VII

désignant par y- la fraction qui précédera immédiatement la dernière

traction ^-r> on aura nécessairement

LM - KN = i ou - . ,

suivant que celle-ci sera plus grande ou moindre que l'autre, c'est-

à-dire, suivant que le quantième de la dernière fraction ^-> dans la

suite de toutes les fractions successives, sera pair ou impair, puisque la première fraction de cette suite est toujours plus petite, la seconde plus grande, la troisième plus petite, etc. que la fraction primitive, qui est la même que la dernière; ainsi l'on fera

p = L el q = K,

et le problème des deux multiples sera résolu dans toute sa généralité. Maintenant il est clair que, pour appliquer cette solution a la question ci-dessus concernant l'alliage, il n'y aura qu'à faire

M — a — ni, N = m — c, et D — (m — b) y,

de sorte que le nombre y demeurera indéterminé, et pourra être pris à volonté, ainsi que le nombre n qui entre dans les expressions de a; et z.