SLR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES

On a vu comment on peut résoudre les équations du second, du troisième et du quatrième degré; le cinquième degré présente une espèce de barrière que les efforts des analystes n'ont pu encore forcer, et la résolution générale des équations est une des choses qui restent encore à désirer en Algèbre. Je dis en Algèbre, car si, dès le troisième degré, l'expression analytique des racines est insuffisante pour faire connaître VU. 3?.

250 LEÇONS ELEMENTAIRES

leur valeur numérique dans tous les cas, à plus forte raison le serait-elle dans les degrés supérieurs, et l'on serait toujours forcé d'avoir recours a d'autres moyens pour déterminer en nombres les valeurs des racines d'une équation donnée, ce qui est, en dernier résultat, l'objet de la solution de tous les problèmes que les besoins ou la curiosité offrent à résoudre.

Je me propose ici d'exposer les principaux moyens que l'on a imaginés pour remplir cet objet important. Considérons une équation quelconque du degré m, représentée par la formule

( B ) xm + P'"-' -+- qxm"- + rxm~3 -+- . . . -f- u = o,

dans laquelle x soit l'inconnue, p, q, r, . . . des coefficients connus positifs ou négatifs, et u le dernier terme sans x, et connu aussi; nous supposerons que les valeurs de ces coefficients soient données en nombres ou en lignes, ce qui revient au même; car, en prenant une ligne donnée pour unité ou mesure commune de toutes les autres, on pourra les évaluer toutes en nombres. Il est clairque cette supposition a toujours lieu, lorsque l'équation est le résultat d'un problème réel et déterminé. Le but qu'on se propose est de trouver la valeur ou les valeurs de x, s'il y en a plusieurs, qui satisfont a cette équation, c'est-à-dire qui rendent la somme de tous ses termes nulle; alors toutes les autres valeurs qu'on pourrait donner à x rendront cette même somme égale à une quantité positive ou négative; et, comme il n'entre dans l'équation que des puissances entières de x, il est clair que toute valeur réelle de x donnera aussi pour la quantité dont il s'agit une valeur réelle. Plus cette valeur approchera d'être nulle, plus la valeur de x, qui l'aura produite, approchera d'être une racine de l'équation; et, si l'on trouve deux valeurs de x, dont l'une rende la somme de tous les termes égale à une quantité positive, et l'autre à une quantité négative, on pourra être assuré d'avance qu'entre ces deux valeurs il y en aura au moins nécessairement une qui la rendra égale à zéro, et qui sera par conséquent une racine de l'équation.

En effet, désignons en général par P la somme de tous les termes de

l'équation qui ont le signe -h, et par Q la somme de tous les termes qui ont le signe —, en sorte que l'équation soit représentée par

supposons, pour plus de facilité, que les deux valeurs de x soient positives, A la plus petite, B la plus grande, et que la substitution de A a la place de x donne un résultat négatif, et la substitution de B un résultat positif, c'est-à-dire, que la valeur de P — Q devienne négative lorsqu'on y fait x = A, et positive lorsque x = B.

Donc, lorsque x = A, P sera moindre que Q, et lorsque x = B, P sera plus grand que Q. Or, par la forme des quantités P et Q, qui ne contiennent que des termes positifs et des puissances entières et positives de x, il est clair que ces quantités augmentent continuellement à mesure que x augmente, et qu'en faisant augmentera par tous les degrés insensibles, depuis A jusqu'à B, elles augmenteront aussi par degrés insensibles, mais de manière que P augmentera plus que Q, puisque, de la plus petite qu'elle était, elle devient la plus grande. Donc il y aura nécessairement un terme entre les deux valeurs A et B, où P égalera Q; comme deux mobiles, qu'on suppose parcourir une même droite, et qui, parlant à la fois de deux points différents, arrivent en même temps à deux autres points, mais de manière que celui qui était d'abord en arrière se trouve ensuite plus avancé que l'autre, doivent nécessairement se rencontrer dans leur chemin. Cette valeur de x, qui rendra P égal à Q, sera donc une des racines de l'équation, et tombera nécessairement entre les deux valeurs A et B.

On pourra faire un raisonnement semblable sur les autres cas, et l'on parviendra toujours au même résultat.

On démontre aussi la proposition dont il s'agit, par la considération seule de l'équation, en la regardant comme formée du produit des facteurs

a, b, c\... étant les racines; car il est évident que ce produit ne peut changer de signe par la substitution de deux valeurs différentes de x.

252 LEÇONS ELEMENTAIRES

qu'autant qu'il y aura au moins un des facteurs qui changera de signe; et même il est aisé de voir que, si plus d'un facteur changeait de signe, il faudrait que le nombre en fût impair. Ainsi, si A et B sont les deux valeurs de x qui rendent le facteur x — b, par exemple, de signe différent, il faudra que, si A est plus grand que b, B soit plus petit, ou réciproquement; donc la racine b tombera nécessairement entre les deux quantités A et B.

A l'égard des racines imaginaires, s'il y en a dans l'équation, comme il est démontré qu'elles sont toujours deux à deux de la forme

si a et b sont imaginaires, le produit des facteurs x — a et x — b sera

{x —f— g V— i ) [x -f-h gs/—i) = [x-fY + g\

quantité toujours positive, quelque valeur qu'on donne à x; d'où il suit que les changements de signe ne peuvent venir que des racines réelles. Mais, comme le théorème sur la forme des racines imaginaires ne se démontre rigoureusement qu'au moyen de cet autre théorème, que toute équation d'un degré impair a nécessairement une racine réelle, théorème dont la démonstration générale dépend elle-même de la proposition qu'il s'agit de démontrer, il s'ensuit que cette démonstration peut être regardée comme une espèce de cercle vicieux, et qu'il était nécessaire d'y en substituer une autre à l'abri de toute atteinte.

Mais il y a une manière plus générale et plus simple de considérer les équations, laquelle a l'avantage de faire voir à l'œil même les propriétés principales des équations. Elle est fondée sur une espèce d'application de la Géométrie à l'Algèbre, qui mérite d'autant plus de vous être exposée, qu'elle a des usages très-étendus dans toutes les parties des Mathématiques.

Reprenons l'équation générale proposée ci-dessus, et représentons par des lignes droites toutes les valeurs successives qu'on pourrait donner à l'inconnue x, ainsi que les valeurs correspondantes que recevra le

premier membre de l'équation. Pour cela, au lieu de supposer le second membre de l'équation égal à zéro, nous le supposerons égal à une quantité indéterminée y; nous porterons les valeurs de x sur une droite indéfinie AB (fig. i) en partant d'un point fixe 0, où x sera zéro, et nous

Fia- i

prendrons les valeurs positives de x sur la partie OB, dirigée de la gaucbe à la droite; par conséquent, les valeurs négatives de x devront être prises sur la partie opposée OA, dirigée de la droite à la gauche. Soit donc OP une valeur quelconque de x; pour représenter la valeur correspondante de j, nous mènerons par le point P une perpendiculaire à la droite OP, et, si la valeur de y est positive, nous la porterons sur cette perpendiculaire en PQ au-dessus de la droite OB; il faudrait la prendre au-dessous de OB, en partant également du point P, si elle était négative. On fera la même opération pour toutes les valeurs de x, tant positives que négatives, c'est-à-dire qu'on prendra les valeurs correspondantes de y sur les perpendiculaires menées à tous les points de la droite, dont la distance au point 0 sera égale à x. Les extrémités de toutes ces perpendiculaires formeront une ligne droite ou courbe, qui sera comme le tableau de l'équation

x'" -+- px'"-' 4- qxm ■ ■+- . . . -+- a : y.

On nomme AB l'axe de la courbe, 0 l'origine des abscisses, OP = x une abscisse, et PQ = y l'ordonnée correspondante, et l'équation en xety l'équation de la courbe. Cette courbe étant ainsi décrite, comme on le voit dans h Jig. i, il ost clair que ses intersections avec l'axe AB don-

neront les racines de l'équation proposée (B)

a?" -4- px'"-] -+- q xm^ + . . . -t- u = o ;

car, comme cette équation n'a lieu que lorsque y devient zéro dans l'équation de la courbe, les valeurs de x, qui satisfont à l'équation dont il s'agit et qui en sont les racines, ne pourront être que les abscisses qui répondent au point où les ordonnées sont nulles, c'est-à-dire où la courbe coupe l'axe AB. Ainsi, en supposant que la courbe de l'équation en x et y soit celle de \à fig. i, les racines de l'équation proposée

seront

OM, ON, OR, ..., et —01, - OG, ....

Je donne le signe — à ces dernières, parce que les intersections I, G,... tombent de l'autre côté du point 0. La considération de la courbe dont il s'agit donne lieu à des remarques générales sur les équations :

i° Comme l'équation de la courbe ne contient que des puissances entières et positives de l'inconnue x, il est clair qu'à chaque valeur de x répondra une valeur déterminée de y, et que cette valeur sera unique et finie tant que x sera fini; mais, comme rien ne limite les valeurs de x, elles pourront être supposées infiniment grandes, tant positives que négatives, et il leur répondra aussi des valeurs de y infiniment grandes; d'où il suit que la courbe aura un cours continu et simple, et qu'elle pourra s'étendre à l'infini de côté et d'autre de l'origine 0.

2° Il suit aussi de là que la courbe ne pourra passer d'un côté de l'axe à l'autre sans le couper, et qu'elle ne pourra revenir du même côté qu'après l'avoir coupé deux fois. Par conséquent, entre deux points de la courbe placés du même côté de l'axe, il y aura nécessairement un nombre pair d'intersections; comme entre les points H et Q on voit deux intersections en I et M, et entre les points H et S on en voit quatre en I, M, N, B, et ainsi de suite. Au contraire, entre deux points placés l'un d'un côté et l'autre de l'autre côté de l'axe, la courbe aura un nombre impair d'intersections; comme entre les points L et Q il y a une intersection en M; entre les points H et K il y a trois intersections en I, M, N, et ainsi du reste.

Par la même raison, il ne pourra y avoir d'intersection sans que, en deçà et au delà du point d'intersection, il n'y ait des points de la courbe placés des deux côtés, comme les points L, Q, par rapporta l'intersection M. Mais deux intersections, comme N et R, pourraient se rapprocher au point de se réunir en T; alors la branche QKS prendrait la forme de la ligne ponctuée QTS, et toucherait l'axe en T, de manière qu'elle serait toute au-dessus de l'axe; c'est le cas où les deux racines ON, OR deviendraient égales. Si trois intersections se réunissaient, ce qui a lieu dans le cas de trois racines égales, alors la courbe couperait de nouveau l'axe, comme dans le cas d'une seule intersection, et ainsi de suite.

Donc, si l'on a trouvé deux valeurs de y de même signe, on sera assuré qu'entre les deux valeurs de x qui y répondent il ne pourra tomber qu'un nombre pair de racines de l'équation proposée, c'est-à-dire qu'il n'y en aura aucune, ou qu'il y en aura deux ou quatre, etc. Au contraire, si l'on a trouvé deux valeurs de y de signes différents, on sera assuré qu'entre les valeurs correspondantes de x il tombera nécessairement un nombre impair de racines de la proposée, c'est-à-dire une. ou trois, ou cinq, etc., de sorte que, dans ce dernier cas, on en conclura sur-le-champ qu'il y aura au moins une racine de la proposée entre les deux valeurs de x.

Réciproquement toute valeur de a; qui sera une racine de l'équation se trouvera entre des valeurs plus grandes et plus petites qui, étant prises pour x, rendront les valeurs correspondantes de y de signe contraire.

Mais cela n'aurait point lieu si la valeur de x était une racine double, c'est-à-dire, si l'équation contenait deux racines de cette même valeur. Au contraire, si la même valeur était une racine triple, il y aurait de même des valeurs plus grandes et plus petites qui rendraient les valeurs de y de signes différents, et ainsi de suite.

Maintenant, si l'on considère l'équation de la courbe, il est d'abord visible qu'en y faisant x = o on aura y — u\ de sorte que le signe de l'ordonnée y sera le même que celui de la quantité u, dernier terme de l'équation proposée. Ensuite il est aisé de voir qu'on y peut donner

à x une valeur positive ou négative, assez grande pour que le premier ternie x'n de l'équation surpasse la somme de tous les autres qui auront un signe contraire à x'n; de sorte que la valeur correspondante de y aura alors le même signe que le premier terme xm. Or, si m est impair, xm sera positif ou négatif, suivant que x sera positif ou négatif, et, si m est pair, x'n sera toujours positif, soit que x soit positif ou négatif.

D'où l'on peut conclure :

En premier lieu, que toute équation d'un degré impair, dont le dernier terme est négatif, a un nombre impair de racines entre x = o et x très-grand positif, et un nombre pair de racines entre x = o et x trèsgrand négatif, et par conséquent au moins une racine réelle positive; qu'au contraire, si le dernier terme de l'équation est positif, il y aura un nombre impair de racines entre x = o et x très-grand négatif, et un nombre pair de racines entre x — o et x très-grand positif, et par conséquent au moins une racine réelle négative;

En second lieu, que toute équation d'un degré pair, dont le dernier terme est négatif, a un nombre impair de racines entre x = o et x trèsgrand positif, ainsi qu'entre a? = o et x très-grand négatif, et par conséquent au moins une racine réelle positive et une racine réelle négative; qu'au contraire, si le dernier terme est positif, il y aura un nombrepair de racines entre x = o et x très-grand positif, et pareillement un nombre pair de racines entre x = o et x très-grand négatif; de sorte que, dans ce cas, l'équation peut n'avoir aucune racine réelle ni positive ni négative.

Nous avons dit que l'on pouvait toujours donner à x une valeur assez grande pour que le premier terme xm de l'équation surpassât la somme de tous ceux de signe contraire. Quoique cette proposition n'ait pas besoin de démonstration, à cause que, la puissance x"1 étant plus haute que toutes les autres puissances de x qui entrent dans l'équation, elle doit croître beaucoup plus rapidement que celles-ci, à mesure que x augmente; pour n'y laisser néanmoins aucun doute, nous allons la prouver d'une manière fort simple, qui aura même l'avantage de donner une limite, au delà de laquelle on sera assuré qu'aucune racine de

l'équation ne pourra se trouver. Pour cela, supposons d'abord x positif, et que k soit le plus grand des coefficients des termes négatifs; si l'on fait x = k -+- i , on aura

or

et de même

xm=[k -+- i)'" = /r(/f + i)m-' 4- (/r -f- i)m-'; [k -+- i),n-' = k[k + i Y"-2 ■+■ (k ■+- i)—',

et ainsi de suite; de sorte qu'on aura

Or cette quantité est évidemment plus grande que la somme de tous les termes négatifs de l'équation pris positivement, et en y faisant x = k 4- i; donc la supposition de x = k -h i rendra nécessairement le premier xm plus grand que la somme de tous les termes négatifs; par conséquent la valeur de y sera du même signe que x.

Le même raisonnement et le même résultat auront lieu pour le cas de x négatif, en changeant seulement x en — x dans l'équalion proposée, pour changer les racines positives en négatives et réciproquement.

On prouvera de la même manière que, si l'on donne à x une valeur quelconque plus grande que k-\-\, la valeur de y sera toujours du même signe : d'où, et de ce qui a été démontré ci-dessus, on conclura d'abord qu'il ne pourra y avoir aucune racine égale ou plus grande que k 4- i .

Donc, en général, si k est le plus grand coefficient des termes négatifs d'une équation, et qu'en changeant l'inconnue a? en — x, h soit le plus grand coefficient des termes négatifs de la nouvelle équation, en supposant toujours le premier positif, toutes les racines réelles de l'équation seront nécessairement comprises entre les limites

/f + i et — h— i.

Au reste, lorsque dans l'équation il y a plusieurs termes positifs avant VII. 33

258 LEÇONS ELEMENTAIRES

le premier terme négatif, on pourra prendre pour k une quantité inoindre que le plus grand coefficient négatif. En effet, il est aisé de voir que la formule ci-dessus peut se mettre sous la forme

et pareillement sous celle-ci

et ainsi de suite.

D'où il est aisé de conclure que, si m — n est l'exposant du premier terme négatif de l'équation proposée du degré m, et que / soit le plus grand coefficient des termes négatifs, il suffira de déterminer k de manière que l'on ait

et, comme on peut prendre pour k une valeur plus grande quelconque, il suffira que l'on ait k" = l, c'est-à-dire k = \Jl.

Il en sera de même de la quantité h, pour la limite des racines négatives.

Maintenant, si l'on change l'inconnue x en -> on sait que les plus

grandes racines de l'équation en x deviennent les plus petites dans la transformée en z, et réciproquement; on pourra donc, par cette transformation, après avoir ordonné les termes suivant les puissances de z, de manière que le premier terme de l'équation soit zm, trouver de même

les limites

K+i et — H — i

des racines positives et négatives de l'équation en z.

Ainsi, K -4- i étant plus grand que la plus grande valeur de z ou de

- , par la nature des fractions, t- sera réciproquement plus petit que

la plus petite valeur de x-, et de même, n sera plus petit que la plus

petite valeur négative de x.

D'où l'on conclura enfin que toutes les racines réelles positives seronl nécessairement comprises entre les limites

et /i -i- i ,

et que les racines réelles négatives tomberont entre les limites

— t; et — h — i.

On a des méthodes pour trouver des limites plus resserrées; mais, comme elles exigent quelque tâtonnement, la précédente est préférable, dans la plupart des cas, comme plus simple et plus commode.

Par exemple, si, dans l'équation proposée, on substitue 1 + z à la place de x, et qu'après avoir ordonné les termes suivant les puissances de z, on donne à /une valeur telle que les coefficients de tous les termes deviennent positifs, il est visible qu'il n'y aura alors aucune valeur positive de z qui puisse satisfaire à cette équation : elle n'aura donc plus que des racines négatives; par conséquent /sera une quantité plus grande que la plus grande valeur de x. Or il est aisé de voir que ces coefficients seront exprimés ainsi

p -4- ml,

ml m — il

q + (m — i)pU l\

, , (m — i ){m — 2 ,„ m[m — i m — 2 . r 4- (m — ?.)(jl-h i '-{ ' pi2 H s -^- — /3,

et ainsi de suite, et il n'y aura qu'a chercher, en tâtonnant, la plus petite valeur de /, qui les rendra tous positifs.

Mais il ne suffit pas le plus souvent d'avoir les limites des racines d'une équation, on a besoin de connaître les valeurs mêmes des racines, du moins d'une manière aussi approchée que les circonstances du problème peuvent le demander; car chaque problème conduit en dernière analyse a une équation qui en renferme la solution; et, si l'on n'a pas

des moyens de résoudre cette équation, tout le calcul qu'on a fait est en pure perle. On peut donc regarder ce point comme le plus important de toute l'Analyse, et, par cette raison, j'ai cru devoir en faire l'objet principal de cette Leçon. Il suit des principes établis plus haut sur la nature de la courbe dont les ordonnées/ représentent toutes les valeurs du premier membre d'une équation que, si l'on avait un moyen de la décrire, on aurait tout de suite, par ses intersections avec l'axe, toutes les racines de l'équation proposée; mais il n'est pas nécessaire d'avoir pour cela la courbe entière : il suffit de connaître les parties qui sont de part et d'autre de chaque intersection. Or on peut trouver autant de points de chaque courbe que l'on veut, aussi proches entre eux qu'on voudra, en substituant successivement pour # différents nombres assez voisins l'un de l'autre, et en prenant pour y les résultats de ces substitutions dans le premier membre de l'équation. Si, dans la suite de ces résultats, il s'en trouve deux de signes contraires, on sera assuré, par les principes posés ci-dessus, qu'il y aura au moins une racine réelle entre les deux valeurs de x qui les ont donnés; alors on pourra, par de nouvelles substitutions, resserrer ces deux limites et approcher aussi près qu'on voudra de la racine cherchée.

En effet, si l'on nomme A la plus petite et B la plus grande des deux valeurs de x qui ont donn-é des résultats de signes contraires, et qu'on demande la valeur de la racine exacte au nombre n près, n étant une fraction aussi petite qu'on voudra, on substituera successivement à la place de x les nombres en progression arithmétique

A -h n, A -+- an, A + 3«, ...,

ou

B — n, B — 2n, B — 3ra, ....

jusqu'à ce qu'on arrive a un résultat de signe contraire à celui de la substitution de A ou de B; alors les deux valeurs successives de x qui auront donné des résultats de signes contraires seront nécessairement l'une plus grande et l'autre plus petite que la racine cherchée; et comme ces valeurs ne diffèrent par l'hypothèse que du nombre n, il s'ensuit que

chacune d'elles approchera de la racine plus que de la quantités, de sorte que l'erreur sera moindre que n.

Mais comment déterminer les premières valeurs à substituer pour x, de sorte que, d'un côté, on ne fasse pas trop de tâtonnements inutiles, et que de l'autre on soit assuré de découvrir par ce moyen toutes les racines réelles de l'équation? En considérant la courbe de l'équation, il est aisé de voir que tout se réduit a prendre les valeurs telles, qu'il y en ait au moins une qui tombe entre deux intersections voisines, ce qui arrivera nécessairement si la différence entre deux valeurs consécutives est moindre que la plus petite distance entre deux intersections voisines.

Ainsi, supposant que D soit une quantité plus petite que la plus petite distance entre deux intersections qui se suivent immédiatement, on formera la progression arithmétique

et l'on ne prendra de cette progression que les termes qui tomberont entre les limites

rr ■ et k -+- 1 ,

déterminées par la méthode donnée ci-dessus; on aura les valeurs qui, étant substituées pour x, feront connaître toutes les racines positives de l'équation, et donneront en même temps les'premières limites de chaque racine. On formera de même pour les racines négatives la progression

dont on ne prendra que les termes contenus entre les limites

et — h — 1.

Voilà la difficulté résolue; mais il s'agit de trouver la quantité D, par la condition qu'elle soit plus petite que le plus petit intervalle entre deux intersections voisines de la courbe avec l'axe. Comme les abscisses qui répondent aux intersections sont les racines mêmes de l'équation pro-

262 LEÇONS ELEMENTAIRES

posée, il est clair que la question se réduit à trouver une quantité plus petite (jue la plus petite différence entre les deux racines, abstraction faite de leur signe; il n'y aurait donc qu'à chercher, par les méthodes dont on a parlé dans les leçons du cours principal, l'équation dont les racines seraient les différences entre les racines de la proposée. On chercherait, par les moyens exposés plus haut, une quantité plus petite que la plus petite racine de cette dernière équation, et l'on prendrait cette quantité pour la valeur de D.

Cette méthode ne laisse, comme l'on voit, rien à désirer pour la solution rigoureuse du problème; mais elle a l'inconvénient d'exiger un calcul fort long, surtout si l'équation proposée est d'un degré un peu élevé. En effet, on a vu que, si m est le degré de l'équation primitive, celui de l'équation des différences sera m(m — i), parce que chacune des racines pouvant être soustraite de toutes les autres, qui sont au nombre de m — i, il en résulte m[m — i) différences; mais, comme chaque différence peut être positive ou négative, il s'ensuit que l'équation des différences doit avoir les mêmes racines en plus et en moins; que par conséquent elle doit manquer de tous les termes où l'inconnue serait élevée à une puissance impaire, de sorte que, en prenant le carré des différences pour inconnue, cette inconnue n'y montera qu'au degré

— Il faudrait donc, pour une équation du degré m, trouver

d'abord une transformée du degré -■> ce qui peut être d'une

longueur extrême et rebutante, si m est un nombre un peu grand. Par exemple, pour une équation du dixième degré, la transformée serait du quarante-cinquième. Comme cet inconvénient peut rendre, dans beaucoup de cas, la méthode presque impraticable, il est important de chercher un moyen d'y remédier. Pour cela, reprenons l'équation proposée du degré m,

x'" + p x'"-[ -+- q xm~2 -+- . . . -+- u = o,

dont les racines soient a, b, c,...; on aura donc

am-\- pam~' -+- qam-"- +... + « = o,

el de même

bm-\- pb"—' -+- qbm'2 -+- . . .--t- u — o.

Soit b — a = i, donc b = a -+- i; substituons cette valeur de 6 dans la seconde équation, et si, après avoir développé par la formule connue les différentes puissances de a -+- i, on ordonne l'équation résultante suivant les puissances de i, en commençant par les moins hautes, on aura une transformée de cette forme

P + Q i + Ri» 4- . . . -+- im= o,

dans laquelle on aura

P = am-h pa'"-' -t- qa"'-'1 + . . . -t- u,

Q = ma"1-* + ( m — i )pam-1 -f- ( m — 2 ) ^a"'-3 -(-...,

R = — «n,-s + 2 i-! '- pam-3 + ! on"1-' -+-

et ainsi de suite, la loi des termes étant visible.

Or, par la première équation en a, on aP = o; donc, effaçant le terme P de l'équation en i, et divisant tous les autres par i, elle ne montera plus qu'au degré m — 1, et sera par conséquent

Cette équation aura donc pour racines les m — 1 différences entre

la racine a et les autres racines b, c De même, si l'on substitue b à

la place de a dans les expressions des coefficients Q, R,..., on aura l'équation dont les racines seront les différences entre la racine b et les autres racines a, c,..., et ainsi de suite.

Donc, si l'on peut trouver une quantité plus petite que la plus petite racine de toutes ces équations, elle aura la condition demandée, et pourra être prise pour la quantité D dont on cherche la valeur.

Si l'on éliminait a de l'équation en i, au moyen de l'équation P == o, on aurait une équation en 1 qui renfermerait toutes celles dont nous venons de parler, el dont il n'y aurait qu'à chercher la plus petite racine.

Mais cette équation simple en i ne serait autre chose que l'équation des différences dont on voudrait se passer.

Faisons, dans l'équation ci-dessus en i, i = -; on aura cette transformée en z

rrm — ' I ""' -2 i fin — 3 i t ^

Z + <T +QZ +... + ç of

et le plus grand coefficient négatif de cette équation donnera, par ce qui a été démontré plus haut, une valeur plus grande que sa plus grande racine; de sorte qu'en nommant L ce plus grand coefficient, L -+- i sera une quantité plus grande que la plus grande valeur de z; par conséquent, = sera une quantité plus petite que la plus petite valeur

'positive de i; et l'on trouvera de même une quantité plus petite que la plus petite valeur négative de i. Ainsi l'on pourra prendre pour D la plus petite de ces deux quantités, ou une quantité quelconque plus petite que l'une et l'autre.

Pour avoir un résultat plus simple et indépendant des signes, on peut réduire la question à trouver une quantité L plus grande que chacun des coefficients de l'équation en z, abstraction faite des signes, et il est clair que, si l'on trouve une quantité N plus petite que la plus petite valeur de Q, et une quantité M plus grande que la plus grande valeur de chacune des quantités R, S, . . . , abstraction faite des signes, on pourra

prendre L = recommençons par chercher les valeurs de M. Il n'est pas difficile de prouver par les principes établis ci-dessus que, si k H- i est, comme plus haut, la limite des racines positives, et — h — i la limite des racines négatives de l'équation proposée, etqu'on substitue successivement dans les expressions de R, S,..., à la place de a, k ■+■ i et — h — i , en ne tenant compte que des termes qui auront le même signe que le premier, on aura des quantités plus grandes que les plus grandes valeurs positives et négatives de R, S,... répondant aux racines a, b, c,.,. de l'équation proposée ; de sorte qu'on pourra prendre pour M la plus grande de ces différentes quantités, abstraction faite des signes.

Il ne restera donc plus qu'à trouver une valeur plus petite que la plus petite de Q; or il ne parait pas qu'on puisse y parvenir autrement que par le moyen de l'équation dont les différentes valeurs de Q seraient les racines, équation qui ne peut être que le résultat de l'élimination de a entre ces deux-ci

am -+- pà"-' -4- qa'"! -+- . . . + u = o, mam-' -+- { m — i )pam-~2 + (m — " 2') ça"1-3 -+- . . . = Q.

Il est aisé de démontrer, par la théorie connue de l'élimination, que l'équation résultante en Q ne sera que du degré m, c'est-à-dire du même degré que la proposée, et l'on peut démontrer aussi par la forme des racines de cette équation qu'elle manquera de son pénultième terme. Si donc on cherche, par la méthode donnée plus haut, une quantité plus petite, abstraction faite du signe, que la plus petite racine de cette équation, cette quantité pourra être prise pour N; ainsi le problème est résolu moyennant une équation d'un même degré que la proposée. Voici à quoi la solution se réduit; je conserverai pour plus de simplicité la lettre x à la place de a.

Etant proposée l'équation du degré m,

xm -t- p x-"'-' + q x'"-' + /• x"1-3 -+- . . . = o ,

soit k le plus grand coelficient des termes négatifs, et m — n l'exposant de x dans le premier terme négatif; soit de même h le plus grand coefficient des termes de signes contraires au premier, en changeant x en — x, et m — n' l'exposant de x dans le premier terme de signe contraire au premier; on fera

f—\//t-+-\ et g = "x'U h- 1 ,

et l'on aura d'abord /et — g pour les limites des racines positives et négatives. On substituera successivement ces limites à la place de x dans les formules suivantes, en n'ayant égard qu'aux termes qui se trou-

vii. 34

veront du même signe que le premier,

ml m — i ) (m — i){ m — 2 '

x">-2-{ px""3 H qx"

m [m — i ) ( m — 2 ) (ni — 1 ) ( m — 2 ) ( m — 3 ]

px

et ainsi de suite; le nombre de ces formules sera m — 2, et l'on nommera M la plus grande des quantités qu'on aura de cette manière, en taisant abstraction des signes. On fera ensuite l'équation

mxm-' -+-(/« — i)px'"-2-h [m — i)qx'n-*-h [m — 3) r^c"'"1 -+- . . . = y,

et l'on éliminera x au moyen de l'équation proposée; ce qui donnera une équation en y du même degré m, qui manquera de son pénultième terme. Soient V le dernier terme de cette équation eu y, T le plus grand coefficient des termes de signe contraire à V, en supposant y tant positif que négatif; ces deux quantités T et V étant prises positivement, on déterminera N par l'équation

en prenant n égal à l'exposant du dernier terme du signe contraire à

V. On prendra ensuite D égal ou plus petit que la quantité^ r-

et l'on formera les progressions arithmétiques

que l'on continuera, de part et d'autre, entre les limites /et — g; les termes de ces progressions, étant successivement substitués pour x dans l'équation proposée, mettront en évidence toutes les racines réelles, tant positives que négatives, par les changements de signe dans la suite des résultats de ces substitutions, et en donneront en même temps les premières limites, qu'on pourra ensuite resserrer à volonté, ainsi qu'on l'a fait voir plus haut.

Si le dernier terme V de l'équation en y résultant de l'élimination de x est nul, alors N sera nul, et par conséquent D sera égal à zéro;

mais, dans ce cas, il est clair que l'équation en y aura une racine égale à zéro, et même deux, par le manque du pénultième terme; par conséquent, l'équation

mxm-' 4- ( m — i )pxm~7-\- {m — i)qx"'-3->r . . . = o

aura lieu en même temps que la proposée. Ces deux équations auront donc un diviseur commun, qu'on pourra trouver par la méthode connue, et ce diviseur, égalé à zéro, donnera une ou plusieurs racines de la proposée, qui seront en même temps des racines doubles ou multiples, comme il est facile de le prouver par la théorie précédente; car alors le dernier terme Q de l'équation en i sera nul; par conséquent on aura

i = o et a = b.

L'équation en y, par l'évanouissement de son dernier terme, s'abaissera au degré m— 2, parce qu'elle se trouvera divisible par/2. Si, après cette division, son dernier terme était encore nul, ce serait une marque qu'elle aurait plus de deux racines égales à zéro, et ainsi de suite. On la diviserait donc autant de fois par y qu'il serait possible, et l'on prendrait ensuite son dernier terme pour V et le plus grand coefficient des termes de signes contraires à V pour T, pour avoir la valeur de D, qui servira à faire connaître toutes les autres racines de la proposée. Si la proposée est du troisième degré, comme

x3 4- qx 4- r= o,

on trouvera pour l'équation en y

y3 4- Sqy2 — ^q3 — 27 /•- = 0.

Si la proposée était

XK 4- q xJ 4- rx 4- s= o,

on trouverait celle-ci en y,

y* ■+- 8ry3 4- ( 4 q3 — 16 qs 4- 18 r2 ) y2 4- ?.56,s3 — 1 28s'</!