LEÇON TROISIEME

sur l'algèbre, où l'on donne la résolution des équations du troisième et du quatrième degré.

L'Algèbre est une science presque entièrement due aux modernes. Je dis presque entièrement, car il nous reste un ouvrage grec, celui de Diopbante, qui vivait dans le 111e siècle de l'ère chrétienne : cet Ouvrage est le seul que nous devions aux anciens dans ce genre. Quand je parle des anciens, je n'entends que les Grecs; car les Romains ne nous ont

rien laissé sur les sciences; il paraît même qu'ils n'avaient rien fait pour elles.

Diophante peut être regardé comme l'inventeur de l'Algèbre; en effet, par un mot de sa préface, ou plutôt de son épîlre d'envoi (car les anciens Géomètres envoyaient leurs Ouvrages à quelques-uns de leurs amis, comme on le voit aussi par les préfaces des Ouvrages d'Apollonius et d'Archimède); par un mot, dis-je, de sa préface, on voit qu'il a été le premier à s'occuper de cette partie de l'Arithmétique qui a été nommée depuis Algèbre.

Son Ouvrage contient les premiers éléments de cette science : il y emploie, pour exprimer la quantité inconnue, une lettre grecque qui répondait à Yst, et que dans la traduction on a remplacée parN; poulies quantités connues, il n'emploie que des nombres, car pendant longtemps l'Algèbre n'a été destinée qu'à résoudre des questions numériques; mais on voit qu'il traite également les quantités connues et les inconnues pour former l'équation d'après les conditions du problème. Voilà ce qui constitue proprement l'essence de l'Algèbre : c'esl d'employer des quantités inconnues, de les calculer comme les connues, et d'en former une ou plusieurs équations d'après lesquelles on puisse déterminer la valeur de ces inconnues. Quoique l'Ouvrage de Diophante ne contienne presque que des questions indéterminées, dont on cherche une solution en nombres rationnels, questions qu'on a nommées, d'après lui, questions de Diophante, on y trouve néanmoins la solution de quelques problèmes déterminés du premier degré, même à plusieurs inconnues; mais l'Auteur emploie toujours des artifices particuliers pour réduire la question à une seule inconnue, ce qui n'est pas difficile. Il y donne aussi la solution des équations du second degré; mais il a l'art de les arranger de manière à ne pas tomber dans une équation composée, c'est-à-dire qui contienne le carié de l'inconnue avec sa première puissance.

Il se propose, par exemple, cette question, qui contient la théorie générale des équations du second degré : Trouver deux nombres dont la somme et le produit soient donnés. Si l'on fait la somme a et le produit b,

d'après la théorie des équations qu'on vous a exposée, on a sur-le-champ

l'équation

x"1 — ax -+- b = o.

Voici comment Diophante s'y prend : la somme des deux nombres étant donnée, il en cherche la différence, et il prend cette différence pour l'inconnue. Il exprime ainsi les deux nombres, l'un par la moitié de la somme plus la moitié de la différence, l'autre par la moitié de la somme moins la moitié de la différence, et il n'a plus qu'à satisfaire à l'autre condition, c'est-à-dire à égaler leur produit au nombre donné. Nommant a la somme donnée, ce la différence inconnue, l'un des nombres sera - — -■> et l'autre sera ~ ; en les multipliant ensemble, on a

— -.— -, de manière que le terme en ce disparaît, et qu'en égalant cette quantité au produit donné b, on a l'équation simple

d'où l'on lire

et de là

x = si a1 — 4 ^ •

Diophante résout encore quelques autres questions du même genre; en employant à propos la somme ou la différence pour inconnue, il parvient toujours à une équation dans laquelle il n'a qu'à extraire une racine carrée pour avoir la solution de son problème.

Mais, dans les livres qui nous sont restés (car tout l'Ouvrage de Diophante ne nous est pas parvenu), il ne va pas au delà des équations du second degré, et nous ignorons si lui ou quelqu'un de ses successeurs (car il ne nous est parvenu aucun autre Ouvrage sur cette matière) a été au delà des équations du second degré.

Je ferai encore une remarque à l'occasion de l'Ouvrage de Diophante : c'est qu'il établit en définition ce principe, que -+- par — fait — , et — par — fait -h; mais je pense que c'est une faute des copistes; car il

aurait dû plutôt l'établir comme un axiome, ainsi qu'Euclide l'a fait à l'égard de quelques principes de Géométrie. Quoi qu'il en soit, on voit que Diophante regarde la règle des signes comme un principe évident par lui-même, et qui n'a pas besoin de démonstration. Cet Ouvrage de Diophante est très-précieux, parce qu'il contient les premiers germes d'une science qui, par les progrès immenses qu'elle a faits depuis, est devenue une de celles qui font le plus d'honneur à l'esprit humain. Il n'a été connu en Europe que vers la fin du xvie siècle; on en a eu d'abord une traduction assez mauvaise faite par Xylander, vers le milieu du xvie siècle, sur un manuscrit trouvé dans la bibliothèque A^aticane, où il avait été probablement apporté de Grèce, lorsque les Turcs s'emparèrent de Constantinople.

Bachet de Meziriac, qui a été un des premiers membres de l'Académie française, et qui était d'ailleurs assez bon géomètre pour son temps, en donna une nouvelle traduction, accompagnée de commentaires très-longs, qui à présent sont devenus inutiles. Mais cette édition a été ensuite réimprimée avec des observations et des notes de Fermât, un des plus célèbres Géomètres de France, qui a vécu vers te milieu du dernier siècle, et dont on aura occasion de parler dans la suite, à cause des découvertes importantes qu'on lui doit dans l'Analyse. Cette édition, qui est de 1670, est la dernière qui ait été faite. Il serait a souhaiter qu'on fit passer dans la langue française, par de bonnes traductions, non-seulement l'Ouvrage de Diophante, mais encore le petit nombre d'ouvrages mathématiques que les Grecs nous ont laissés.

Mais, avant que l'Ouvrage de Diophante fut connu en Europe, l'Algèbre y avait déjà pénétré. En effet, il a paru vers la fin du xve siècle, à Venise, un Ouvrage d'un cordelier italien, nommé Luc Paceiolo, sur l'Arithmétique et la Géométrie, où l'on trouve les premières règles de l'Algèbre : c'est un des livres qui ont été imprimés dans les premiers temps de l'invention de l'imprimerie; le nom d'Algèbre, qu'on y donne à cette nouvelle science, indique assez qu'elle venait des Arabes. Il est vrai qu'on dispute encore sur la signification de ce mot arabe; mais

nous ne nous arrêterons pas à ces sortes de discussions qui nous sont étrangères; il nous suffit que ce mot soit devenu le nom d'une science généralement connue, et qu'il n'y ait pas d'ambiguïté à craindre, puisque, jusqu'à présent, il n'a été employé à désigner aucune autre chose.

Nous ignorons, au reste, si les Arabes avaient inventé l'Algèbre d'eux-mêmes, ou s'ils l'avaient empruntée des Grecs; il y a apparence qu'ils avaient l'Ouvrage de Diophante, car, après que les temps de barbarie et d'ignorance qui suivirent leurs premières conquêtes furent passés, ils commencèrent à s'adonner aux sciences et à traduire en arabe tous les ouvrages grecs qui pouvaient y avoir rapport. Il est donc naturel de penser qu'ils avaient traduit aussi celui de Diophante, et c'est ce qui les aura engagés à pousser plus loin cette nouvelle science.

Quoi qu'il en soit, les Européens, l'ayant reçue des Arabes, l'ont eue cent ans avant que l'Ouvrage de Diophante leur fût connu; mais elle n'allait pas au delà des équations du premier et du second degré. Dans l'Ouvrage de Pacciolo, dont nous avons parlé plus haut, on ne trouve pas la résolution générale des équations du second degré, telle que nous l'avons; mais on y trouve seulement des règles exprimées en mauvais vers latins pour résoudre chaque cas particulier, suivant les différentes combinaisons des signes des termes de l'équation, et ces règles mêmes ne se rapportent qu'au cas où il y a des racines réelles et positives; car on regardait encore les racines négatives comme insignifiantes et inutiles. C'est proprement la Géométrie qui a fait connaître l'usage des quantités négatives, et c'est là un des plus grands avantages qui soient résultés de l'application de l'Algèbre à la Géométrie, qu'on doit à Descartes.

On chercha ensuite la résolution des équations du troisième degré, et elle fut découverte par un géomètre de Bologne, nommé Scipion Ferreo, mais seulement pour un cas particulier. Deux autres géomètres italiens, Tartalea et Cardan, la complétèrent ensuite et la rendirent générale pour toutes les équations du troisième degré; car, à cette époque, l'Italie, qui avait été le berceau de l'Algèbre en Europe, en était encore

presque seule en possession. Ce ne fut que vers le milieu du xvie siècle que des Traités d'Algèbre parurent en France, en Allemagne et ailleurs. Ceux de Peletier et de Buteon, imprimés, l'un en 1 55/j, l'autre en i 55q, sont les premiers que la France ait eus sur cette science.

Tartalea exposa sa solution en mauvais vers italiens, dans un Ouvrage sur différentes questions et inventions, imprimé en i546, Ouvrage qui a aussi le mérite d'être un des premiers où l'on ait traité de la fortification moderne par bastions.

Cardan publia, dans le même temps, son Traité de Arte magna, c'està-dire, de l'Algèbre, où il ne laisse presque rien a désirer sur la résolution des équations du troisième degré. Cardan est encore le premier qui ait aperçu la multiplicité des racines des équations, et leur distinction en positives et négatives; mais il est surtout connu pour avoir le premier remarqué le cas qu'on appelle irréductible, et dans lequel l'expression réelle des racines est sous une forme imaginaire. Cardan se convainquit, par quelques cas particuliers où l'équation a des diviseurs rationnels, que cette expression n'empêchait pas que les racines n'eussent une valeur réelle; mais il restait à prouver que non-seulement les racines sont réelles dans le cas irréductible, mais qu'elles ne peuvent même être toutes trois réelles que dans ce cas : c'est ce qu'a fait après lui Viète, et surtout Albert Girard, par la considération de la trisection de l'angle.

Nous reviendrons sur le cas irréductible des équations du troisième degré, non-seulement parce qu'il présente une nouvelle forme d'expressions algébriques qui est devenue d'un usage très-étendu dans l'Analyse, mais surtout parce qu'il donne encore lieu tous les jours à des recherches inutiles pour réduire la forme imaginaire à une réelle, et qu'il offre ainsi, en Algèbre, un problème qu'on peut mettre sur la même ligne que les fameux problèmes de la duplication du cube ou de la quadrature du cercle en Géométrie.

Les matbématiciens de ce temps- là étaient dans l'usage de se proposer des problèmes à résoudre : c'étaient des défis publics qu'ils se faisaient, et qui servaient à exciter et à entretenir dans les esprits la

fermentation nécessaire pour l'étude des sciences. Ces sortes de défis ont continué jusqu'au commencement de ce siècle entre les premiers (iéomètres de toute l'Europe, et ils n'ont proprement cessé qu'à cause des Académies, qui remplissent le même but d'une manière encore plus avantageuse au progrès des sciences, soit par la réunion des connaissances des différents membres qui les composent, soit par les relations qu'elles entretiennent entre elles, soit surtout par la publication de leurs Mémoires, qui sert à répandre, parmi tous ceux qui s'intéressent aux sciences, les découvertes et les observations nouvelles.

Les défis dont nous venons de parler suppléaient, en quelque sorte, au défaut des Académies, qui n'existaient pas encore, et l'on doit à ces défis plusieurs découvertes importantes d'Analyse. Celle de la résolution des équations du quatrième degré est de ce nombre.

On proposa ce Problème :

Trouver trois nombres continuellement proportionnels , dont la somme soit 10, et le produit des deux premiers soit 6.

Nommant, pour plus de généralité, a la somme des trois nombres, b le produit des deux premiers, et x, y ces deux nombres: on aura d'abord xy = b; ensuite le troisième nombre sera exprimé, à cause de

la proportion continue, par — » de sorte que l'autre condition donnera

De la première équation on tire x — — ; cette valeur, substituée dans la seconde, donnera

savoir, en faisant disparaître les fractions et ordonnant les termes,

y* -+- by2 — aby -4- b' = o, équation du quatrième degré, sans le second terme.

Louis Ferrari, de Bologne, au rapport de Bombelli, dont nous parlerons bientôt, parvint a la résoudre par une méthode ingénieuse : elle consiste à partager l'équation en deux parties, qui permettent l'extraction de la racine carrée de part et d'autre; pour cela, il faut ajouter aux deux nombres des quantités dont la détermination dépend d'une équation du troisième degré; de sorte que la résolution des équations du quatrième degré dépend de celle du troisième, et est sujette aux mêmes inconvénients du cas irréductible.

V Algèbre de Bombelli, imprimée à Bologne en 1579, en langue italienne, ne contient pas seulement la découverte de Ferrari, mais encore différentes remarques importantes sur les équations du second et du troisième degré, et surtout sur le calcul des radicaux, au moyen duquel l'Auteur parvient, dans quelques cas, à tirer les racines cubes imaginaires des deux binômes de la formule du troisième degré dans le cas irréductible, ce qui donne un résultat tout réel, et fournit la preuve la plus directe de la réalité de ces sortes d'expressions.

Voilà l'histoire succincte des premiers progrès de l'Algèbre en Italie : on parvintbientôt à résoudre les équations du troisième et du quatrième degré; mais les efforts continus des géomètres, pendant près de deux siècles, n'ont pu entamer le cinquième degré.

Ils nous ont valu néanmoins tous les beaux théorèmes que vous avez vus sur la formation des équations, sur la nature et les signes des racines, sur la transformation d'une équation en d'autres dont les racines soient composées comme l'on voudra des racines de la proposée; enfin sur la métaphysique même de la résolution des équations, d'où résulte la méthode la plus directe de parvenir à cette résolution, lorsqu'elle est possible : c'est celle qui vous a été exposée dans les dernières Leçons, et qui ne laisserait rien à désirer, si elle pouvait donner également la résolution des degrés supérieurs. Viète et Descartes en France, Harriot en Angleterre, Hudde en Hollande ont été les premiers, après les Italiens dont nous venons de parler, à perfectionner la théorie des équations, et depuis il n'y a presque point eu de Géomètre qui ne s'en soit occupé; de sorte que cette théorie, dans son état actuel, est le résultai VII. 29

226 LEÇONS ELEMENTAIRES

de tant de recherches différentes, qu'il est très-difficile d'assigner l'auteur de chacune des découvertes qui la composent.

J'ai promis de revenir sur le cas irréductible. Pour cela, il est nécessaire de rappeler la méthode qui paraît avoir servi à la première résolution des équations du troisième degré, et qui est encore employée dans la plupart des Éléments d'Algèbre. Considérons l'équation générale du troisième degré, privée du second terme, qu'on peut toujours faire disparaître, savoir

qu'on suppose

y et z étant deux nouvelles inconnues, dont une, par conséquent, sera a volonté, et pourra être déterminée de la manière qu'on jugera la plus convenable; on aura, en substituant cette valeur, la transformée

j3+ 3y-z -+- 3yz--h zy-\- p[y + z) -+- q = o.

Or les deux termes 3j2s -+- 3j;2 se réduisent à cette forme

3yz(y + z),

de sorte qu'on peut écrire la transformée ainsi

)'-h z'-h (3yz-hp){y-hz) +q=o.

Si maintenant on suppose égale à zéro la quantité qui multiplie y -+■ z,

ce qui est permis à cause des deux indéterminées, on aura, d'un côté,

l'équation

3yz ■+■ p = o,

et de l'autre l'équation restante

par lesquelles on pourra déterminer y et z. Le moyen qui se présente le plus naturellement pour cela est de tirer de la première la valeur de

de la substituer dans la seconde, et de faire évanouir par la multiplication les fractions, ce qui donne cette équation en y du sixième degré, qu'on appelle la réduite,

laquelle, ne contenantque deux puissances de l'inconnue, dont l'une est le carré de l'autre, est résoluble à la manière de celles du second degré, et donne sur-le-champ

d'où, en extrayant la racine cubique, on a

-y^+n/FI'

et de là

On rend cette expression de y plus simple, en remarquant que le produit de j par le radical

est, en multipliant ensemble les quantités sous le signe,

d'où il suit que le terme ^- devient n 3j

el que, par conséquent, on a

, = {/ " + ./!■ + f + (/- I - Ji + t,

228 LEÇONS ELEMENTAIRES

expression où l'on voit que le radical carré qui est sous le signe cubique se trouve également en plus et en moins, de sorte qu'il ne peut y avoir de ce côté-là aucune ambiguïté. C'est l'expression connue sous le nom de formule de Cardan, et à laquelle toutes les méthodes qu'on a pu imaginer jusqu'ici pour les équations du troisième degré ont toujours conduit. Comme les radicaux cubes ne présentent naturellement qu'une seule valeur, on a été longtemps dans l'idée que cette formule ne pouvait donner qu'une des racines de l'équation, et, pour trouver les deux autres, on revenait à l'équation primitive qu'on divisait para; — a, en supposant a la racine trouvée; et, le quotient étant une équation du second degré, on la résolvait à la manière ordinaire. En effet, cette division est non-seulement toujours possible, mais même très-facile; car, dans le cas proposé, l'équation étant

x3 ■+- px -+- q = o,

si a est une des racines, on aura

a3 + pa + q = o ;

cette équation, soustraite de la précédente, donnera

quantité divisible par x — a, et qui donnera pour quotient

x'1 -t- ax + «! + /)z=o;

de sorte que la nouvelle équation à résoudre pour avoir les deux autres

racines sera

x'1 -+- ax -+- a'2 -+- p = o,

d'où il est aisé de tirer

Je vois par Y Algèbre de Clairaut, imprimée en 1746, et par l'article Cas irréductible de d'Alembert dans la première Encyclopédie, que cette idée subsistait encore a cette époque-là; mais c'est faire tort à l'Algèbre

que de l'accuser de ne pas donner des résultats aussi généraux que la question en est susceptible. Il ne s'agit que de savoir bien lire ce genre d'écriture et d'y voir tout ce qu'elle peut renfermer. En effet, dans le cas dont il s'agit, on ne faisait pas attention que toute racine cubique doit avoir une triple valeur, comme toute racine carrée en a une double, par la raison qu'extraire, par exemple, la racine cubique de a n'est autre chose que résoudre l'équation du troisième degré x3 — a = o. Cette équation, en faisant cc=y\a, se ramène a cette forme plus simple/3 — i = o, qui a d'abord la racine y— i; ensuite, en la divisant

par y — i, on a

d'où l'on tire les deux autres racines

ces trois racines sont donc les trois racines cubiques de l'unité, comme vous l'avez déjà vu, et donnent les trois racines cubiques de toute autre quantité comme a, en les multipliant par la racine cubique ordinaire de celte quantité. Il en est de même des racines quatrièmes, cinquièmes, etc.

Nommons, pour abréger, m et n les deux racines

— i + J^H — i — J^s ! et i

qu'on voit bien être imaginaires, quoique leur cube soit réel et égal à i, comme on peut s'en convaincre par le calcul; on aura donc, pour les trois racines cubiques de a,

va, m\ a, n\ a.

Or, lorsque nous sommes parvenus ci-dessus, dans la résolution de l'équation du troisième degré, à la réduite y* = A, en faisant pour abréger

-J + tfÇ + i!!,

nous en avons déduit de suile

mais, par ce que nous venons de démontrer, il est clair qu'on aura nonseulement

Y = v'Â, mais encore

j .- m /A et j = «v/'A;

donc la racine x de l'équation du troisième degré, que nous avons trouvée égale à

r - iy

aura aussi ces trois valeurs

VA j-=> m VA s7=' "V'A !jr=.f

3vA 3 m y A 3n\A

q ui seront par conséquent les trois racines de l'équation proposée. Mais en faisant

il est clair que