AB

donc

v'Â x Vb

mettant donc v/B à la place de £, et remarquant de plus que

m/* =1, et par conséquent

les trois racines dont il s'agit seront exprimées ainsi

On voit par là que la méthode ordinaire, bien entendue, donne direc-

tement les trois racines, et n'en donne que trois; j'ai cru ce petit détail nécessaire, parce que, si d'un côté on a longtemps accusé cette méthode de ne donner qu'une seule racine, de l'autre, lorsqu'on eut aperçu qu'elle pouvait en donner trois, on crut qu'elle en devait donner six, en employant faussement toutes les combinaisons possibles des trois racines cubiques de l'unité i , m, n, avec les deux radicaux cubiques y A et \ B. On aurait pu parvenir directement aux résultats que nous venons de trouver, en remarquant que les deux équations

donnent

o et 3 yz -+- p= o

q et ysz* = — J-;

d'où l'on voit sur-le-champ quey et z* sont les racines d'une équation du second degré, dont le second terme sera q, et le troisième — — • Cette équation, qu'on appelle la réduite, sera donc

u2-+- au — — = o,

2 7 et, nommant A etB ses deux racines, on aura lotit de suite

où l'on observera qu'en effet A et B auront les mêmes valeurs que nous avons assignées plus haut à ces mêmes lettres. Or, par ce que nous avons démontré ci-dessus, on aura également

y = m { A ou = n \ A , et il en sera de même de la valeur de z; mais l'équation

dont nous n'avons employé que le cube, limite ces valeurs, et il est aisé

232 LEÇONS ELEMENTAIRES

de voir qu'elle exige que les trois valeurs correspondantes de z soient

y/îî , n \H , m y 13 ;

d'où résultent, pour la valeur de oc, qui est = y -+- z, les mêmes trois valeurs que nous avons trouvées.

Pour la forme de ces valeurs, il est visible d'abord qu'il ne peut y en avoir qu'une de réelle, tant que A et B seront des quantités réelles, puisque m et n sont des quantités imaginaires. Elles ne pourront donc être toutes les trois réelles que dans le cas où les racines A et B de la réduite seront imaginaires, c'est-à-dire lorsque la quantité

qui se trouve sous le signe radical, sera négative, ce qui n'a lieu que lorsque/? est négatif et plus grand que

c'est le cas qu'on appelle irréductible. Puisque dans ce cas

91 + El

est une quantité négative, supposons-la égale à — g'1, g étant une quantité quelconque réelle, et faisant, pour plus de simplicité,

les deux racines A et B de la réduite prendront cette forme

Or je dis que si VA + yB, qui est une des racines de l'équation du troisième degré, est réelle, les deux autres racines, exprimées par

v7 A -f- n [h et n \/\ + m \B ,

seront réelles aussi. En effet, supposons

VA = t, \/B = u ; on aura d'abord

t -+- U = II,

h étant par l'hypothèse une quantité réelle. Or

/« = v/ÂB et AB =/* + g»,

donc

l'équation précédente, étant élevée au carré, donne

t-+ i tu +«'= /i2;

retranchant l\tu, on aura

.l'observe que cette quantité doit être nécessairement négative; car, si elle était positive et = P, on aurait

(t— uY=h\

donc

donc, puisque

on aurait

// -+- /r A - h = et u = ?

quantités réelles; donc ? et u% seraient aussi des quantités réelles, ce qui est contre l'hypothèse, puisque ces quantités sont égales à A et H, toutes deux imaginaires.

Donc la quantité

sera essentiellement négative. Supposons-la égale à — ka; donc