VII. 3o

et, tirant la racine carrée,

t — « = h \/ — i ; donc

Telle sera donc nécessairement la forme des deux radicaux cubes

>Jf+g\F^ et y/f-gsf~[,

forme à laquelle on parvient directement, en réduisant ces radicaux en série par le théorème de Newton, comme vous l'avez déjà vu dans les leçons du Cours principal. Mais, comme les démonstrations par les séries peuvent laisser quelques nuages dans l'esprit, j'ai voulu en rendre la précédente tout à fait indépendante.

Si donc

on aura

k + kflj ^ y^=h-hsEl.

or on a trouvé plus haut

donc, multipliant ces quantités ensemble, on aura

et

quantités réelles. Ainsi donc, si la racine h est réelle, les deux autres lé seront aussi naturellement dans le cas irréductible, et ne pourront l'être que dans ce cas, comme nous l'avons vu ci-dessus.

Mais la difficulté est toujours de démontrer directement que

que nous avons supposé = h, est toujours une quantité réelle, quelles que soient les valeurs de /et g. On y peut parvenir dans des cas particuliers, en extrayant la racine cubique, lorsque cette extraction peut se faire exactement. Par exemple, si/= 2, g = 1 1 , on trouvera que la raracine cubique de 2 + 1 1 y/— 1 sera 2 -+- \J— 1 , et de même celle de 2 — 1 1 \j — 1 sera 2 — \J — 1 , de sorte que la somme des deux radicaux sera égale à 4- On peut faire ainsi une infinité d'exemples, et c'est de cette manière que Bombelli s'est convaincu de la réalité de l'expression imaginaire de la formule du cas irréductible; mais, cette extraction n'étant possible en général que par les séries, on ne peut parvenir de cette manière à une démonstration générale et directe de la proposition dont il s'agit.

Il n'en est pas de même des radicaux carrés et de tous ceux dont l'exposant est une puissance de 2. En effet, si l'on a la quantité

composée de deux radicaux imaginaires, son carré sera

quantité nécessairement positive; donc, extrayant la même racine car-

rée, on aura

vV-W/' +

pour la valeur réelle de la quantité proposée. Mais, si, au lieu de la somme, on avait la différence des mêmes radicaux, alors son carré serait

quantité nécessairement négative; et, tirant la racine carrée, on aurait l'expression imaginaire simple

Si l'on avait la quantité

on relèverait d'abord au carré, ce qui donnerait

Ù+ gs/1^ + if- ssl-1 ■+■ 2 Vf*+ g* = vV+ » s/P -+- g2 ■+■ 2 f/' -+- g-1,

quantité réelle et positive; on aura donc aussi, en extrayant la racine carrée, une valeur réelle pour la quantité proposée, et ainsi de suite; mais, si Ton voulait appliquer cette méthode aux radicaux cubiques, on retomberait dans une équation du troisième degré, dans le cas irréductible.

Soit, en effet,

V'/ + g \/~i -+- V / '- g sf1^ = x ;

en élevant d'abord au cube, on aura

*/+ 3 Vf' + ëW+ffV'-i + \!f-gsj- r) = *»;

savoir,

ou bien

#a — 3xv72 + s2 — 2y— °>

formule générale du cas irréductible, puisque

H*fY + TA-Z'vfr+gir= - g2.

Si g~o, on aura x—isjf; il faudrait donc prouver que, g ayant une valeur quelconque, x aura aussi une valeur correspondante réelle. Or l'équation précédente donne

et, élevant au cube,

f > » — ^ — 6*'/+ iaa?8/» — 8/3

d'où

2 xa — 6x«f- r5x3f' — 8f> ° 27. r3

équation qu'on peut mettre sous cette forme

ou bien sous celle-ci

Cette dernière forme fait voir que g est nul, lorsque x3 = 8/; qu'ensuite g augmente toujours sans interruption, lorsque <r augmentera; car

le facteur (x3 +/)' augmentera toujours, et l'autre facteur 1— ~4 augmentera aussi, parce que, le dénominateur x3 augmentant, la partie négative -4? qui est d'abord =1, deviendra toujours moindre que 1.

Ainsi, en faisant augmenter par degrés insensibles la valeur de x\ depuis 8/jusqu'à l'infini, la valeur de g- augmentera aussi par degrés insensibles et correspondants, depuis zéro jusqu'à l'infini. Donc, réciproquement, à chaque valeur de g2, depuis zéro jusqu'à l'infini, il répondra une valeur de x- comprise entre S/ et l'infini; et, comme cela a lieu, quelle que soit la valeur de/, on en peut conclure légitimement (juc, quelles que soient les valeurs de /et g, la valeur correspondante de x3, et par conséquent aussi de x, sera toujours réelle. Mais comment assigner cette valeur? 11 ne paraît pas qu'elle puisse être représentée autrement que par l'expression imaginaire, ou par l'expression en série, <jui en est le développement. Aussi doit-on regarder ces sortes d'expressions imaginaires, qui répondent à des quantités réelles, comme formant une nouvelle classe d'expressions algébriques, qui, quoiqu'elles n'aient pas, comme les autres expressions, l'avantage de pouvoir être évaluées en nombres dans l'état où elles sont, ont néanmoins celui, qui est le seul nécessaire aux opérations algébriques, de pouvoir être employées dans ces opérations, comme si elles ne contenaient point

d'imaginaires. Elles ont de plus l'avantage de pouvoir servir aux constructions géométriques, comme on le verra dans la théorie des sections angulaires, de sorte qu'elles peuvent toujours être représentées exactement par des lignes; et, quant à leur valeur numérique, on pourra toujours la trouver à très-peu près, et aussi exactement qu'on voudra, par la résolution approchée de l'équation d'où elles dépendent, ou bien par les Tables trigonométriques connues. En effet, on démontre en Géométrie que, si dans un cercle dont le rayon est r on prend un arc dont la corde soit c, et qu'on nomme x la corde de l'arc qui sera le tiers de celui-là, on a, pour la détermination de x, l'équation du troisième

degré

équation qui tombe dans le cas irréductible, puisque c est toujours nécessairement moindre que ir, et qui, à cause des deux arbitraires retc, peut représenter toutes les équations de ce genre; car, en la comparant avec l'équation générale

x3 -f- px -+- q = o, on aura

r = y — ^ et c =

de sorte qu'on aura tout de suite, par la trisection de l'arc qui répond à la corde c dans un cercle de rayon r, la valeur d'une racine x, qui sera la corde de la troisième partie de cet arc. Or, par la nature du cercle, une même corde c répond non-seulement à l'arc s, mais encore (en nommant la circonférence entière u) aux arcs

les arcs

a -f- s, iu — s, 3m + s,

ont aussi la même corde, mais prise négativement, parce que les cordes, au bout d'une circonférence, deviennent zéro, et ensuite négatives, et ne redeviennent positives qu'au bout de deux circonférences, etc., comme vous pouvez le voir aisément. Donc les valeurs

de ce seront non-seulement la corde de l'arc ^» mais encore celles des arcs

et ce seront là les trois racines de l'équation donnée. Si l'on voulait employer encore les arcs suivants qui ont la même corde c, on ne ferait que retrouver les mêmes racines; car l'arc 3u — s donnerait la corde

de — 5 — > savoir, de u — -> qu'on a déjà vu être la même que celle

de ■„■> et ainsi des autres.

Comme, dans le cas irréductible, le coefficient p est nécessairement négatif, la valeur de la corde donnée c sera positive ou négative, suivant que q sera positif ou négatif. Dans le premier cas, on prendra pour s

l'arc sous-tendu par la corde positive c = ± ; le second cas se réduit

au premier, en faisant x négatif, ce qui fait changer de signe au dernier ternie; de sorte qu'en prenant de même pour s l'arc sous-tendu

par la corde positive —■> on n'aura qu'à changer le signe des trois

racines.

Quoique tout ce que nous venons de dire puisse suffire pour ne laisser aucun doute sur la nature des racines des équations du troisième degré, nous allons y "ajouter encore quelques réflexions sur la méthode même par laquelle on trouve ces racines. Celle qu'on a exposée plus haut, et qu'on appelle communément la méthode de Cardan, quoiqu'il me semble que c'est de Hudde que nous la tenons, a souvent été accusée, et elle peut encore l'être tous les jours, de ne donner, dans le cas irréductible, les racines sous une forme imaginaire, que parce qu'on y fait une supposition qui est contradictoire avec l'état même de l'équation. En effet, l'esprit de cette méthode consiste à supposer l'inconnue égale à deux indéterminées y -h z, pour pouvoir ensuite séparer l'équation

résultante

y% + 23+ (3yz -+-/?) (y + z) -\- q — o

en ces deux-ci

3yz ■+- p = o et j3 -+- z3 -+- q = o.

Or, en mettant la première sous celte forme

il est visible que la question se réduit à trouver deux nombres/3 et s3,

dont la somme soit — q et le produit — —■> ce qui est impossible, à

moins que le carré de la demi-somme ne surpasse le produit, puisque la différence de ces deux quantités est égale au carré de la demi-différence des nombres cbercbés.

On conclut de là qu'il n'est pas étonnant qu'en faisant une supposition impossible à réaliser en nombre, on tombe dans des expressions imaginaires, et l'on est induit à croire qu'en s'y prenant autrement on pourrait éviter ces expressions, et n'en avoir que de toutes réelles.

Comme on pourrait faire à peu près le même reproche aux autres méthodes qui ont été trouvées depuis, et qui sont toutes plus ou moins fondées sur la méthode des indéterminées, c'est-à-dire sur l'introduction de quelques quantités arbitraires qu'on détermine de manière à satisfaire à des conditions supposées, nous allons considérer la question en elle-même, et indépendamment d'aucune supposition. Reprenons

pour cela l'équation

x3 -4- px -+- q = o,

et supposons que ces trois racines soient a, b, c.

Par la théorie des équations, le premier nombre sera formé du produit des trois quantités

qui est

x3— [a -+- b -t- c) x*-\- (ab + ac -h bc) x — abc;

de sorte que la comparaison des termes donnera

a -+- b -+- c = o, ab + ac -+- bc~p, abc= — q.

Comme l'équation est d'un degré impair, on est assuré, ainsi que vous l'avez déjà vu, et que vous le verrez encore dans la Leçon qui suivra celle-ci, qu'elle a nécessairement une racine réelle. Soit c cette racine: la première des trois équations qu'on vient de trouver donnera

d'où l'on voit d'abord que a ■+- b sera nécessairement aussi une quantité réelle; cette valeur de c, substituée dans la seconde et la troisième,

donnera

ab — à1 — ab — ab — b2 = p, — ab[a -+- b) = — q,

savoir

a2 -+- ab -+■ 6' = — p, ab{a -+- b) = q,

d'où il faudrait tirer a et b; la dernière donne ab = ** . ? d'où je conçu- 6 J

clus que ab sera nécessairement aussi une quantité réelle. Considérons

maintenant la quantité %■ -h — •> ou bien, en faisant disparaître les fracn 4 27

tions, la quantité 27^ -f- l\p3, du signe de laquelle dépend le cas irréductible; en y substituant pour/? et q leurs valeurs ci-dessus en a et b, on trouvera, après les réductions, que cette quantité devient égale au

carré de

2 a3 — 2 b3 -+- 3 a2 b — 3 ab7

pris négativement; de sorte que, en changeant les signes et extrayant la racine carrée, on aura

2a3 — 2b3 -4- 3a'b — Zab2 ■= \J — 27*7' — 4/?3,

d'où il est d'abord aisé de conclure que les deux racines a et b ne sauraient être réelles, à moins que la quantité 27^2+ t\p* ne soit négative; mais je vais démontrer que, dans ce cas, qui est, comme on voit, le cas irréductible, les deux racines a et b seront nécessairement réelles;

car la quantité

se réduit à cette forme,

(a — 6)(2aJ-t-2 6J-t-5a6), VIL 3i

2V2 LEÇONS ELEMENTAIRES

comme il est aisé de s'en assurer par la multiplication actuelle; or nous avons déjà vu que les deux quantités a -+- b et ab sont nécessairement réelles, d'où

■?. «2 + %b2-\- 5ab = i[a + b)2 -+- ab

sera aussi nécessairement une quantité réelle; donc l'autre facteur a — b

sera réel aussi, lorsque le radical y/ — 27 q- — Zj/>3 est réel; donc, a-i- b et a — b étant des quantités réelles, il s'ensuit que a et b seront l'un et l'autre réels. Nous avions déjà démontré plus haut ces théorèmes d'après la forme même des racines; mais la démonstration présente est, à quelques égards, plus générale et plus directe, étant tirée des principes de la chose. On n'a rien supposé, et la condition du cas irréductible n'a point introduit d'imaginaires; mais il faut trouver les valeurs de a et b au moyen des équations ci-dessus. Pour cela, j'observe que le premier membre de l'équation

a3— 63 + j(a26 — ab') —\ y/— 27 c2— 4p3

peut devenir un cube parfait, en y ajoutant le premier membre de l'équation

ab{a ■+■ b) — q, *

multipliée par — > et la racine de ce cube sera

de sorte qu'extrayant la racine cubique de part et d'aulre, on aura la

quantité

exprimée en quantités connues; et, comme le radical y/— S peut aussi être pris en —, on aura aussi la quantité

exprimée en quantités connues, d'où l'on tirera les valeurs de a et b.

Mais ces valeurs contiendront la quantité imaginaire \j — 3 qui a été introduite par la multiplication, et se réduiront à la même forme que les deux racines

my/A + »vB et nvA + m\B,

que nous avons trouvées plus haut; ensuite la troisième racine

deviendra yA+ VË. Dans cette méthode, on voit que la quantité imaginaire n'est employée que pour faire réussir l'extraction de la racine cubique, sans laquelle on ne pourrait déterminer séparément les valeurs a et b; et, comme il paraît impossible d'y parvenir autrement, on peut regarder comme une vérité démontrée que l'expression générale des racines de l'équation du troisième degré, dans le cas irréductible, ne saurait être indépendante des imaginaires.

Passons aux équations du quatrième degré. Nous avons déjà dit que l'artifice qui avait servi d'abord à résoudre ces équations consistait à les préparer, de manière qu'on pût extraire la racine carrée des deux membres, ce qui les abaissait au second degré. Voici comment : soit

l'équation générale du quatrième degré, privée de son second terme,-

ce qui est toujours possible, comme vous le savez, en augmentant ou

diminuant les racines d'une quantité convenable. Qu'on la mette sous

cette forme

et qu'on y ajoute de part et d'autre les termes ix2y -+- y-, qui contiennent une nouvelle indéterminée y, et qui n'empêchent pas que le premier membre ne soit encore un carré, on aura

(x1-^ yY= (2/ — p)xi — qx -t-y*—r r.

Faisons maintenant en sorte que le second membre soit aussi un carré;

il faudra, pour cela, que Ton ait

et alors la racine du carré sera

Ainsi, pourvu que la quantité/ satisfasse à l'équation précédente, qui devient par le développement

et qui n'est, comme l'on voit, que du troisième degré, la proposée se réduira, par l'extraction de la racine carrée, à celle-ci

x '* -+- y = x sjiy — p —

2\Jo.y — p

où l'on peut prendre le radical \jzy — p en plus et en moins; de sorte qu'on aura proprement deux équations du second degré, dans lesquelles la proposée se trouvera décomposée, et dont les racines donneront les quatre racines de la proposée, ce qui fournit le premier exemple de la décomposition des équations en d'autres de degrés inférieurs.

La méthode de Descartes, qu'on suit communément dans les éléments de l'Algèbre, est fondée sur le même principe, et consiste à supposer immédiatement que la proposée soit produite par la multiplication de deux équations du second degré, telles que

x"1 — ux -+■ s = o et x2+ ux -+■ t = o,

u, s, tétant des coefficients indéterminés; en les multipliant l'une par l'autre, on a

x4 H- [s -t- / — u?)x2+ [s — t) UX 4- st = o,

dont la comparaison avec la proposée donne

s -h t — u, = p, [s — t)u = q, et st = f;

les deux premières équations donnent

ces valeurs étant substituées dans la dernière si = r, on aura une équation en u du sixième degré, mais qui, ne contenant que les puissances paires de u, sera résoluble comme celles du troisième. Au reste, si dans cette équation on substitue iy — p pour u2, on aura la même réduite en y que nous avons trouvée ci-dessus par l'ancienne méthode.

Ayant ainsi la valeur de u2, on aura celles de s et t, et la proposée se trouvera décomposée en deux équations du second degré, qui donneront les quatre racines cherchées. Cette méthode, ainsi que la précédente, donne lieu à un doute qui vient de ce que la réduite en u2 ou en y, étant du troisième degré, doit avoir trois racines, de sorte qu'on pourrait être incertain laquelle de ces trois racines il faudrait employer; cette difficulté se trouve bien résolue dans Y Algèbre de Clairaut, où l'on fait voir d'une manière directe que l'on a toujours les mêmes quatre racines ou valeurs de x, quelle que soit la racine de la réduite qu'on emploie. Mais cette généralité inutile nuit à la simplicité qu'on peul désirer dans l'expression des racines de l'équation proposée, et l'on doit préférer les formules que l'on vous a données dans le cours principal, et où les trois racines de la réduite entrent également. Voici encore une manière de parvenir à ces mêmes formules, moins directe que celle qui vous a déjà été exposée, mais qui, d'un autre côté, a l'avantage d'être analogue à celle de Cardan, pour les équations du troisième degré.

Je reprends l'équation

x* -f- px* + qx -f- /• = o,

et j'y suppose

j'aurai d'abord

a;,-j,+ 2,+ 0+ 2{yz 4- yt-h zt);

ensuite, carrant de nouveau, jVi

xi= (7'-+- z24- /2)2+4(j24-22+ ts) [yz + yt 4- zt) +4(j2 +yt+ zt)1;

or

(jz 4- j/ 4- z/)2 = j2.s24- yH2-\- z2l2 + -xy2zt 4- 2/z2/! 4- lyzf — y2 z2 4- y2 t2 4- z2 t2 4- 2yzt(y-+- z -ht).

Je substitue ces valeurs de x, x-, xA dans la proposée, et je mets ensemble les termes qui se trouvent multipliés par y 4- z 4- t, ainsi que par yz 4- yt-\- zt; j'ai la transformée

' )-'+ 224- P)*+p[jr*+Z* + P) 4- [4(/24-z24- l2) 4- ip] [yz -\-yt+ Zt)

4-4(r2-3J + y't' + z'P) 4- (8yzt-h q) {y -h z 4- /) 4- r = o.

Maintenant, comme pour les équations du troisième degré nous avons fait évanouir les termes qui contenaient y 4- z, nous ferons de même disparaître ici les termes qui contiennent

y-hz + t et yz -hyt -h zt,

ce qui nous donnera les deux équations de condition

8yzt-+-q = o et ^{y2+ z2+ t2) + ip = o;

il restera alors l'équation

(j24- Z24- /2)J4-j9(jJ4-Z74- t2) 4- 4(jJ-z24- y2 12 -h z2 12) 4- r=o,

et ces trois équations détermineront les trois quantités r, z, t. La seconde donne d'abord

rJ4-z24-/2=— £■>

et, cette valeur étant substituée dans la troisième, on aura

r3z2+y3t,-hz2t3 = -Ç. — , J J ib 4

De plus, la première, étant élevée au carré, donne

Donc, par la théorie générale de la formation des équations, les trois quantités/2, z7, t2 seront les racines d'une équation du troisième degré de la forme

de sorte que, si l'on nomme a, b, c les trois racines de cette équation, que nous nommerons la réduite, on aura

yz=sfâ, z = \fb, l = \c,

et la valeur de x sera exprimée par

sj a -+- s/b -\- \Jc.

Comme les trois radicaux peuvent être pris chacun avec le signe + ou —, on aurait, en faisant toutes les combinaisons possibles, huit valeurs différentes de x; mais il faut observer que, dans l'analyse

précédente, nous avons employé l'équation y-z-f- = +-, tandis que

l'équation donnée immédiatement est yzt = — |; ainsi il faudra que le produit des trois quantités/, z, t, c'est-à-dire, des trois radicaux

sja, \fb, Je,

soit de signe contraire à celui de la quantité q. D'où il suit : i° que, q étant une quantité négative, il devra y avoir dans l'expression de x ou trois radicaux positifs, ou un positif et deux négatifs. On n'aura donc que ces quatre combinaisons

y/ a -(- \jl) -+- y' 'c y \J a — \Jb — \Jc, — \J a ■+■ y/6 — \Jc , ^a — \/b-\~\/c,

qui seront, par conséquent, les quatre racines de la proposée du quatrième degré; 20 si q est une quantité positive, alors il devra y avoir

■m LEÇONS ÉLÉMENTAIRES

dans l'expression de x ou trois radicaux négatifs, ou un négatif et deux positifs, ce qui donnera ces quatre autres combinaisons

— \J a — y/6 — y/f, — \J a -f- y'/> -h \Jc, \fa — \J b -f- \[c , y/tf + V^- V6>

qui seront les quatre racines de la proposée (*).

Maintenant, si les trois racines a, b, c de la réduite du troisième degré sont toutes réelles et positives, il est visible que les quatre racines précédentes seront toutes réelles aussi; mais, si parmi les trois racines réelles a, b, c il y en a de négatives, les quatre racines de la proposée seront évidemment imaginaires. Ainsi, outre la condition de la réalité des trois racines de la réduite, il faudra encore, pour le premier cas, suivant la règle de Descartes que vous connaissez, que les coefficients des termes de cette réduite soient alternativement positifs et négatifs, et

que, par conséquent, on ait/? négatif et -y — y positif, savoir, p2^>l\r.

Si l'une de ces conditions manque, la proposée du quatrième degré ne pourra pas avoir ses quatre racines réelles. Si la réduite n'a au contraire qu'une seule racine réelle, on observera d'abord qu'à cause du dernier terme négatif de cette réduite la racine réelle sera nécessairement positive; ensuite il est aisé de voir, par les expressions générales que nous avons données des racines de l'équation du troisième degré privée de son second terme, forme à laquelle il est aisé de ramener la réduite en u,

(*) Ces formules simples et élégantes sont dues à Euler; mais M. Bret, professeur de Mathématiques à Grenoble, a fait l'observation importante [voyez la Correspondance sur l'École Polytechnique, t. II, IIIe Cahier, p. 217) qu'elles peuvent donner des valeurs fausses, lorsque parmi les trois radicaux il y en a d'imaginaires.

Pour éviter toute difficulté et toute ambiguïté, il n'y a qu'à substituer à l'un de ces radicaux sa valeur tirée de l'équation \fci\J~b \fc = — ^- Ainsi la formule

\fa -+- \fb

%\[â\Jb

donnera les quatre racines de la proposée, en prenant pour a et b deux quelconques des trois racines de la réduite, et prenant successivement les deux radicaux en plus et en moins.

Il faut appliquer cette remarque à l'article 777 de Y Algèbre d'Euler, et à l'article 37 de la Note XIII du Traité de la résolution des équations numériques.

en augmentant simplement toutes les racines de la quantité ^', ^ est

aisé, d is-je, de voir que les deux racines imaginaires de cette réduite seront de la forme

/+#v/-7 et f—gy/-i.

Donc, prenant a pour la racine réelle, et b, c pour les deux imaginaires, \ja sera une quantité réelle, et \Jb -+- \c sera réelle aussi, par ce que nous avons démontré plus haut, et au contraire \]b — \c sera une quantité imaginaire; d'où l'on peut conclure que, des quatre racines trouvées pour l'équation proposée du quatrième degré, les deux premières seront réelles et les deux autres imaginaires.

Au reste, si dans la réduite en u on fait u = s — j? pour en faire disparaître le second terme et le ramener à la forme que nous avons examinée, on aura cette transformée en s

(Pl + L)s-±- £i x -0.

p3 pr g2 b64 + ?4 ~ 64

de sorte que la condition de la réalité des trois racines de la réduite sera