SUR LES OPÉRATIONS DE LARITHMÉTIQU E

Un ancien disait que l'Arithmétique et la Géométrie étaient les ailes des Mathématiques; je crois, en effet, qu'on peut dire sans métaphore que ces deux sciences sont le fondement et l'essence de toutes les sciences qui traitent des grandeurs. Mais non-seulement elles en sont le fondement, elles en sont, pour ainsi dire, encore le complément; car, lorsque l'on a trouvé un résultat, pour pouvoir faire usage de ce résultat, il est nécessaire de le traduire en nombres ou en lignes; pour le traduire en nombres, on a besoin du secours de l'Arithmétique; pour le traduire en lignes, on a besoin du secours de la Géométrie.

L'importance de l'Arithmétique m'engage donc à vous en entretenir encore aujourd'hui, quoiqu'on ait déjà commencé l'Algèbre. Je reviendrai sur ces différentes parties, et je ferai de nouvelles observations, qui serviront à compléter celles que je vous ai déjà présentées. J'emploierai,

d'ailleurs, le calcul géométrique, lorsqu'il sera nécessaire pour donner plus de généralité aux démonstrations et aux méthodes.

D'abord, par rapport à l'addition, il n'y a rien à ajouter à ce qui a déjà été dit. L'addition est une opération si simple, qu'elle se conçoit d'elle-même. Mais, à l'égard de la soustraction, il y a une autre manière de faire cette opération, qui peut quelquefois être plus commode que la manière ordinaire, surtout pour ceux qui y sont habitués: c'est de changer la soustraction en addition, en prenant le complément de chaque chiffre du nombre qui doit être soustrait, d'abord à 10, et ensuite à 9. Supposons, par exemple, que l'on ait le nombre 2635 à soustraire du nombre 7853; au lieu de dire 5 de i3, reste 8; ensuite 3 de 4, reste 1; 6 de 8, reste 2, et 2 de 7 reste 5, ce qui donne le reste total 52i8; je dirai : 5 complément de 5 à 10 et 3 font 8; j'écris 8; 6 complément de 3 à 9 et 5 font n, je pose 1 , et je retiens 1 ; ensuite 3 complément de 6 à 9 et 9, à cause de 1 retenu, font 12, je pose 2, et retiens 1; enfin 7 complément de 2 à 9 et 8, à cause de 1 retenu, font i5, je pose 5, et je ne reliens rien, parce que l'opération est finie, et qu'il faut négliger la dernière dizaine qui avait été empruntée dans le cours de l'opération; ainsi l'on a également pour reste 52 18.

Si l'on a des chiffres un peu plus considérables, cette manière est très-utile, parce qu'il arrive souvent qu'on se trompe en employant la manière ordinaire de la soustraction, lorsque l'on est obligé d'emprunter pour soustraire un nombre d'un autre; au lieu que, dans la manière dont il s'agit, on n'emprunte jamais, il suffît seulement de retenir, parce que la soustraction est convertie en addition. A l'égard des compléments, ils se prennent facilement à la simple vue; car tout le monde sait que 3 est le complément de 7 à 10, que 4 est celui de 5 à 9, etc. Quant a la raison de cette opération, elle se présente d'elle-même, car il est facile de voir que ces différents compléments forment le complément total du nombre qu'il s'agit de soustraire à 10, 100, 1000,..., suivant que ce nombre a 1, 2, 3,... chiffres; de sorte que c'est proprement la même chose que si l'on ajoutait d'abord 10, 100, 1000,... au nombre proposé, et qu'ensuite on en ôtât le nombre à soustraire de

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celui-là; d'où l'on voit en même temps pourquoi il faut supprimer une dizaine de la somme trouvée par la dernière addition partielle.

Pour la multiplication, il se présente différents abrégés qui viennent du système décimal. D'abord on sait que, s'il est question de multiplier par 10, il n'y a qu'à ajouter un zéro; si l'on veut multiplier par ioo, on ajoute deux zéros; par iooo, trois zéros, etc.

Ainsi, s'il fallait multiplier par une partie aliquote de 10, par exemple par 5, on n'aurait qu'à multiplier par 10, et ensuite à diviser par 2; par 25, on multiplierait par 100, et l'on diviserait par 4. et ainsi de suite, pour tous les produits de 5.

Lorsqu'on a un nombre entier avec des décimales à multiplier par un nombre entier avec des décimales, la règle générale est de regarder les deux nombres comme des nombres entiers, ensuite de retrancher, de droite à gauche, dans le produit autant de chiffres qu'il y a de décimales dans les deux nombres; mais cette règle a souvent, dans la pratique, l'inconvénient d'allonger l'opération plus qu'il ne faut : car, quand on a des nombres qui contiennent des décimales, ces nombres ne sont ordinairement exacts que jusqu'à un certain rang de décimales; ainsi l'on ne doit conserver dans le produit que les parties décimales du même ordre. Par exemple, si le multiplicande et le multiplicateur contiennent chacun deux rangs de décimales et n'ont que ce degré de précision, on aurait, par la méthode ordinaire, quatre rangs de décimales dans leur produit; par conséquent, il faudrait négliger les deux dernières comme inutiles, et même comme inexactes. Voici comment on peut s'y prendre, pour n'avoir dans le produit qu'autant de décimales que l'on veut.

J'observe d'abord que, dans la manière ordinaire de faire la multiplication, on commence par les unités du multiplicateur, qu'on multiplie par celles du multiplicande, et ainsi de suite. Mais rien n'oblige à commencer par la droite du multiplicateur, on peut également commencer parla gauche; et, à dire vrai, je ne sais pas pourquoi on ne préfère pas cette manière, qui aurait l'avantage de donner tout de suite les chiffres de la plus grande valeur; car, ordinairement dans la multiplication des

grands nombres, ce qui intéresse le plus, ce sont les derniers rangs de chiffres; souvent même on ne fait la multiplication que pour connaître quelques-uns des chiffres des derniers rangs; et c'est là, pour le dire en passant, un des grands avantages du calcul par les logarithmes, lesquels donnent toujours, dans les multiplications comme dans les divisions, ainsi que dans l'élévation aux puissances et dans l'extraction des racines, les chiffres suivant l'ordre de leur rang, à commencer par le plus élevé, c'est-à-dire en allant de gauche à droite.

En faisant la multiplication de cette manière, il n'y aura proprement d'autre différence dans le produit, si ce n'est que l'on aura pour première ligne celle qui aurait été la dernière, suivant la méthode ordinaire, pour seconde ligne celle qui aurait été l'avant-dernière, et ainsi des autres.

Cela peut être indifférent lorsqu'il s'agit de nombres entiers et qu'on veut avoir le produit exact; mais, lorsqu'il y a des parties décimales, l'essentiel est d'avoir d'abord dans le produit les chiffres des nombres entiers, et de descendre ensuite successivement à ceux des nombres décimaux; au lieu que, suivant le procédé ordinaire, on commence par les derniers chiffres décimaux, et l'on remonte successivement aux chiffres des nombres entiers.

Pour faire usage de cette méthode, on écrira le multiplicateur audessous du multiplicande, de manière que le chiffre des unités du multiplicateur soit au-dessous du dernier chiffre du multiplicande. Ensuite on commencera parle dernier chiffre à gauche du multiplicateur, qu'on multipliera comme à l'ordinaire par tous ceux du multiplicande, en commençant par le dernier à droite, et en allant successivement vers la gauche; et l'on observera de poser le premier chiffre de ce produit au-dessous du chiffre du multiplicateur, et les autres successivement à gauche de celui-ci. On continuera de même pour le second chiffre du multiplicateur, en posant également au-dessous de ce chiffre le premier chiffre du produit, et ainsi de suite. La place de la virgule, dans ces différents produits, sera la même que dans le multiplicande, c'est-à-dire que les unités des produits se trouveront toutes dans une même ligne VII. 26

verticale avec celles du multiplicande; par conséquent, celles de la somme de tous les produits ou du produit total seront encore dans la même ligne. Ainsi il sera aisé de ne calculer qu'autant de décimales qu'on voudra. Voici un exemple de cette opération, où le multiplicande est 437,23, et le multiplicateur est 27,34 :

3oGo

J'ai écrit dans le produit toutes les décimales; mais il est aisé de voir comment on peut se dispenser de tenir compte de celles que l'on veut négliger. La ligne verticale est pour marquer plus distinctement la place de la virgule.

Cette règle me paraît plus naturelle et plus simple que celle qui est attribuée à Oughtred, et qui consiste à écrire le multiplicateur dans un ordre renversé.

Au reste, il y a une chose à considérer dans la multiplication des nombres avec des décimales: c'est que vous pourrez, à volonté, faire changer de place la virgule, parce que, si vous avancez la virgule de droite à gauche dans un des nombres, vous le multipliez par 10 ou par ioo,...; et, si vous reculez d'autant la virgule de gauche à droite dans l'autre nombre, vous le divisez par 10 ou par 100,...; d'où il résulte que vous pouvez avancer à volonté la virgule d'un des deux nombres, pourvu que vous reculiez d'autant celle de l'autre nombre, vous aurez toujours le même produit; par ce moyen, vous pouvez faire en sorte qu'un des deux nombres soit toujours un nombre sans décimales, ce qui l'end la question plus simple.

La division est susceptible d'une simplification semblable; car, comme le quotient reste le même en multipliant ou divisant le dividende et le diviseur également par un même nombre, il arrive que dans la division

vous pouvez avancer ou reculer la virgule de l'un et de l'autre nombre, pourvu que vous les avanciez ou reculiez également toutes les deux; de sorte que par là vous pouvez réduire le diviseur à être toujours un nombre entier; ce qui facilite infiniment l'opération, parce que, les décimales ne se trouvant que dans le dividende, on peut faire la division à l'ordinaire, et négliger dans l'opération les chiffres qui donneraient des décimales d'un rang inférieur à celles dont vous voulez tenir compte.

Vous connaissez la fameuse propriété du nombre 9, qui consiste en ce que, si un nombre est divisible par 9, la somme de tous ses chiffres est aussi divisible par 9. Vous pouvez, par ce moyen, voir tout de suite, non-seulement si un nombre est divisible par 9, mais encore quel est son reste; car vous n'avez qu'à faire la somme des chiffres, et à la diviser par 9, le reste sera le même que celui du nombre proposé.

La démonstration de ce procédé n'est pas difficile ; elle dépend de ce que les nombres 10 moins 1, 100 moins 1, 1000 moins 1,... sont tous divisibles par 9; ce qui est évident, ces nombres étant 9, 99, 999,

Si donc vous retranchez d'un nombre quelconque la somme de tous ses chiffres ou caractères, vous aurez pour reste le chiffre des dizaines, multiplié par 9, plus celui des centaines, multiplié par 99, plus celui des mille multiplié par 999, et ainsi de suite; d'où il est clair que ce reste est tout divisible par 9. Par conséquent, si la somme des chiffres est divisible par 9, le nombre proposé lésera aussi, et, si elle n'est pas divisible par 9, le nombre ne le sera pas non plus; mais le reste de la division sera le même de part et d'autre.

Dans le cas du nombre 9, on voit clairement que 10 moins 1, 100 moins 1,... sont tous divisibles par 9; mais l'Algèbre fait voir que celte propriété est générale pour tout nombre a; car on trouve que

sont des quantités toutes divisibles par a — 1 ; en effet, en faisant la division, on a les quotients

i , a -+- 1 , a7 -h a -f- 1 , a3 + cO -+■ a -+- 1 , ....

Il est aisé de conclure de là que cette propriété du nombre 9 a lieu dans notre système d'Arithmétique décimale, parce que 9 est 10 moins 1 et que, dans tout autre système fondé sur la progression a, a2, a3, . . . , ce serait le nombre a — 1 qui jouirait de la même propriété. Ainsi, dans le système duodécimal, ce serait le nombre 11; de sorte que, dans ce système, tout nombre dont la somme des chiffres serait divisible par 1 1 le serait aussi par ce nombre.

Mais on peut généraliser cette propriété du nombre 9 par la considération suivante: comme tout nombre, dans notre système, est représenté par la somme de quelques termes de la progression 1, 10, 100, 1000,..., multipliés chacun par un des neuf chiffres 1 , 2, 3, l\,..., 9, il est aisé de concevoir que le reste de la division d'un nombre quelconque par un diviseur donné sera égal à la somme des restes de la division des termes 1, 10, 100, 1000,... parle même diviseur, ces restes étant multipliés chacun par le chiffre correspondant qui multiplie chaque terme; donc, si l'on dénote en général le diviseur donné par D, elque m, n,p,... soient les restes de la division des nombres 1, 10, joo, 1000,... par D, le reste de la division d'un nombre quelconque N, dont les caractères, en allant de droite à gauche, seraient a, b, c,..., sera évidemment égal à

Ainsi, connaissant pour un diviseur donné D les restes m, n, /?,... qui ne dépendent que de ce diviseur, et qui sont toujours les mêmes pour le même diviseur, il n'y aura qu'à écrire les restes au-dessous du nombre proposé, en allant de droite à gauche, et à faire ensuite les différents produits de chaque chiffre par celui qui est au-dessous. La somme de tous ces produits sera le reste total de la division du nombre proposé par le même diviseur D. Et, si cette somme est plus grande que D, on pourra en chercher de nouveau le reste de la division par D, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à un reste moindre que D, qui sera le véritable reste cherché : d'où il s'ensuit que le nombre proposé ne sera exactement divisible par le diviseur donné qu'autant que le dernier reste trouvé de la sorte sera nul.

Les restes de la division des termes i, 10, ioo, iooo,... par 9 sont toujours l'unité; ainsi la somme des chiffres d'un nombre quelconque est le reste de la division de ce nombre par 9. Les restes de la division des mêmes termes par 8 sont 1, 2, 4» o, o, o,...: donc on aura le reste de la division d'un nombre quelconque par 8, en prenant la somme du premier chiffre à droite, du second (en allant de droite à gauche) multiplié par 2, et du troisième multiplié par 4.

Les restes de la division des mêmes termes 1, 10, 100, 1000,... par 7 sont 1, 3, 2, 6, 4» 5, 1, 3,..., où les mêmes restes reviennent toujours dans le même ordre; ainsi, ayant le nombre 1 3527541 à diviser par 7, je l'écrirai ainsi avec les restes au-dessous :

Faisant ensuite les produits partiels et les ajoutant, je trouve d'abord le nombre 104, qui serait le reste de la division du nombre donné par 7, s'il n'était pas plus grand que ce diviseur; je répète donc l'opération sur ce reste, et je trouve pour second reste G, qui est le véritable restr de la division dont il s'agit.

Je remarquerai encore, à l'égard de ces restes et des multiplications qui en dépendent, qu'on peut simplifier celle-ci en admettant des restes

négatifs à la place de ceux qui se trouvent plus grands que la moitié

du diviseur; et pour cela il n'y a qu'à soustraire encore le diviseur de

chacun de ces restes : ainsi, au lieu des restes ci-dessus 6, l\, 5, on aura

ceux-ci

ainsi les restes pour le diviseur 7 seront

à l'infini.

De cette manière, j'aurai, dans l'exemple précédent,

ôtez 23

Je mets une barre au-dessous des chiffres qui doivent être pris négativement; je soustrais la somme des produits de ces chiffres par ceux qui sont au-dessus d'eux de la somme des autres produits, comme on le voit dans cet exemple. 11 ne s'agit donc que de trouver pour chaque diviseur les restes de la division des nombres 1, 10, 100, 1000,...; or la chose est aisée par la division actuelle; mais on peut y parvenir encore plus simplement, en considérant que, si r est le reste de la division de io, r2 sera celui de la division de 100, carré de 10; ainsi il n'y aura qu'à retrancher de r2 autant de fois le diviseur qu'il sera nécessaire, pour que l'on ait un reste positif ou négatif, moindre que la moitié de ce diviseur. Soit s ce reste; alors il n'y aura qu'à le multiplier par r, reste de la division de 10, pour avoir celui de la division de 1000, parce que 1000 est 100 x 10, et ainsi de suite.

Ainsi, divisant 10 par 7, on a 3 de reste, donc le reste de la division de 100 sera 9, ou bien 2, en retranchant le diviseur 7; ensuite le reste de la division de 1000 sera le produit de 2 par 3, c'est-à-dire G, ou bien — 1, en retranchant encore 7 : de là le reste de la division de 1000 sera le produit de — 1 par 3, savoir — 3, et ainsi de suite.

Prenons pour diviseur 1 1; le reste de la division de 1 est 1, celui de la division de 10 est 10, d'où retranchant le diviseur 11, on a — 1; le reste de la division de 100 sera donc le carré de — 1, savoir 1; celui de la division de 1000 sera 1, multiplié par — 1, savoir — 1, et ainsi de suite; de sorte que tous les restes seront

à l'infini.

De là résulte la propriété connue du nombre 1 1, savoir que, si l'on ajoute et qu'on retranche alternativement tous les chiffres d'un nombre quelconque, c'est-à-dire qu'on prenne la somme du premier, du troisième, du cinquième, etc., et qu'on en retranche la somme du second, du quatrième, etc., on aura le reste de la division de ce nombre par 1 1 .

Cette théorie des restes est assez curieuse, et a donné lieu à des spéculations ingénieuseset difficiles. On peut démontrer, par exemple, que, quand le diviseur est un nombre premier, les restes d'une progression quelconque 1, a, a2, a*, a',... forment toujours des périodes qui reviennent les mêmes à l'infini, et qui commencent toutes comme la première par l'unité; de sorte que, lorsque l'unité paraît parmi les restes, on peut les continuer à l'infini par la simple répétition des restes precédents. On démontre aussi que ces périodes ne peuvent jamais contenir qu'un nombre de termes égal au diviseur moins r, ou à une partie aliquote du diviseur moins 1 ; mais on n'a pu encore déterminer a priori ce nombre pour un diviseur quelconque donné.

Quanta l'usage de cette manière de trouver le reste de la division d'un nombre par un diviseur donné, elle pourrait être très-utile, si l'on avait à diviser plusieurs nombres par un même nombre, et à former une Table des restes. Comme la division par 9 et par 11 est très-simple, on peut

l'employer pour servir de preuve à la multiplication et à la division. En effet, ayant trouvé les restes de la division du multiplicande et du multiplicateur, il n'y aura qu'à faire le produit de ces deux restes, et, retranchant, s'il est nécessaire, le diviseur une ou plusieurs fois, on aura le reste de la division du produit, qui devra par conséquent s'accorder avec celui qu'on trouverait par la même opération. De même, comme dans la division le dividende moins le reste doit être égal au produit du diviseur et du quotient, on pourra y employer la même épreuve.

La proposition que je viens de supposer, que le produit des restes de la division des deux nombres par un même diviseur est égal au reste de la division du produit de ces nombres par le même diviseur, est facile à concevoir. En voici une démonstration générale.

Soient M et N les deux nombres, D le diviseur, p et q les quotients, et r, s les deux restes; il est clair qu'on aura

M = pJ)-hr, N=zqD->rS,

dont, faisant la multiplication,

MN = pq D5 4- spft -+- rq D -t- rs ;

où l'on voit que tous les termes sont divisibles par D, à l'exception du dernier rs, d'où il s'ensuit que rs sera le reste de la division MN par D; on voit de plus que, si l'on retranche de rs un multiple quelconque de D, comme mH, alors rs — mD sera aussi le reste de la division de MN par D; car, en mettant la valeur de MN sous cette forme

/)}D! + yD + ^D + mD+ rs — m D,

on voit que tous les autres termes sont divisibles par D.

Ainsi l'on pourra toujours faire en sorte que le reste rs — mï) soit

moindre que D, ou même moindre que -■> en employant des restes négatifs.

Voilà tout ce que j'avais à dire sur la multiplication et la division. Je ne vous parle pas de l'extraction des racines; la règle est assez simple

pour les racines carrées ; elle conduit directement au but, et il n'y a pas de tâtonnement. Pour les racines cubiques et de degrés supérieurs, il est rare qu'on ait besoin d'extraire ces racines; d'ailleurs, par le moyen des logarithmes, on les extrait avec une grande facilité, et l'on peut pousser l'exactitude en décimales aussi loin que celle des logarithmes même le comporte; ainsi, avec des logarithmes de sept chiffres, on peut extraire des racines avec sept chiffres, et, en employant les grandes Tables, où les logarithmes sont poussés jusqu'à dix décimales, on peut avoir aussi dix chiffres dans le résultat.

Une des opérations les plus importantes de l'Arithmétique est celle qu'on appelle la règle de trois, qui consiste toujours à trouver le quatrième terme d'une proportion dont les trois premiers sont donnés.

Dans les livres ordinaires d'Arithmétique, on a beaucoup compliqué cette règle. On l'a divisée en règles de trois simples, directes, inverses, composées .

En général, il suffit de bien entendre l'état de la question: la règle ordinaire de trois s'applique toujours également toutes les fois qu'une quantité augmente ou diminue dans le même rapport qu'une autre; par exemple, le prix des choses augmente en proportion de la quantité des choses, de sorte que, la chose étant double, le prix devient double, et ainsi de suite; de même, le produit du travail augmente en proportion du nombre des personnes employées. Mais il y a des choses qui augmentent à la fois dans deux rapports différents : par exemple, la quantité du travail augmente suivant le nombre des personnes employées, et il augmente aussi suivant le temps qu'.on emploie. Il y a d'autres choses qui diminuent à mesure que d'autres augmentent. Tout cela se réduit à une considération bien simple : c'est que, si une quantité augmente en même temps dans la proportion qu'une ou plusieurs autres quantités augmentent, et que d'autres quantités diminuent, c'est la même chose que si l'ondisaitque la quantité proposée augmentecomme le produit des quantités qui augmentent en même temps qu'elle, divisé par le produit de celles qui diminuent en même temps. Ainsi, comme le résultat du travail augmente à mesure qu'il y a plus de travailleurs, et qu'ils travail-