CD

il est aisé de voir que les différences entre les fractions voisines de la

ABC

série -t-j tt- > h-'-- vont continuellement en diminuant, de sorte que A, B, C,

cette série est nécessairement convergente.

Or je dis que la différence entre deux fractions consécutives est aussi petite qu'il est possible; en sorte qu'entre ces mêmes fractions il ne saurait tomber aucune autre fraction quelconque, à moins qu'elle n'ait un dénominateur plus grand que ceux de ces fractions-là.

ANALYSE INDETERMINEE. 25

C D Car prenons, par exemple, les deux fractions ^ et =r-> dont la diffé-

rence est tt-tt-î et supposons, s'il est possible, qu'il existe une autre frac-

tion —, dont la valeur tombe entre celles de ces deux fractions, et dans

laquelle le dénominateur n soit moindre que G, ou que D,; donc,

puisque — doit se trouver entre tt- et p-» il faudra que la différence

m , C . mC, — «C nC — mC, . i ,.,*.,

entre — et td qui est — —, ou - ., -•> soit < ^rrr' diuerence

n C, 1 nt, nL, C, D,

D C entre =r- et — ; mais il est clair que celle-là ne saurait être moindre que

— tt- donc, si n < D,, elle sera nécessairement > p-rr? de même, la dif-

'î Lj J L|l/|

férence entre — et =r-j ne pouvant être plus petite que— jt-» sera nécessairement > TT-frî si «<C,, au lieu qu'elle devrait en être plus petite.

13. Voyons présentement de combien chaque fraction de la série — » ïp • • • approchera de la valeur de la quantité a. Pour cela on remarquera que les formules trouvées dans le n° 10 donnent

Bc-h

Crf-+-

D, e h- C, et ainsi de suite.

Donc, si l'on veut savoir de combien la fraction p5 par exemple, ap-

proche de la quantité, on cherchera la différence entre ^-eta; en pre-

, .... Crf+B

nant pour a la quantité ^—j =r» on aura