VII

210 LEÇONS ELEMENTAIRES

lent plus longtemps, et qu'il diminue à mesure que l'ouvrage est plus difficile, on dira que le résultat est proportionnel au nombre des travailleurs, multiplié par le nombre qui mesure le temps, et divisé par le nombre qui mesure ou exprime la difficulté de l'ouvrage.

Cependant il faut faire attention à une cliose, c'est que la règle de trois ne peut proprement s'appliquer qu'aux cboses qui augmentent toujours dans un rapport constant. Par exemple, on suppose que, si un homme fait dans un jour une certaine quantité d'ouvrage, deux hommes en feront le double, trois hommes le triple, quatre le quadruple, etc. Gela pourrait ne pas être; mais, dans la règle de proportion, on le suppose, sans quoi on ne pourrait pas l'employer légitimement.

Quand la loi de l'augmentation et de la diminution est variable, la règle de trois ne s'y applique plus, et les règles ordinaires d'Arithmétique sont en défaut. Il faut avoir alors recours à l'Algèbre.

Si, parce qu'un tonneau d'une certaine capacité se vide dans un certain temps, on voulait en conclure qu'un tonneau d'une capacité double emploierait un temps double, on se tromperait; car il se videra dans un temps plus court. La loi de l'écoulement ne suit point une proportion constante, mais une proportion variable, qui diminue à mesure qu'il reste moins de liquide dans le tonneau.

Vous verrez dans la Mécanique que, dans les mouvements uniformes, les espaces parcourus suivent une proportion constante avec le temps. Dans une heure on fait une lieue, dans deux heures on en fera deux; mais une pierre qui tombe ne suivra pas la même proportion, et si, dans la première seconde, elle parcourt i5 pieds, dans la deuxième seconde elle en parcourt 45.

La règle de trois n'est applicable qu'au cas de la proportion constante. Ce cas a lieu dans la plupart des choses qui sont d'un usage ordinaire. En général, le prix est toujours proportionné à la quantité des choses; de sorte que, si une chose vaut tant, deux choses vaudront le double, trois le triple, quatre le quadruple, etc. Il en est de même du produit du travail, relativement au nombre des travailleurs et à la durée du travail; il y a néanmoins des cas où l'on pourrait aussi se tromper.

Si deux chevaux, par exemple, peuvent traîner une masse d'un certain poids, il serait naturel de croire que quatre chevaux traîneraient un poids douhle, six un poids triple; cependant cela n'est pas à la rigueur, car il faudrait que les quatre chevaux tirassent tous également et de la même manière, ce qui est presque impossible dans la pratique. Il arrive de là que l'on trouve souvent par le calcul des résultats qui s'éloignent de la vérité; mais alors ce n'est pas la faute du calcul, car il rend toujours exactement ce qu'on y a mis. On a supposé là proportion constante; le résultat est fondé sur cette supposition : si elle est fausse, le résultat sera nécessairement faux. Toutes les fois qu'on a voulu accuser le calcul, on n'a fait que rejeter sur le calcul la faute de celui qui l'avait fait : il avait employé des données fausses ou inexactes, il fallait bien que le résultat le fût aussi.

Parmi les autres règles de l'Arithmétique, il y a celle qu'on appelle d'alliage, qui mérite une considération particulière, parce qu'elle peut avoir beaucoup d'applications. Quoique l'alliage se dise principalement de métaux mêlés ensemble par la fusion, on le prend en général pour le mélange d'un certain nombre de choses de différentes valeurs, qui composent un tout d'un égal nombre de parties et d'une moyenne valeur; ainsi la règle d'alliage a deux parties.

Dans la première, on cherche la valeur moyenne et commune de chaque partie du mélange, quand on connaît le nombre des parties cl la valeur particulière de chacune d'elles.

Dans la seconde, on cherche la constitution même d'un mélange, c'est-à-dire le nombre des parties des choses qui doivent être mélangées ou alliées, quand on connaît le nombre total des parties et leur valeur moyenne.

Supposons, par exemple, que l'on ait plusieurs setiers de blé de différents prix; on peut demander quel est le prix moyen : ce prix moyen doit être tel que, si chaque setier étail de ci' prix, le prix total de tous les setiers ensemble fût encore le même; d'où il est aisé de voir que, pour trouver dans ce cas le prix moyen, il n'y aura qu'à chercher d'abord le prix total, et à le diviser par le nombre des setiers.

212 LEÇONS ELEMENTAIRES

En général, si l'on multiplie le nombre des choses de chaque espèce par la valeur de l'unité de chaque chose, et qu'on divise ensuite la somme de tous ces produits par le nombre total des choses, on aura la valeur moyenne, parce que cette valeur, multipliée elle-même par le nombre des choses, redonnera la valeur entière de toutes les choses prises ensemble.

Cette valeur moyenne est d'une grande utilité dans presque toutes les affaires de la vie; quand on a plusieurs résultats différents, on aime à réduire tous ces résultats à un terme moyen qui produit cependant le même résultat total.

Vous verrez, quand il sera question du Calcul des probabilités, qu'il est presque tout fondé sur ce principe.

Les registres des naissances et des morts ont donné lieu à la construction des Tables qu'on appelle de mortalité, et qui montrent combien, sur un nombre donné d'enfants nés en même temps, ou dans la même année, il y en a de vivants au bout d'un an, de deux, de trois, etc.; on peut demander, d'après cela, quelle est la vie moyenne d'une personne d'un âge donné. Si l'on cherche dans ces Tables le nombre des vivants à cet âge, et qu'ensuite on additionne le nombre des vivants de tous les âges suivants, il est clair que cette somme donnera le nombre total des années qui auront été vécues par la totalité des vivants à l'âge donné; par conséquent, il n'y aura qu'à diviser la somme dont il s'agit par le nombre des vivants à l'âge donné ; le quotient sera la vie moyenne, ou bien le nombre d'années que chaque personne devrait vivre encore, pour que le nombre total des années vécues fût le même, et que chaque personne eût vécu également.

On trouve de cette manière, en prenant le milieu entre les résultats des différentes Tables de mortalité, que, pour un enfant d'un an, la vie moyenne est d'environ l\o ans; qu'à 10 ans, elle est encore de [\o ans; à 20, de 34; à 3o, de 26; à [\o, de 23; à 5o, de 17; à 60, de 12; à 70, de 8; à 80, de 5.

On a, par exemple, fait différentes expériences; trois expériences ont donné quatre pour résultat; deux expériences ont donné cinq; une a

donné six. Pour avoir le résultat moyen, on multipliera 4 par 3, 5 par 2, et 1 par 6. On ajoutera ensemble tous ces produits, ce qui fait 28, et l'on divisera ce nombre par le nombre des expériences, savoir 6; ce qui donnera 4£ pour le résultat moyen de toutes ces expériences.

Au reste, vous sentez que ce résultat ne peut être regardé comme exact qu'autant qu'on suppose que toutes les expériences sont également exactes. Cependant elles peuvent ne pas l'être; alors il faut chercher à tenir compte de ces inégalités, ce qui demande un calcul plus compliqué : c'est l'objet de plusieurs recherches dont les géomètres se sont occupés.

Voilà pour ce qui regarde la première partie de la règle d'alliage; l'autre partie est l'inverse de celle-ci : étant donnée la valeur moyenne, trouver combien il faut prendre de chaque chose pour avoir cette valeur moyenne.

Les problèmes de la p'remière espèce sont toujours déterminés, parce que, comme on vient de le voir, il n'y a qu'à multiplier le nombre par la valeur de chaque chose, et diviser la somme de tous ces produits par le nombre des choses.

Les problèmes de la seconde espèce sont, au contraire, toujours indéterminés; mais la condition de n'avoir que des nombres positifs et entiers pour résultat sert à limiter le nombre des solutions.

Supposons qu'on ait des choses de deux espèces; que la valeur de l'unité de la première espèce soit a, que celle de l'unité de la seconde espèce soit b, et qu'on demande combien on doit prendre d'unités de la première espèce et d'unités de la seconde pour en former un composé ou un tout dont la valeur moyenne soit m.

Nommons x le nombre des unités de la première espèce qui entreront dans le composé, et y le nombre des unités de la seconde espèce; il est clair que ax sera la valeur des x unités de la première espèce, et by celle des y unités de la seconde : donc ax -+- by sera la valeur totale du mélange; mais la valeur moyenne du mélange devant être m, il faudra que la somme .r+jdes unités du mélange, multipliée par m, valeur moyenne de chaque unité, donne la même valeur totale : donc on aura

l'équation

ax -+■ by = mx -+- my\

faisant passer d'un côté les termes multipliés par x, et de l'autre les termes multipliés par y, on aura

et, divisant par a — m, il viendra

où l'on voit que le nombre y peut être pris à volonté; car, en donnant à y une valeur quelconque, on aura toujours une valeur correspondante de x qui satisfera à la question. Telle est la solution générale que donne l'Algèbre; mais, si l'on ajoute la condition que les deux nombres x et j soient entiers, alors on ne peut plus prendre y à volonté. Pour voircomment on peut satisfaire de la manière la plus simple à cette dernière condition, on divisera la dernière équation par y, et l'on aura

y a — ni

Pour que x et y soient tous deux positifs, il faudra que les deux quantités

m — b et a — m

soient de même signe; c'est-à-dire que, si a est plus grand ou moindre que m, b soit au contraire moindre ou plus grand que m; c'est-à-dire que tu doit tomber entre les deux quantités a et b, ce qui est d'ailleurs évident de soi-même. Supposons a le plus grand et b le plus petit des deux prix; on cherchera la valeur de la fraction

qu'on réduira, s'il est nécessaire, à ses moindres termes; soit j cette

fraction réduite à ses moindres termes; il est visible qu'on aura la solution la plus simple en prenant

x ■=. B el y = A ;

mais, comme une fraction demeure la même en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre, il est visible qu'on

pourra prendre aussi

x = /zB et y = n A,

n étant un nombre quelconque, qu'il faudra supposer entier pour que x et y soient entiers; et il est facile de démontrer que ces expressions de x et y sont les seules qui résolvent la question proposée. Suivant la règle ordinaire d'alliage, on ferait x, quantité de la chose la plus chère, égale à m — b, excès du prix moyen sur le plus bas, et y, quantité de la chose la moins chère, égale à a — m, excès du plus haut prix sur le prix moyen, ce qui rentre dans la solution générale que nous venons de donner.

Supposons maintenant qu'au lieu de deux espèces de choses il y en ait trois, dont les valeurs soient, à commencer par la plus haute, a, b, c; soient x, y, z les quantités qu'il faudra prendre de chacune pour former un mélange ou un composé dont la valeur moyenne soit m. La somme des valeurs des trois quantités x, y, z sera

a x -+- by -h cz,

d'après les valeurs particulières a, b, c de l'unité de chacune de ces quantités; mais cette valeur totale doit être la même que si toutes les valeurs particulières étaient égales à /n, auquel cas il est clair que la

valeur totale serait

mx -f- my -+-/;/-;

donc il faudra satisfaire à l'équation

ax+ by -\- c z = m x -f- my -+- mz, laquelle se réduit h cette forme plus simple

Comme il y a trois inconnues dans cette question, on pourrait en prendre deux à volonté; mais, si l'on veut qu'elles soient exprimées par des nombres positifs et entiers, on observera d'abord que les nombres

a — m et m — c

sont nécessairement positifs; de sorte qu'en mettant l'équation sous

cette forme

la question sera réduite à trouver deux multiples des nombres donnés

a — m et m — c,

dont la différence soit égale à (m — b)y.

Cette question est toujours résoluble en nombres entiers, quels que soient les nombres donnés dont on cherche les multiples, et quelle que soit la différence donnée de ces multiples. Comme elle est assez curieuse par elle-même et qu'elle peut être utile dans beaucoup d'occasions, nous allons en donner ici une solution générale déduite des propriétés des fractions continues.

Supposons donc en général que M et N soient deux nombres entiers donnés, et qu'on en cherche deux multiples a?M, zN, dont la différence soit donnée et égale à D; on aura donc à satisfaire à l'équation

xM — zN = D,

a? et z étant supposés des nombres entiers. D'abord il est clair que, si M et N n'étaient pas premiers entre eux, il faudrait que le nombre D fût aussi divisible par le plus grand commun diviseur de M et N; et, la division faite, on aurait une pareille équation où les nombres M et N seraient premiers entre eux; ainsi nous pouvons les supposer déjà réduits à cet état. J'observe maintenant que, si l'on connaissait la solution de cette équation pour le cas où le nombre D serait égal à l'unité positive ou négative, on en pourrait déduire la solution pour une valeur quelconque de D. Supposons, en effet, qu'on connaisse deux multiples de M et N, qui soient pM et qN, dont la différence pM — qN soit

±i, il est clair qu'il n'y aura qu'à les multiplier tous les deux par le nombre D, pour que la différence devienne égale à ± D; car, en multipliant l'équation précédente par D, on aura

/>DM — </DN=r±D;

qu'on retranche maintenant cette équation de l'équation proposée

xU — .zN = D,

ou qu'on l'y ajoute, suivant que le terme D aura le signe -f- ou — , il est clair qu'il viendra celle-ci

(ar=ppD)M- (zzf:gD)N = o,

laquelle donnera sur-le-champ, comme nous l'avons vu plus haut dans le cas de l'alliage de deux choses différentes,

xzppï) = nN, zz+zql) = nM,

n étant un nombre quelconque; de sorte que l'on aura généralement

x = «N ±pD et z — «M ± q D,

où l'on pourra prendre un nombre quelconque entier, positif ou négatif, pour n. Il ne reste donc plus qu'à trouver les nombres/? et q, tels que

l'on ait

pM — £N = ±i;

or cette question se résout facilement par les fractions continues; car nous avons fait voir, en traitant de ces fractions, que, si l'on réduit la

fraction -^ en fraction continue, qu'ensuite on en déduise toutes les

fractions successives, dont la dernière sera la fraction même ^rr» ces

différentes fractions sont telles, que la différence entre deux fractions

consécutives est toujours égale à une fraction dont le numérateur est

l'unité, et le dénominateur le produit des deux dénominateurs; ainsi,