj, par défaut; celle de ^~ a ~ est ~> Par excès, et ainsi de suite; de sorte qu'en employant cette suite de différences, on peut encore ex-

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primer d'une manière fort simple les fractions dont il s'agit, par une suite d'autres fractions, dont les numérateurs soient tous l'unité, et les dénominateurs soient successivement les produits de deux dénominateurs voisins. Ainsi, si, pour plus de simplicité, on fait usage clés signes 4-, — , x, qui signifient plus, moins, multiplié par, et indiquent une addition, ou soustraction, ou multiplication à faire, on aura, au lieu des fractions ci-dessus, la série

i iX2 2X7 7x37 37 x 266 266 x 835

Le premier terme est, comme l'on voit, la première fraction, le premier et le second ensemble donneront la seconde fraction f , le premier, le second et le troisième donnent la troisième fraction ^-, et ainsi de suite; de sorte que toute la série sera équivalente à la dernière fraction.

Il y a encore une autre manière moins connue, mais à quelques égards plus simple, de traiter les mêmes questions, et qui conduit directement à une série semblable à la précédente. En reprenant l'exemple ci-dessus, après avoir trouvé que la mesure entre trois fois dans la longueur mesurée, avec un nouveau reste, au lieu de rapporter ce second reste au précédent, comme on en a usé plus haut, on peut le rapporter de nouveau a la mesure même. Ainsi, supposant qu'il y entre sept fois avec un reste, on rapportera encore ce reste à la même mesure, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on parvienne, s'il est possible, à un reste qui soit une partie aliquote de la mesure, ce qui terminera l'opération; autrement elle pourra aller à l'infini, si la longueur mesurée et la mesure sont incommensurables. On aura alors, pour l'expression de la longueur mesurée, la série

Il est clair que ce procédé peut s'appliquer de même à une fraction ordinaire, en retenant toujours le dénominateur de la fraction pour dividende, et prenant successivement les différents restes pour divi-

seurs. Ainsi la fraction ^~ donnera les quotients 3, i, 7, 18, 19, 46, 1 19, 4>7> 835; et de là, on aura la suite

et, comme ces fractions partielles décroissent rapidement, on aura, en les réunissant successivement, les fractions simples

qui approcheront toujours de plus en plus de la vraie valeur cherchée, et l'erreur sera moindre que la première des fractions partielles négligées. Au reste, ce que nous venons de dire sur ces différentes manières d'évaluer les fractions n'empêche pas que l'usage des fractions décimales ne soit presque toujours préférable pour avoir des valeurs aussi exactes que l'on veut; mais il y a des cas où il importe que ces valeurs soient exprimées avec le moins de chiffres qu'il est possible. Par exemple, s'il s'agissait de construire un planétaire, comme les révolutions des planètes sont entre elles dans des rapports exprimés par de très-grands nombres, il faudrait, pour ne pas trop multiplier les dents des roues et des pignons, se contenter de moindres nombres, et en même temps faire en sorte que les rapports de ces nombres approchassent le plus des rapports donnés. Aussi est-ce cette question même qui a donné à Huyghcns l'idée de chercher à la résoudre par le moyen des fractions continues, et qui a fait naître la théorie de ces sortes de fractions. Ensuite, en approfondissant cette théorie, on l'a reconnue propre à fournir la solution d'autres questions importantes : c'est pourquoi, comme elle ne se trouve guère dans les livres élémentaires, j'ai cru devoir en exposer les principes avec un peu de détails.

Passons maintenant à la théorie des puissances, des proportions et des progressions.

Vous avez déjà vu comment un nombre, multiplié par lui-même, donne le carré, et, multiplié encore de même, donne le cube, et ainsi

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de suite. En Géométrie, on ne va pas au delà du cube, parce qu'aucun corps ne peut avoir plus de trois dimensions; mais en Algèbre et en Arithmétique, on peut aller aussi loin que l'on veut; de là est née la théorie de l'extraction des racines; car, quoique tout nombre puisse être élevé au carré, au cube, etc., il n'est pas vrai réciproquement que ce nombre puisse être un carré ou un cube exact. Le nombre i, par exemple, n'est pas carré, parce que le carré d'un est un, le carré de deux est quatre; n'y ayant pas d'autres nombres entiers intermédiaires, un ne peut pas trouver un nombre qui, multiplié par lui-même, produise 2; vous ne le pouvez pas même en fractions; car, prenons une traction réduite à ses moindres termes, le carré de cette fraction sera encore une fraction réduite aux moindres termes, et par conséquent ne pourra être égal au nombre entier 2. Mais, si l'on ne peut pas avoir la racine exacte de deux, on peut l'avoir approchée autant qu'on veut, surtout par les fractions décimales. Cela peut aller à l'infini, et vous pouvez approcher des vraies racines à tel degré d'exactitude que vous voudrez, en suivant les règles pour extraire les racines carrées et cubes, etc.; mais je n'entrerai ici dans aucun détail là-dessus. La théorie des puissances a produit celle des progressions; avant d'en parler, il faut dire quelque chose sur les proportions.

On a vu que toute fraction exprime un rapport; lorsqu'il y a deux fractions égales, vous avez donc deux rapports égaux; alors les nombres que présentent les fractions ou les rapports forment ce qu'on appelle proportion. Ainsi l'égalité des rapports de 1 à 4 et de 3 à 6 donne la proportion 2 à 4 comme 3 à 6, parce que 4 est le double de 2, comme 6 est le double de 3; de la théorie des proportions dépendent beaucoup de règles d'Arithmétique; elle est d'abord le fondement de la fameuse règle de trois qui est d'un usage si général : vous savez que, quand on a les trois premiers termes, pour avoir le quatrième, il n'y a qu'à multiplier les deux derniers l'un par l'autre, et diviser le produit par le premier. On a imaginé ensuite différentes autres règles particulières qui se trouvent dans la plupart des livres d'Arithmétique; mais on peut s'en passer quand on conçoit bien l'état de la question : il y a les règles de

trois directes, inverses, simples, composées; les règles de compagnie, d'alliage, etc. : tout se réduit à la règle de trois; il n'y a qu'à bien considérer l'état de la question, et à placer convenablement les termes de la proportion. Je n'entrerai pas dans ces détails; mais il y a une autre théorie qui est utile dans beaucoup d'occasions, c'est la théorie des progressions; quand vous avez plusieurs nombres qui ont la môme proportion entre eux et qui se suivent, en sorte que le second est au premier comme le troisième est au second, comme le quatrième est au troisième, ainsi de suite, ces nombres sont en progression. Je commencerai par une observation.

On distingue communément, dans tous les livres d'Arithmétique et d'Algèbre, deux sortes de progressions, l'arithmétique et la géométrique, qui répondent aux proportions nommées arithmétique et géométrique; mais la dénomination de proportion me paraît très-impropre pour ce qu'on appelle proportion arithmétique. Comme un des objets de l'École Normale est de rectifier la langue des sciences, on ne regardera pas cette petite digression comme inutile.

Il me semble donc que l'idée de proportion est déjà fixée par l'usage, et ne répond qu'à ce qu'on appelle proportion géométrique. Quand on parle de la proportion des membres de l'homme, des parties d'un bâtiment, etc.; quand on dit qu'un plan qu'on dessine doit être réduit proportionnellement à un plus petit, etc.; quand on dit même, en gênerai, qu'une chose doit être proportionnée à une autre, on n'entend par proportion que l'égalité des rapports, comme dans la proportion géométrique, et nullement l'égalité des différences, comme dans l'arithmétique. Ainsi, au lieu de dire que les nombres 3, 5, 7, 9 sont en proportion arithmétique, parce que la différence de 5 à 3 est la même que celle de 9 à 7, je désirerais que, pour éviter toute ambiguïté, on employât une autre dénomination; on pourrait, par exemple, appeler eet nombres équidifférents, en conservant le nom de proportionnels aux nombres qui sont en proportion géométrique, comme 3, 4» G, 8.

D'ailleurs, je ne vois pas pourquoi la proportion appelée arithmétique est plus arithmétique que celle que l'on nomme géométrique, ni

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pourquoi celle-ci est plus géométrique que l'autre; au contraire, l'idée primitive de celle-ci est fondée sur l'Arithmétique, puisque celle des rapports vient essentiellement de la considération des nombres.

Au reste, en attendant qu'on ait changé ces dénominations impropres de proportions arithmétique et géométrique, je continuerai à m'en servir pour plus de simplicité et de commodité.

La théorie des progressions arithmétiques a peu de difficultés : ce sont des quantités qui augmentent ou diminuent constamment de la même quantité; mais celle des progressions géométriques est plus difficile et plus importante, parce que beaucoup de questions intéressantes en dépendent : par exemple, tous les problèmes sur l'intérêt composé, et qui regardent l'escompte, et beaucoup d'autres semblables.

En général, quand une quantité augmente, et que la force augmentative, pour ainsi dire, est proportionnelle à la quantité même, elle produit des quantités en proportion géométrique. On a observé que, dans les pays où la subsistance était très-aisée, comme dans les premières colonies américaines, la population doublait au bout de vingt ans; si elle est double au bout de vingt ans, elle sera quadruple au bout de quarante ans, octuple au bout de soixante ans, etc.; ce qui donne, comme on voit, une progression géométrique qui répond à des espaces de temps en progression arithmétique. Il en est de même de l'intérêt composé : si l'on suppose qu'une somme donnée d'argent produise, au bout d'un certain temps, une certaine somme; au bout d'un temps double, la même somme aura produit encore une pareille somme, et de plus, la somme produite dans le premier espace de temps aura produit proportionnellement une autre somme pendant le second espace de temps, et ainsi de suite. On appelle communément la somme primitive le principal, la somme produite, l'intérêt, et le rapport constant du principal à l'intérêt, pour un an, denier. Ainsi le denier vingt indique que l'intérêt est la vingtième partie du principal, ce qu'on nomme aussi 5 pour 100, puisque 5 est la vingtième partie de ioo. Sur ce pied, le principal sera augmenté, au bout d'un an, d'un vingtième; par conséquent, il se trouvera augmenté en raison de ai à 20; au bout de deux

ans, il sera augmenté encore dans la même raison, c'est-à-dire dans la raison de f£, multiplié parf^; au bout de trois ans, dans la raison de f£, multiplié deux fois par lui-même, et ainsi de suite. Et l'on trouve que de cette manière il aura presque doublé au bout de quinze ans, et sera décuplé au bout de cinquante-trois ans. Réciproquement donc, puisqu'une somme payée actuellement deviendra double au bout de quinze ans, il est clair qu'une somme qui ne devrait être payée qu'au bout de quinze ans n'aura actuellement qu'une valeur moitié moindre : c'est ce qu'on nomme la valeur présente d'une somme payable au bout d'un certain temps; et il est clair que, pour trouver cette valeur, il n'y aura qu'à diviser la somme promise autant de fois par la fraction f^, ou bien la multiplier autant de fois par la fraction fj qu'il y aura d'années à courir. Ainsi l'on trouvera de même qu'une somme payable au bout de cinquante-trois ans ne vaut à présent qu'un dixième; d'où l'on voit combien peu d'avantage il y aurait à se défaire de la propriété absolue d'un fonds, pour n'en conserver la jouissance que pendant cinquante ans, par exemple, puisque l'on ne gagnerait par là que le dixième en jouissance, tandis qu'on aurait perdu la propriété pour l'éternité.

Dans les rentes viagères, la considération de l'intérêt se combine avec la probabilité de la vie; et, comme cbacun croit toujours pouvoir vivre très-longtemps, et que, d'un autre côté, on ne peut pas faire beaucoup de cas d'une propriété qu'on est obligé d'abandonner en mourant, il en résulte un attrait particulier, quand on n'a point d'enfants, pour mettre son bien, en tout ou en partie, à fonds perdu. Néanmoins, quand on calcule une rente viagère à la rigueur, elle ne présente pas assez d'avantage pour engager à y sacrifier la propriété du fonds.

Aussi, toutes les fois qu'on a voulu créer des rentes viagères assez attrayantes pour engager les particuliers à s'y intéresser, il a fallu les faire à des conditions onéreuses pour l'établissement.

Mais nous en dirons davantage là-dessus lorsqu'on exposera la théorie des rentes viagères, qui est une branche du Calcul des probabilités.

Je finirai par dire encore un mol. sur les logarithmes. L'idée la plus simple qu'on puisse se former de la théorie des logarithmes, tels qu'ils

vu. . 25

sont dans nos Tables usuelles, consiste à exprimer tous les nombres par des puissances de 10, et ainsi les exposants de ces puissances en sont les logarithmes. De cette manière, il est clair que la multiplication et la division de deux nombres se réduisent à l'addition et a la soustraction des exposants respectifs, c'est-à-dire, de leurs logarithmes; et par conséquent l'élévation aux puissances et l'extraction des racines se réduisent à la multiplication ou à la division, ce qui est d'un avantage immense dans l'Arithmétique, et y rend les logarithmes si précieux.

Mais, à l'époque où l'on a inventé les logarithmes, on ne connaissait pas encore cette théorie des puissances, on ne pensait pas que la racine d'un nombre pût être regardée comme une puissance fractionnaire. Voici comment on y est parvenu :

L'idée primitive est celle de deux progressions correspondantes, une arithmétique, l'autre géométrique; c'est ainsi qu'on les a conçues; mais il fallait trouver le moyen d'avoir les logarithmes de tous les nombres. Comme les nombres suivent la progression arithmétique, pour qu'ils puissent se trouver tous parmi les termes d'une progression géométrique, il est nécessaire d'établir cette progression de manière que les termes successifs soient très-rapprochés l'un de l'autre; et, pour prouver la possibilité d'exprimer ainsi tous les nombres, l'inventeur Neper les a d'abord considérés comme exprimés par des lignes et des parties de lignes, et il a considéré ces lignes comme engendrées par le mouvement continuel d'un point, ce qui est très-naturel.

Il a donc considéré deux lignes : la première engendrée par le mouvement d'un point qui décrit en temps égaux des espaces en progression géométrique, et l'autre engendrée par un point qui décrit des espaces qui augmentent comme les temps, et qui forment par conséquent une progression arithmétique, correspondante à la géométrique; et il a supposé, pour plus de simplicité, que les vitesses initiales de ces deux points étaient égales, ce qui lui a donné les logarithmes, qu'on a d'abord appelés naturels, ensuite hyperboliques, lorsqu'on a reconnu qu'ils pouvaient être exprimés par l'aire de l'hyperbole entre les asymptotes. De cette manière, il est clair que, pour avoir le logarithme d'un

nombre quelconque donné, il ne s'agira que de prendre sur la première ligne une partie égale au nombre donné, et de chercher quelle partie de la seconde ligne aura été décrite en même temps que cette partie de la première.

Conformément à celte idée, si l'on prend pour les deux premiers termes de la progression géométrique les nombres très-peu différents i et 1,0000001, et pour ceux de la progression arithmétique o et 0,0000001, et qu'on cherche successivement, par les règles connues, tous les termes suivants des deux progressions, on trouve que le nombre 2 est, à la huitième décimale près, le 6931472e de la progression géométrique; de sorte que le logarithme de 2 est 0,6931472; le nombre 10 se trouve le 23o2585ie de la même progression; par conséquent le logarithme de 10 est 2,3o2o85 i , et ainsi des autres. Mais Neper, n'ayant pour objet que de déterminer les logarithmes des nombres moindres que l'unité, pour l'usage de la Trigonométrie, où les sinus et les cosinus des angles sont exprimés en fractions du rayon, a considéré la progression géométrique décroissante dont les deux premiers termes seraient r et 0,9999999, et il en a déterminé, par des calculs immenses, les termes suivants. Dans cette hypothèse, le logarithme que nous venons de trouver pour le nombre 2 devient celui du nombre \ ou o,5, et celui du nombre 10 se rapporte au nombre ^ouo.i; ce qui est facile à concevoir par la nature des deux progressions.

Ce travail de Neper parut en 161 4; on en sentit tout de suite l'utilité, et l'on sentit en même temps qu'il serait plus conforme au système décimal de notre Arithmétique, et par conséquent beaucoup plus simple, de faire en sorte que le logarithme de 10 fût l'unité, moyennant quoi celui de 100 serait 2, et ainsi de suite. Pour cela, au lieu de prendre pour les deux premiers termes de la progression géométrique les nombres 1 et 1,0000001 ,il aurait fallu prendre les nombres 1 et 1 ,0000002302 en conservant o et 0,0000001 pour les termes correspondants de la progression arithmétique; d'où l'on voit que, tandis que le point, qui est supposé engendrer par son mouvement la ligne géométrique ou des nombres, aurait décrit la partie très-petite o,oooooo23o2,..., l'autre

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point, qui doit engendrer en même temps la ligne arithmétique, ou des logarithmes, aurait parcouru la partie 0,0000001; et qu'ainsi les espaces décrits en même temps par ces deux points au commencement de leur mouvement, c'est-à-dire leurs vitesses initiales, au lieu d'être égales, comme dans le système précédent, seraient dans le rapport des nombres 2,3o2,... à 1, où l'on remarquera que le nombre 2,3o2... est précisément celui qui, dans le premier système des logarithmes naturels, exprime le logarithme de 10; ce qui peut aussi se démontrer a priori, comme nous le verrons, lorsqu'on appliquera à la théorie des logarithmes les formules algébriques. Briggs, contemporain de Neper, est l'auteur de ce changement dans le système des logarithmes, ainsi que des Tables de logarithmes dont on fait usage communément. Il en a calculé une partie, et le reste l'a été par Vlacq, Hollandais.

Ces Tables parurent à Goude en 1628; elles contiennent les logarithmes de tous les nombres depuis 1 jusqu'à 1 00000, calculés jusqu'à dix décimales, et elles sont maintenant très-rares : mais on a reconnu, depuis, que, pour les usages ordinaires, sept décimales suffisaient, et c'est ainsi qu'ils se trouvent dans les Tables dont on se sert journellement. Briggs et Vlacq employèrent différents moyens très-ingénieux pour faciliter leur travail. Celui qui se présente le plus naturellement et qui est encore un des plus simples, c'est de partir des nombres 1, 10, 100,... dont les logarithmes sont o, 1, 2,..., et d'intercaler, entre les termes successifs des deux séries, autant de termes correspondants qu'on voudra, dans la première par des moyennes proportionnelles géométriques, et dans la seconde par des moyennes arithmétiques. De cette manière, quand on sera parvenu à un terme de la première série qui approchera jusqu'à la huitième décimale du nombre donné dont on cherche le logarithme, le terme correspondant de l'autre série sera, à la huitième décimale près, le logarithme de ce nombre : par exemple, pour avoir le logarithme de 2, comme 2 tombe entre 1 et 10, on cherche d'abord, par l'extraction de la racine carrée de 10, le moyen proportionnel géométrique entre 1 et 10, on trouve 3,1627766, et le moyen arithmétique correspondant entre o et 1 sera \ ou bien o,5ooooooo; ainsi l'on est

assuré que ce dernier nombre est le logarithme de l'autre. Puisque 2 est encore entre 1 et le nombre qu'on vient de trouver, on cherchera de même le moyen proportionnel géométrique entre ces deux nombres, on trouve le nombre 1,37823941; ainsi, en prenant de même le moyen arithmétique entre o et o,5ooooooo, on aura le logarithme de ce nombre, lequel sera 0,26000000. Maintenant, 2 étant entre ce dernier nombre et le précédent, il faudra, pour en approcher toujours, chercher le moyen géométrique entre ces deux-ci, ainsi que le moyen arithmétique entre leurs logarithmes, et ainsi de suite. On trouve ainsi, par un grand nombre de pareilles opérations, que le logarithme de 2 est o,3oio3oo, que celui de 3 est 0,4771213, etc., en ne poussant l'exactitude que jusqu'à la huitième décimale. Mais ce calcul n'est nécessaire que pour les nombres premiers; car, pour ceux qui sont le produit de deux ou de plusieurs, leurs logarithmes se trouvent en faisant simplement la somme des logarithmes de leurs facteurs.

Au reste, comme il n'est plus question de calculer des logarithmes, si ce n'est dans des cas particuliers, on pourrait regarder comme inutile le détail où nous venons d'entrer; mais on doit êlre curieux de connaître la marche souvent indirecte et pénible des inventeurs, les différents pas qu'ils ont faits pour parvenir au but, et combien on est redevable à ces véritables bienfaiteurs des hommes. Cette connaissance d'ailleurs n'est pas de pure curiosité : elle peut servira guider dans des recherches semblables, et elle sert toujours à répandre une plus grande lumière sur les objets dont on s'occupe.

Les logarithmes sont un instrument d'un usage universel dans les sciences et même dans les arts qui dépendent du calcul. En voici, par exemple, une application bien sensible.

Ceux qui ne sont pas tout à fait étrangers à la musique savent que l'on exprime les différents sons de l'octave par les nombres qui déterminent les parties d'une même corde tendue, qui rendraient ces mêmes sons; ainsi, le son principal étant exprimé par 1 , son octave le sera par|, la quinte par f, la tierce par |, la quarte par f, la seconde par £, et ainsi des autres. La dislance d'un des sons à l'autre s'appelle intervalle,

et doit se mesurer, non par la différence, mais par le rapport des nombres qui expriment les deux sons. Ainsi l'on regarde l'intervalle entre la quarte et la quinte, appelé ton majeur, comme sensiblement double de celui entre la tierce et la quarte, appelé semi-ion majeur. En effet, le premier se trouve exprimé par f, le second par-|-|, et le premier ne diffère pas beaucoup du carré du second, ce qui est aisé a vérifier; or il est clair que cette considération des intervalles, sur laquelle est fondée toute la théorie du tempérament, conduit naturellement aux logarithmes; car, si l'on exprime les valeurs des différents sons par les logarithmes des longueurs des cordes qui y répondent, alors l'intervalle d'un son à l'autre sera exprimé par la différence même de valeur de ces sons; et, si l'on voulait diviser l'octave en douze semi-tons égaux, ce qui donnerait le tempérament le plus simple et le plus exact, il n'y aurait qu'à diviser le logarithme de \, valeur de l'octave, en douze parties égales.